Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В евклидовом пространстве Еа эта гипотеза подтвердилась †[4[ была доказана теорема 4.5.1. Посмотрим, справедлива ли зта гипотеза для «гильбертова иирпича» Возьмем любую точку о=(ол, ..., о", ...) гж У такую, что [о" [<п ', п=1, 2, ... (например, о=-0). Предположим, что через агу точку можно провести опорную гнперплоскость к множеству У, ЯЭ т. е существуют вектор с=(с>, ..., с", ...) ~0, с гы 1», и число у такие, что (с, и) гву при всех и ш(«и (с, о)=у.
Так как с~О, то со чь 0 для некоторого л — 1. Возьмем вектор е=(0, ..., О, еп = = — з!йпсо«л — о", О, ...) я 1, Так как [оп-[-еп! =л >, то о-[-е гы У, и поэтому должно выполняться неравенство (с, о-1-е) си у. Однако (С, о+Е) =у+(с, е) = у+спЕп= у — [сп [ л-> — сноп(у — [оп [ л->+ .1- [ сп ! , 'оп [ = у — [ оп [(л ' — [ оп )) ( у. Противоречие. Следовательно, множество (« и ее граничная точка о неотделимы Это значит, что ие через всякую граничную точку рассматриваемого множества !/ можно провести опорную гиперплоскость Таким образом, высказанная выше гипотеза в банаховых пространствах, вообще говоря, неверна.
Для ее справедливости согласно теореме 1! нужно еще потребовать, чтобы выпуклое множество имело непусту>о внутренность. Рассмотрения>й пример таки«е показывает, что условие >п! М = 3 в теореме 1! существенно. Любопытно заметить, что через любую точку ю=(ю>, ..., юп, ...), имеющу>о хотя бы одну координату юп, ! юп [=л >, можно провести опорную гиперплоскость к «гильбертову кирпичу». Достаточно взять с=(0, ..., О, с" = — Мйпюп, О, ...) ~ О, у= — л ', и получим (с, и>) = у, (с, и) = — ип з!йп ю и ) — ! и" ! св у для всех и >ы у. Пр имер 7. Пусть («= [и=и(1) гп 1» [О, 1[: [и (1) [(1 почти всюду на [О, !)). Покажем, что множество У не имеет внутренних точек в Ег [О, 1). Возьмем любую функцию и=и (1) >м ««.
Положим еь (1) й й>14 при 0 (1(1«й, еь(1) =0 при 1«й < «( 1, 1=1, 2, Ясно, что и(1)+ее(1)=и»(1) ~(l при всех й) 16, так как [иь(1)[~ 'е>(1) [ — [иь(1) [)2 — 1=1 при 0~1=1«й, А) 16. В то же ВрЕМя [>из (1) — и (1) [« — — [[ЕЬ (1) [[« —— й 1 -ь О Прн Й-ь Оэ. Эта ЗНаЧИт, что л>ножество У ие ймеет внутренних точек.
Очевидно, множество (« выпукло. Покажем, что не через всякую точку из (> можно провести опорную гиперплоскость. Возьмем, например, о=о (1) =О, Допустим, ! что существует с=-с(1) ш !»[О, !), с(1) ~0, что (с, и)« —— ~с(1) х Х и(1) д« ) (с, о) =0 для всех и ~ У. Возьмем и,=иг(1) = = — з!йпс(1). Ясно, что и„>к У, поэтому должно быть (с, иг) =.О. 1 Однако (с, иь) = — ~ ! с (1) [ д« ( 0 Противоречие.
Следовательно, множество (/ н точка о=-0 не могут быть отделены гиперплоскостью. Приведем формулировку еще одной теоремы об отделимоста выпуклого множества и точки Те о р ем а !2. Пусть М вЂ” выпуклее замкнутое множество из бана. ози пространства В, п>очка у не принадлежит М. Тогда множество М и точка у сильно отделимы. 1О. 1(ак видим, многие на>киме понятия теории экстремальных задач, такие, как понятия градиента, второй производной, выпуклого множества, выпуклой функции, отделяющей гиперплоскости и т, д., представля>от собой естественное обобщение соответствующих понятий, введенных для конечномерных евклидовых пространств Е" Это означает, что многие утверждения, сформулированные и доказанные в [4[ (см главы 2, 4) для пространства Е", остаются верными и в любых банаховых пространствах. Примерами таких у>вер>кдспий являются приведенные выше формулы конечных приращений для диффереицируемых функций, а также теоремы 1 — 5.
В то же время, как показывают теорема 11 и примеры 6, 7, такая аналогия имеет место далеко не всегда: имеется немало утверждений, справедливых в конечномерном пространстве Е", но не имеющих аналога в общих банаховых и гильбертовых пространствах. Это значит, что теоремами, приведенными в [4) в главах 2, 4, можно пользоваться при исследовании экстремальных задач в конкретных банаховых или гильбертовых пространствах лишь после тщательной проверки того, что они верны и в рассматриваемом пространстве Еще раз возвращаясь к примерам 6, 7, заметим, что в банаховых и гильбертовых пространствах огделимость выпуклых множеств может быть гарантирована при более жестких ограничениях, чем в конечномерном пространстве Е". Это обстоятельство приводит к тому, что ряд важных результатов теории экстремальных задач, опирающихся на конечномерные теоремы отделимости, не имеет аналога в банаховых и гильбертовых пространствах.
