Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981)

Ф. П. ВАСИЛЬЕВ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ЗАДАЧИ МИНИМИЗАЦИИ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ, РЕГУЛ ЯРИЗАЦИЯ, АППРОКСИМАЦИЯ Допуцено Министерством выыиего и среднего опеииалоного образо онил СССР в лаыстве уяебного пособил дяя студентов выси~их у ибных заведений МОСКВА НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦНЯ ФНЗНКО ЫАТЕАуАТНс!ЕСКОГТ ЛР!ТЕРАТУРВ! !9В! 22.198 В 19 УДК 819.8 Методы решения экстремальных задач. В а с и л ь е в Ф. Пл учебное пособие. — Мп Наука. Главная реданция физико-математической литературы, ! 981.

— 400 с. Федор Павлович Впсильеа МБТОДЫ РЕШЕНИБ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ Редактор № Л. Григоренко Техн. Реданторы Н. В. Кошелева, С. В. Шкллр Коррснтор О. Л. Бутусово ИБ № П86! Сдано в вабор 16.08.80. Полпнсано к печати 26.0281. Форнат зчн108'(м. Бумага гнп. № 2. Лнтературная гарнитура. Высокая печать. Условн -печ. л. 2!. Уч.-нзд л 26,Ъ, Тираж 20 000 зкз. Заказ № 810. Цена 1 р. 10 к.

Издательство «Наука» Глазная редакцн фнзека-мате атнчсской лктературы Н701"1, ЬтЬсква, В.71, Ленннскнй проспект, !6 Ордена О!.тябрьской Революцнк, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственно-техннческое объед~ненне «Печатный Двор имени А. М. Горького Союзполнграфпрома прн Государственном номнтете СССР по делам издательств, полнгрзфнн н книжной торговли. 127!36, Ленинград, П-136, Чнагювсклй пр., !6 Отпечатано с матриц ва Владнмпрской жпюграфнн «Союзполнграфпрома» прн Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграФии й книжной торговли. 600000, г. Владнннр, Октябрьской проспект, д. 7 Ю! Издательство «Наука Главная редакцня фнзнко-математической литературы, !081 20204 †0 В 088(02) 81 4-81.

1702070000 В кни~е излагаются методы минимизации функций (функционалов), заданных на множествах из функциональных пространств, рассматриваются приложения к задачам оптимального управления процессамн, описываемыми системами обынновенных дифференциальных уравнений и уравнениями с частными произволиыми. Значительное место в книге занимают методы решения некорректных экстремальных задач, условия аппроксииации экстремальных задач. Может рассматриваться как продолжение книги того же автора «Численныс методы решения экстремальных задач», вышедшей в 1980 г. Для студентов старших курсов и аспирантов университетов и других вузов по специальности «Прикладная математика». ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 1.

Методы минимизации в функциональных простран- ствах Глава 1. Предварительные сведения. Обозначения....... 2. Градиент. Условия оптимальности 3. Теорема Вейерштрасса в Функциональных пространствах 4 Методы минимизация ................,,, 5. Градиент в задаче оптимального управления со свободным правым концом 6. Градиент в одной дискретной задаче оптимального управленнн 7, Оптимальное управление процессом аагрева стержня 8. Оптимальное управление колебательными процессами 9. Оптимальное управление процессзми, описываемыми системой первого порядка с частными производными .

10, Оптимальное управление процессамн, опясывве. мыми уравнением Гурса — Дарбу 8 !8 46 66 о! 106 116 134 146 152 159 задач 1. Постановка задачи 2. Стабилизатор 3. Нормальное решение ........ 4. Основные леммы о регуляризации 5 Метод Тихонова 6. Метод невязки 7, Метод квазнрешеннй 160 165 174 178 183 202 206 Гла на 2. Методы решенця некорректных экстремальнык 8.

Регулярнэация задан минимизации на множествах, заданных приближенно.......,... 9. Итеративная регулярнзация метода проекции тра. диента 4 10 Непрерывная регулярнзапия градиентного метода $ 11 Итеративная регуляризация метода условного градиента 4 12, Итеративная регулярнзация методов высокого порядка . 218 244 260 269 28! Глава ЗЗВ 350 364 Основная литература . 2!ополннтельнзя лвтература 387 388 Предметный указатель 399 3 Аппроксимация экстремальных задач 1, Разностная аппроксимация для одной квадратичной задачи оптимального управления ........ 293 2 Общие условия аппроксимации .............

305 3 Разностная аппроксимация для квадратичной за. дачи с фазовыми ограничениями ............ 3!6 4. Регуляризация аппроксимаций экстремальных задач 325 5. Раэностная аппроксимация квадратичной задачи с переменной облзстью управления 6 Аппроксимация задачи быстродействия 7. Об аппроксимации максиминных задач ........ ПРЕЛИСЛОВ1лЕ Насгоящая кинга написана как учебное пособие для студентов факультетов и отделений прикладной математики университетов и технических вузов. В ней рассматриваются бесконечномерные экстремальные задачи, т е.

задачи поиска экстремума функций на множествах из бесконечномерных функциональных пространств. В главе 1 кратко излагаются элементы теории и методы решения таких задач, рассматриваются приложения к задачаи оптвмального управления процессами, описываемыми обыкновенными дифференциальныл~и уравнениями н уравнениями с частными производными.

