Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981), страница 9

В том случае, когда существует представление Н(и, Д)=(з'(и), Д)н, Н(и) шВ', (40) то л" (и) называют слабой произзодной или производной Гата функции Л (и] в точке и. Нетрудно видеть, что из дифференцнруемости по Фреше следуют дифференцируемость по Гата и представление (40), а также совпадение производных Фреше и Гата. Обратное утвержде. ние неверно даже для функций двух переменных. 43 Пример 9. Пусть 1, если у =хе, з (и)=з'(х, у)= О, если у Ф хз, и=(х, у) ш Ез Эта функция в точке и=-(0, 0]=-0 имеет производную Гата з" (О) = = (О, 0), но по Фреше она недифференцируема н, более того, разрывна в этой точке.

Такое различие между производнымн Фреше и Гата вызвано тем, чта в случае дифференцируемости по Фреше сходимость в предельном переходе (39) является равномерной по всем Ь, [Ь [[( у, а в случае дифференцируемости по Гата такой равномерности мо'кет и не быть. Если в (39) возьмем й=е, [[е[[=1, то получим величину з" (и, е) = иу (и) называемую нроиззодной функции з'(и) е точке и ло нане лриелению е. Если функция з (и) в точке и имеет производную Фреше илв Гата, то она дифференцируема в этой тачке по любому наг[1 (и) правлению е, причем = (з'(и), е). ое Понятие производной Гата ширака используется при исследо.

ванин экстремальных задач в банаховых пространствах [1, 11, 188] и др. У и р а ж н е н и я. 1. Показать, что всякая линейная ограниченная функция на банаховом пространстве дифференцнруема. 2. Пусть Н вЂ” гильбертово пространство. Доказать, что функция Х (и) =[[и [[н днфференцируема во всех точках и ~ О, причем,1' (и) = = иЛи[[. 3. Написать условие (6) применительно к функции из примера 4; рассмотреть случай (1 =1.,[и, Ь). 4.

Написать необходимое условие миннл~ума функции из прн. мера 5 для случая (1=С [а, Ь]. 5. Доказать, что сслн Р(и) шС'(Ез), то функция из примера 5 двазкды дифференцируема на С [и, Ь]. 6. Пусть  — банахова пространство, функция з'(и) принадлежит О (В). Показать, что если в некоторой точке и, ш В выполняются условия Е (и,)=0, (з'"(и,) й, Ь) ) 0 при всех /~ ~ 0, то этога, вообще говоря, еше недостаточно для того, чтобы в точке и, достигался локальный или глобальный минимум з'(и) на В Указание: РассмотРеть фУнкцию з'(и) = ~ ((ин)з[лз — (и")'), и ш 1з, в точне и=! и,=О при Ь=(0, ..., О, 11л, О, ...).

7, Пусть  — банахово пространство„функпия з (и) принадлежит С'(В). Пусть в некоторой точке и„ш В выполняются условия з" (и,)=0, (з" (и,)й, й) ))з [[5[[э, Л~н В, )э=сапа()0. Доказать, что в точке и достигается локальный минимум функ. ции з (и) на В. 8. Доказатьч что при выполнении условий теоремы 0 функция ,1(и, хо)=[х(Т, и, х„) — у ', где х(1, и, хе) — решение задачи (8), (9), диф]юрснцируема по совокупности переменных (и, хз) иа Е„"[1е, Т]зсЕ" и ее градиентом является пара (В" (1)ф(1, и, х„); ф[ ф((з, и, хз)), где ф(Г, и, ка) — решение задачи (13), (!4) Показать, что у (и, хз) ~п Сз ~ [о'хЕа).

9. Доказать, что при выполнении условий теоремы 6 фуннция 7 (и) = ]г ' х (С н) — у (1) [з г(Г, .где х(С и) — решение задачи (8), (9), у(1) — заданная кусочно непрерывная функция на [Ьм Т], дифференцируема по и на Сз[(а, Т], причем 7' (и) =В (Г) ф (1, и), Ге <1~ Т, где ф(1, и) — решение задачи ф (Г)= — А (Г)ф (1)+2(х(1, и) — у(1)), 1„--1--Т; ф (Т) =0 Показать, что l (и) я С ' (ь'). 1О Показать, что утверждения теоремы 6 и упражнений 8, 9 сохраняют силу, если ап(1) еЕ, [Гю Т], ЬВ(Г), !г(1) я Ее[та Т]. !1, Исследовать возможность дифференцирования функции ь 7 (и) =] Р (и (Г), й (1), 1) ог, и (1) ~ Сз [а, Ь], и (а) = А, и (Ь) = В, а считая функцию Р(и, з, 1) достаточно гладкой. 12. Доназать, что функция Х (и) = и ',и диффереицируема в В = = !. [О, 1[, 1 < р< оп, всюду, кроме и=О, и найти .1' (н).

