Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Отсюда с помощью леммы 2.2 и «с<2 ад получим ! Р1 !и ~ (Ь; (т), иь (т) — и (т)) !(т ) + !о 12! ц2 ~ (Ь!К), иь($) — и($))с($~~ е" '"" ""т (6) (о г де Ь!(1)=(Ь!,(1), ..., Ь|,Я) — ю-я строка матрицы В(1), 1, ( 1 ( Т. Положим Ь!(т). 1ь~т~1, с!(т) = О, 1 <т( Т. В силу слабой сходимости (иь(1)) к и(1) при й-з-оо имеем т ~ (Ь! (т), и„(т) — и (т) ) с(т = ~ (с; (т), иь (т) — и (т)) с(т -ь- 0 !о и при всех фиксированных 1е='11„Т) Отсюда и из (6) с помощью теоремы Лебега (см.
111), стр. 302) получаем равенство (5). В частности, при 1=Т из (5) имеем (х(Т, иь))-~ х(Т, и). А тогда / (иь)=~х(Т, и„) — у!е-ь.,'х(Т, и) — у '= =.7(и). Слабая непрерывность У(и) на 7.,"11„Т1 доказана. Остальные утверждения теоремы 10 следуют нз теорем 2, 6. Из доказанной теоремы 10 вытекает, что задача (1) — (4) имеет решение на множествах из примеров 4, 5, когда П=(1ь, Т1. Заметим, что из слабой непрерывности функции ) (и) следует слабая непрерывность функции ( — 7 (и)).
Поэтому, применяя теорему 2 к функции ( — У (и)), убеждаемся в том, что функция (1) при условиях (2), (3) достигает своей верхней грани на любом выпуклом замкнутом огра- ниченном множестве из 1.,'[1„Т). Рассмотрим задачу минимизации функции т ,7(и)=~х(Т, и) — у!ь+сь~ (и(1)~'й, се=сонэ()0, (7) при условиях (2) — (4). Так как функция (7) представ- ляет собой сумму выпуклой и сильно выпуклой функции, то она сильно выпукла. Из теоремы 8 тогда вьпекает Теорема 11. Пусть матрицы А (1), В(1),1(1) кусочно непрерывны на отрезке 11ь, Т~, а Е/ — выпуклое замкнутое з!ножество из 7.,"(1„Т~. Тогда Функция (7) при уело!инх 69 (2) — (4) достигает своей нижней грани на () в единственной точке и = и, (!) ~ () и любом минимизирующая последовательность сходится к и по норме Ь,'((е, Т'1 б.
В различных руководствах по функциональному анализу читатель обнаружит и другие, отличные от приведенных выше, варианты теоремы Вейерштрасса, основанньк на других определениях понятий компактности и полунепрерывностн функций. Для того чтобы облегчить чнтатеъо ориентацию в этих вопросах, совершим небольшой экскурс в топологическне пространства Сначала напомним некоторые определения (11, 110). Определен не 9. Пусть Х вЂ” некоторое множество. Говорят, что на Х задана толологил, если в Х выделена система т его подмножеств, удовлетворяющая следуюшим трем условиям (аксномам): 1) 6, Х си т; 2) объединение любого числа множеств из т является множеством из т; 3) пересечение конечного числа множеств из т является множеством из т. Все множества 6 ш т называются откры. тымн, а пх дополнения Г=Х'~С вЂ” замкнутыми.
Множество Х с заданной на нем топологией т называют тало. логическим пространством н обозначают через (Х, т). Пусть (Х, т) — топологическое пространство. Окрестностью точки и ш Х называется всякое множество С ~: т, содержащее точку и. Окрестностью множестаа У с Х называется всякое множество С ст, содержащее У. Точка и ш Х называется точкой прикосновения множества У ~ Х, если каждая окрестность точки и содержит хотя бы одну точку из У.
Совокупность всех точек прикосновения множе. ства У называется эамьгканисм множества У и обозначается через У» или просто У. Пусть У ~ йг с Х, Совокупность всех точек прикосновения множества У, взятых из множества (э', называется залгыкаиием У во множестве йг и обозначается через Упг. Можно показать, что У = У» тогда и только тогда, когда У вЂ” замкнутое множество. Определение 10. Пусть (Х, т) — топологическое простран.
ство. Говорят, что лоследочательлогть (иь) ~ Х сходится к точке и ш Х в топологии т или, иороче, (иь) т-сходится к точке и, если для любой окрестности 6 точки и найдется номер М=М(С) такой, что иь ш С при всех й)М. Последовательность (иь) т-сходится к множеству У, если для любой окрестности 6 множества У найдется номер М = М (6) такой, что иь ш С для всех й =.
М. Определение П. Точка и называется предельной точкой последовательности (иь) ш Х в топологии т, нли, короче, т-предельной точкой (иь), если для любой окрестности 6 точки и и любого номера т найдется номер йт~лг такой, что иь ив С или, иначе говоря, в любой окрестности 6 гочки и найдется бесконечно много членов последовательности (иь) со сколь угодно большими номерами. Бэнахово пространство В превращается в топологнческое пространство, если в нем открытые множества внес~и как объединение любо~о числа открытых шаров 6(и, е)=(э сэ В: в — и! (в), где и — произвольная точка из В, в — произвольное положительное число. Тэк введенная топология называется тыьлоп тололоаиго бэнэхова пространства В Сходнмость последовательности (иэ) к 1оте и в сильной топологии В эквивзлеп|иа сходимоств этой последовзгельности гг той же точке по норме (в метрике) В. В банаховых пространствах могут быть введены и другие топологии Для нас наибольший интерес представляет так называемая слабая юаполагия.