Глава 2 посвящена некорректным экстремальным задачам, методам регуляризацнн заких задач. В главе 3 изучаются условия аппроксимации экстремальных задач, исследуется сходимость разностных аппроксимаций для задач оптимального управления. Лля понимания содержания книги желательно знание элементов функционального анализа в объеме программ, обычно изучаемых в универсигетах н технических вузах с повышенной математической подготовкой. Однако следует заметить, что отсутствие знаний по функциональному анализу не будет мешать пониманию н усвоению излагаемых в книге основ мегодов и приложений к конкретным классам экстремальных задач, если читатель будет готов принять некоторые приводимые в книге утверждения не в самой обшей нх форме.

Настоящую книгу можно рассматривать как продолжение книги [4), в которой излагались теория и метолы решения задач минимизации в конечномерных пространствах, принцип максимума и динамическое программирование в задачах оптимального управления процессами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, Учи. тывая, что теория и методы экстремальных задач в коиечномерных и бесконечномерных пространствах нарнду с существенными отличиями имеют много общего, мы в данной книге заново не повторяем изло.

женные в 14! идеи и эвристические соображения, лежащие в основе мегодов минимизации. Г!оэтому для лучшего понимания содержания настоящей книги желательно знакомство с книгой !4] !или с книгами !3, 5, 7, 10, !2 — 15!). Часть текста, содержащая материал, которыя дополняет н расшиРяет основное содержание книги и может быть использован при чтении специальных курсов, набрана петитом В книге затрагивается шиоокий круг проблем, имеющих обширную библиографию, насчнтываюцгую много тысяч названий.

Список литературы, которыя привечен в конце книги, содержит лишь те работы, которые были непосредственно использованы в книге нли близко примыкают к ней, дополняя ее содержание. Кан я в !4Б нумерация формул, теорем, леман определений, упражнений в каждом параграфе самостоятельная; ссылки на материалы, расположенные в пределах данного параграфа, нумеруются одним числом, вне данного параграфа, но в пределах данной главы— двумя числами, вне данной главы — тремя числами. Так, например, теорема 5 из 2 2 главы 1 в пределах этого параграфа именуется просто теоремой 5, в других параграфах 1-й глазы — теоремой 2.5, в других главах — георемой 1.2 5.

Аналогично, параграфы прн ссылнах на них в пределах данной главы нумеруются одним числом, а вне шой главы — двумя числами: первое число означает номер главы, второе-номер параграфа в этой главе Такой же смысл имеют ссылки на материалы книги !4Б Автор выражает глубокую благодарность академикам А. Н. Тихонову и А. А. Самарскому за внимание и подкержк> при написании книги, С. М. Цидилииу н 10 Н.

Черемных, прочитавшим книгу в рукописи и сделавшим ряд ценных замечаний, Н Л. Григоренко, взявшему на себя труд по нау шому редактированию книги и устранившему многочисленные погрешности изложения, а также Е. Р. Аваиову, Н. С. Бахвалову, Н, С. Березину, В. И. Благодатскнх, А. М. Ленисову, Я. И. Эаботину, А. 3. Ишмухаметову, В.

Г. Карманову, М. Ковач, Т. А. Леонтьевой, В. А. Морозову, М. С. Никольскому, М. М. Потапову, Н. А. Прохорову, А. С. Стрекаловскому, В. Г. Сушко, В. В. Федорову, 51, Ячимовичу, Е. А. Маркину за многочисленные полезные дискуссии и советы, способствовавшие улучшению содержания книги, В.П. Крушининотк В. И Селиверстовой за помощь при подготовке рукописи к изданию. Автор будет признателен читателям за критические замечания по содержанию книги. Ф, П, Васильев ГЛАВА 1 МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ В [41 мы занимались задачами минимизации функций конечного числа переменных и задачами оптимального управления процессами, описываемыми системамп обыкновенных дифференциальных уравнений. Наряду с этими задачами большой интерес для практики представляют задачи оптимального управления процессами, описываемыми уравнениями с частными производными, интегродифференциальными уравнениями, задачи наилучшего приближения функций и др.

Оказывается, все вышеупомянутые задачи можно трактовать как экстремальные задачи в подходящим образом выбранных функциональных пространствах, и для исследования этих задач использовать аппарат и методы функционального анализа. Такая трактовка позволяет выявить общие закономерности, присущие широким классам экстремальных задач, создавать и исследовать общие методы решения таких задач [1, 17, 27, 28, 30, 31, 42, 43, 45, 49, 50, 55, 60, 63, 68, 69, 71 — 73, 75, 78, 79, 89, 91, 96, 99 — 102, 105 — 107, 11!— 114, 119, 122, 126 — 128, 130, 135 — 138, 140, 141, 144, 148, 159, 166, 182, 188, 189, 191, 192, 200, 202 — 203, 207, 209 — 212, 221, 222, 224 — 2331. В этой главе мы кратко остановимся на элементах теории экстремальных задач в гильбертовых и банаховых пространствах, на методах их решения, рассмотрим некотврые классы задач оптимального управления процессами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями с частными производными.

Для понимания содержания излагаемого ниже материала достаточно знания начальных глав функционального анализа и элементов теории функций действительных переменных [8, 9, 11, 87, 110[. Впрочем, заметим, что рассмотрение конкретных классов задач оптимального управ- 7 ления в Я 5 — !О в основном ведется в терминах, связанных с этими задачами, и для понимания не требует знания элементов функционального анализа.