Будет ли зд(и) дифференцируема в В=(.,(0, 1] и В=(. [О,!]? В С[0, 1]? 13. Доказать дифференцируемость отобраисейия Тп 1., [а, Ь] — ь -«. Ез[, о], опредетяемого равенством Ь Е(и)=) А(з, Г) и(Г)Ф, с з<6; и=и(1) ~Ее[а, Ь[, а где А (з, 1) чм Е з (Я), О = [(з, Г) я Е'. с < з < г(, а =~ ! < Ь]. !4. Найти производную отображения Р: Е'[Га, Т]-» На['Гз, Т~, определяемого условиями (8), (9). 16. Пусть  — банахово пространство, пусть г]ункция з (и) имеет производную Гата во всех точках и ~ В.

Доказать, что если и„— точка локального минимума /(и), то в ней производная Гато равна нулю. 16. Показать, что множество У из примера 7 не имеет опорной гиперплоскости во всех точках о= и (1) я (I, для которых , 'о (1) [ <1 почти всюду иа [О, 1). Доказать, что если о о(Г) ~= У и ' о(Г) [==1 на множестве А положительной меры, то через такую точку о можно провести опорную к У гиперплоскасть с нормальным вектором с = =с(1) еЕз[0, 1], где с(г]= — з!йпо 09 при (ен А и с(1)=0 при (я[О,!]" А.

17. Г(усть в пространстве В,=С [О, 1] даны два множества М = = [и=-и(1) ~ 1. [О, 1]: ~ и(Г),'<1, 0<!<1] и У=(и=и(Г) зм ! я Ез [О, ! [' ~ з!йп (! !2 — Г) и (Г) гй = 1~. Доказать, что М и Ь' выпуклы, 45 замкнуты, не имеют общих точек, отделимы, но не могут быть сильно отделимы (ср. с теоремой 4.5.3 из 14)). 18.

Пусть (1=(и=(ог, ..., и», ...) я 1,: ( и" ) (11»+1(лз, л=1, 2, ...) Локазать, что в точке о=(1, 112, ..., 1/л, ...) ~ () нельзя провести опорную к (1 гиперплоскость (см пример 8). Имеет ли (1 внутренние точки в 1,? Выяснить, к каким точкам из (1 можно провести опорную к У гиперплоскость. й 3. Теорема Вейерштрасса в функциональных пространствах 1 ак и в !4], теоремами Вейерштрасса будем называть теоремы, содержащие утверждение о достижении нижней грани некоторой функции на каком-либо множестве. 1. Сначала приведем теорему Вейерштрасса, обобщающую теорему 2.1.1 из 14] на случай метрических пространств. Для ее формулировки нам понадобятся понятия компактного множества и полунепрерывности снизу функции в метрическом пространстве.

Напоминаем, что множество М называется метрическим пространством, если на нем введена некоторая метрика р, т. е. для любых двух точек и, о ~ М определено расстояние р(и, о) между ними, которое подчинено следующим аксиомам: !) р(и, о) те «О при всех и, о ~М, причем р(и, о)=О тогда и только тогда, когда и= о( 2) р(и, о) =р(о, и) при всех и, о АМ; 3) р(и, о)(р(и, гв)+р(гв, о) при всех и, о, ю я М. Определение 1.

Множество (1 из метрического пространства М называется компактным в метрике этого пространства или, короче, р-компактзчым, если из любой последовательности (и») ~ (I можно выбрать хотя бы одну подпоследовательпость (иа ], которая р-сходится к некоторой точке о ~ (), т. е. 11пт р (и, , о) = О. »с со Определен не 2.