В частности, нак свидетельствует следующий пример, в задачах оптимального управ. ленка, у которых фазовое пространство является гильбертовым пространством, принцип максимума, сформулированный в [4) в главе 6 для задач с фазовым пространством Е", в общем случае не имеет аналога. Пример 8. Пусть управляемый процесс описывается системой уравнений [96[ Я1 (1) = иг(1), ! ) О; х' (0) = О, ! = 1, 2, ..., (38) где и! (1) — ограниченные измеримые на каждом конечном отрезке 0(1( Т, 1=1, 2, ..., функции. Под решением системы (38), соответствующим управлению и=и(1)=(и'(1), ..., и" (1), ...), 1)0, будем понимать функцию х(1, и)=(х'(1), ..., х" (1), ...), 1) О, где с х! (1) =к!(1, и!)=~и'(1) й, 1>0, 1=1, 2, ..., такую, что х(Е и) сы при всех 1) О.
Это значит, что фазовым пространством системы (38) является гильбертово пространство 1,. Пусть У=(и=(ах, ..., иа, ...) щ (з: ! и' [(17й-)-!/лз, й=1, 2, ...). Рассмотрим задачу быстродействия: найти управление и=и (1) ~в У, 1) О, такое, чтобы соответствующее ему решение х(1, и) системы (38) удовлетворяло условию х(Т, и) =х1=(1, 172, 1/3..... !7)г, .„) при минимальном Т. Пользуясь принципом максимума из главы 6 [4[, нетрудно показать, что нри каждом фиксированном и ~ 1 минимальное время перехода из точки хз (0) =О в точку х"(Т) = 17п при движении по траекторим дифференциального уравнения ха(1)=и" (1), 1)О, с ограничениями ! и" (1) (:щ 1/и+1!пз, ! ) О, равно 1„„=в (и-)-1) ' и реализуется на управлении и„, (1)=!7п+11лз, 1~ 0. Отсюда следует, что оптимальное время 1, в исходной задаче не может быть меньше (аю т.
е. 1„)(„„л=!, 2, ... Отсюда прн л-ьсо получим 1„~1. С другой сторонй, для управления и,=и„(1)=(1, 1!2, ... ..., 1/л, ...) имеем х(1, и„)=х!. Это значит, что Г,.=! — оптимальное время, а и =и †оптимальн управление в исходной задаче быстродействия. Убедимся в том, что принцип максимума в этой задаче не вы.
полняется. Лля этого по аналогии с задачами оптимального управления из главы 6 [4) напишем функцию Гамильтона — Понтрягина Н(х, и, ф, фь)=фр+(ф, и)ы, ф=(фм ..., фп, ...), и сопряженную систему Фь(1)=-Н ~(х. (О, и,(1), ф, ф,)=0, к' 1)0, 1=1, 2, Отсюда имеем ф! (Выс!=сопз1, ф (1)=(сы с„..., с„, ...) ьн 1,. Вели с„~ 0 для некоторого и ) 1, то иэ условия шах Й(х, (1), и, ф (1), фь) ишн однозначно определится и" (1) =(1/и+ 1)па) з!йп с„, 1 зь О, что не совпадает с ипз (1)=1/п. Это значит, что принцип максимума в рас- сматриваемой задаче может иметь место только при с"=О, а=1, 2, „,, т. е. ф (1) =О и Н (х, (1), и, (1), ф (1), фь) дефо=сопя!.
Со- гласно условию трансверсальности (6.2.44) из [4[ тогда Н [, О, так что фь=О, В результате получаем (фь, ф (1)) ив О, что противо- речит принципу максимума (см. теорему 6.2.3 из [4[). Рассмотренный пример поназывает, что для задач оптимального управления в банаховых пространствах принцип максимума в общем случае не имеет места. Тем не менее существуют классы задач апти. мального управления, для которых принцип максимума остается верным и в том случае, когда фазовое пространство не является конечномерным [51, 96, 201). С другой стороны, можно также ука- зать и такие классы задач оптимального управления с конечномер- ным фазовым пространством, в которых принцип максимума не имеет места; такие задачи с дискретным временем см. ниже в 9 6, с непре- рывным временем в в [53, 73).
11. В заключение отметим, что функцию, дифференцируемую в смысле определения 1, в литературе часто называют сильно диффе- ренцируемой или дифференцируемой по Фреше, а градиент функции— произзодной Фреше. Существуют и другие определения дифференци- русмостн функции, отличные от сильной дифференцируемости. При- ведем одно из них. О п р е д е л е н и е 12. Пусть функция л (и) определена в некото- рой окрестности О (и, у) точки и из банахова пространства В. Сла- бым дифференциалом или дифференциалом Гата функции л' (и) в точ- ке и называется предел 1!ш (Х(и+16) — л'(и))11=э'(и, й), (39 ц-о если этот предел существует при всех Ь ез В. Пример 4.2.6 из [4) показывает, что дифференциал Гата не всегда является линейной функцией переменной й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