Открытыми множествами в слабой топологии банахова пространства В называются множества, представимые в виде объединения любого числа множеств вида 6(и, е, г, ..., с,)=(о ~ы В: ! (со а) — (си и) ! ( а, 1=1, щ), (8) где и†произвольная точка из В, т — произвольное натуральное число, т = 1, сг, сз, ..., с — произвольные элементы из сопряженного пространства В', а †произвольн положительное число. Заметим, что иэ сходимости последовательности (иь) в слабой топологии В вытекает слабая сходимость (ил) в смысле определения !.1. Лля того чтобы легче было уяснить различие между вводимыми ниже понятиями компактного множества в тополагических простран. ствах, обращаем внимание читателя на то, что в метрических пространствах (в частности, в В") часто пользуются другим определе.
кием предельной точки последовательности, отличным от определения 11. А именна, точку о называют предельной точкой последовательности (ис) в метрике р, или короче, р-предельной точкой (из), если существует подпоследовательность (иа ), р-сходящаяся к а. Оказывается, в метрических пространствах оба определения предельной точки последовательности эквивалентны. А именно, справедливо следующее утверждение (9, 11): в любом метрическом пространстве М точка с является предельной точкой последовательности (иь) в смысле определения !! тогда н только тогда, когда существует подпаследовательность (ис ), р-сходящаяся и точке а.
Однако в топологических пространствах в общем случае такой эквивалентности мажет не быть: здесь возможны ситуации, когда предельная в смысле опреде. ления !1 точка последовательности (иь) ~ Х не является т-пределом нииакай подпоследовательности (ил ). Покаисем это на примере. П р и м е р 9. В пространстве 1з в качестве топологии возьмем слабую топологию. Возьмем последовательность иь = )' Д гю где са = = (О, ..., О, 1, О, .. ) с единицей на л-м лгесте.
Покажем, что точка а=б ~ 1, является предельной точкой в слабой топологии 1х в смысле определения 11. Будем рассуждать от противного: пусть существуют окрестность 6с точки с =О и номер гус » 1 такие, что иь гд 6„ для всех й » й)с. Поскольку любое открытое множество, в частности, 6„, представляет собой объединение множеств аида (8), то найдутся число ас > О, натуральное число ю» 1, элементы см сз, ..., с,„я1л такие, что иь Ф 6(О, ас, сг, ..., см) при всех й»Уз.
Это зйачит, что для любого й»йз найдется номер г=гь, 1~(~т, такой, что ) (сп и ) — (сп О) ~=) (сг, из) )= ~ си! =) сь(Уй ем 1=! или ~ сд ~ » а,1 Р 1з. Тогда (с !з-)-...+!!с )з= ~ ~ ~с!~~= ~ ~" ~ с,.'!з» ~ е,'Д=+сх>. г=! 1=-г 1=!г=! ~=и, Получаем противоречие с тем, что с! я1з и поэтому 'с! "(ао.
1= 1, и Следовательно, о =О в слабая предельная точка последовательйости (иа) в смысле определения 11, Покажем, что никакая подпоследовательность (и»я) не может слабо скодиться к нулю Допустим противное: пусть существует подпоследоаательность (п»»1, сходящаяся при и оз к о=О слабо в !з, причем й! < йа « ... й„< ... Выбирая при необходимости из (и»„( еще подпоследовательность, можем считать, что ~ 1/йа < со (наприп=! мер, можно сделать/гп ) 2", и=1, 2,...).
Положим са — — (се, ..., с»»,...), / 1 где с» = 1/Уйя при й=йя, я=1, 2, ... и с» =0 при всех остальных й Тогда (с, и» ) =(!/г' йя) г' й„=! при всех и=1, 2, .... Это знвчит, что, с одной стороны, последовательность (и») сходится к точке о = 0 слабо в 1,, с другой стороны, мы нашли окрестность 6 = = 6(0, 1, с»)=(й: )(с„и) — (с„О) (=!(с„и) ~ < 1) такую, что и»„ ~ 6 при всех и= 1, 2, ...
Противоречие. Следовательно, хотя точка о=О является слабой предельной точкой последовательности (и»), но ни одна подпоследовательность (и»,) не сходится к о=О слабо в 1, (ии в смысле определения 1.1, ни в смысле определения 10). Любопытно заметить, что подпоследонательность (иа„ п = 1, 2,...) рассмозренной последовательности не имеет ни одной слабой предельной точки в 1,. Перейдем к определениям понятий компактного множества и полунепрерывности снизу функций, которые нам понадобятся прн формулировке теорем Вейерштрасса в топологических пространствах.
0 п р е д е л е н и е 12. Последовательность (и») !ы У, где У вЂ множество из топологического пространства (Х, т), называется т-секвеициально компактной в У, если существует хотя бы одна падпоследова. тельность (и»»1, которая т-сходится к некоторой точке и !и У. Множество У ы Х называется т-секвенциально компакюньиц если любая последовательность (и») !и У является т-секвенниально компактн й в У.
Определение 13. Последовательность (и») ~У, где У— множество из топологическога пространства (Х, т), называется т-счетно компакшпой в У, если (и») имеет хотя бы одну т-предельную (в смысле определения 11!) точку и из У. Множество У ш Х называется т-счетно компакшяым, если любая последовательность (и») !н !ш У является т-счетно компактной в У О п р е д е л е н и е 14 Система множеств (6„) из топологического пространства (Х, т) называется пок! ытием множества У из Х, если У !: () О„Покрытие (6„) называется открытым, если все Оп— открытые множества. Если некоторое подсемейство (Оер) покрытия (О ) само образует покрытие У, то (О„з) называется подлокпытиюи покрытия (О ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