Функцию )(и), определенную на некотором множестве У из метрического пространства М, называют р-полунепрерывной снизу (сверху) в точке и ен (г', если для любой последовательности (иь] ~(1, р-сходящейся к точке и, имеет место неравенство !пп и (иа) а'(и) ('1(гп,)(иа)( )(и)). Е со со Функция у(и) называется р-полунепрерывной снизу (сверху) иа множестве (1, если она р-полунепрерывна снизу (сверху) в каждой точке и ен ().

Функция ) (и) называется 48 р-непрерывной в точке и ен (1 (на множестве У), если она р-полунепрерывна снизу и сверху в точке и (на множеи). Определение 3. Говорят, что последовательность (и,) ~ М сходигпся к множеству У ~ М в метрике р или, короче, р-сходится к У, если 1!пз р (и„(/) = О, где ь со р(и, (1)= 1п! р(и, о) — расстояние от точки и до множеюао ства (1. Рассуждая так же, как при доказательстве леммы 2.1.2 из [4], нетрудно доказать, что функция р(и, (1) переменной и енМ р-непрерывна на М и, более того, справедливо неравенство !р(и, Ц вЂ” р(о, У)!(р(и, о) при всех и, о~ М.

Теорема 1. Пусть У вЂ” р-компактное множество из метрического пространства М, а 4ункция 1(и) определена, конечна и р-полунепрерьина снизу на (1. Тогда 1, =- = !п!1(и)) — со, множество (1 =(и я(1: 1(и)=1„) и непусто, р-компактно и любая минимизирующая последовательность [иь) р-сходшпся к множеству (1„. Эта теорема доказывается так же, как аналогичная теорема 2.1.1 из [4]. Для применения теоремы ! к конкретным задачам минимизации полезно иметь критерии компактности в наиболее часто встречающихся в приложениях функциональных пространствах.

Например, в пространствах С (6), 1,р(6), 1 ( р ( со, где 6 — ограниченное замкнутое множество из Е", критерий компактности может быть сформулирован так: замкнутое множество У в этих пространствах компактно тогда и только тогда, когда 1)множество (1 равномерно ограничено, т. е. зцр!,'и, '( со; и 2) множество (1 равностепенно непрерывно, т. е.

для любого е)О найдется число 6)О такое, что зцр [и(Е+ Ы) — и(!)[(е идти для всех (, (+й(~6, (й(! 6; здесь ]и[ означает норму пространства С(6) или Т.р(6), 1 = р(оо. Доказательство этого утверждения, а также критерии компактности в различных других функциональных пространствах читатель может найти в [!1, 35, 67, 169, 204), некоторые критерии компактности будут обсуждаться ниже и ч 2.2. 4У В евклидовом пространстве Е' множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Доказательство этого факта существенно опирается на известную теорему Больпано-- Вейерштрасса, согласно которой из любой ограниченной последовательности (иь) ен е= Е" можно выбрать хотя бы одну сходящуюся подпоследовательность.

Однако, как показывает пример !.1, такая теорема е метрических пространствах, вообще говоря, неверна. По этой причине, оказывается, в метрических пространства.. замкнутости и ограниченности множества, вообще говоря, недостаточно для его компактности. Покажем это на примерах, П р и м с р 1. Пусть Н вЂ” гильбертово пространство, Н = (и ~ Н: (ьЦ ( Ц вЂ” единичный шар в Н, пусть (е„)— некоторая бесконечная ортонормировапная система н Н. Из последошыельности (е„) е:- У нельзя выбрать подпоследовательность, сходящуюся к какой-нибудь точке в метрике Н.

В самом деле, в примере 1.! было установлено, что (е„) сходится к нулю слабо в Н. Поэтому, если бы из (е,) удалось выбрать подпоследовательность (е, ), сходящуюся к точке е в метрике Н, то обязательно имели бы е=О и !!ш !еи 1=[е)=0. Однако это невозможно, т- со так как [е„)=-1 при всех й=1, 2, ... Таким образом, шар в любом Гесконечномерном гильбертовом пространстве Н не может быть компактным в метрике Н. Пример 2. Пусть У=(и= и(() = — У „[О, Ц: !и(!) !~ ! почти всюду на [О, Ц). Это множество не является компактным в метрике 1,[0, Ц.