Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Тогда !Лх(Т, и, й),а=- э т =~ ~ (В (т)Ф (Т, т)Ф(Т, (с)ВЯ) йЯ), й(т)).,гРйт, так что Г'(л) =-l" (и; т, $) = =В'(т)Ф'(Т, т)Ф(Т, РВ(Р, 1, 1, .Т. (3О) Кстати, с помощью матрицы Ф(1, т) можно получить следующее представление для решения задачи (13), (!4): ф(1, и) =2Фт (1, Т)(х(Т, и) — у), 1,(1-=Т. (31) Заметим, что формулы (28), (30), (31) весьма полезны для теоретических исследований задач оптимального управления, связанных с системой (8), но при численном решения таких задач они применяются крайне редко из-за трудностей в определении явного выражения ма~рицы Ф(1, т) из (29).
Поэтому для приближенного решения задач Коши (8), (9) и (!3), (14) на практике обычно используют разностные методы. 8. Кра1ко остановимся на задаче (3), когда множество У задается ограничениями типа равенств или неравенств. Зч (33) где и енУ„а переменные )ь=().„..., Х,), называемые множителями Лагранжа, принадлежат множеству Л =(Л=()ч, ..., Л~) еБЕ: Эя)0, ..., ) 0). Определен не 8.
Точку (и„„Л*) ен УьхЛь называют седловой пгочкой функции Лаграйжа (34), если 1,(и„, ))«Е(и„, Х*) =.1,(и, Ль), ив=(/м ХенЛь. Л е м м а 3. Для того чтобы точка (и„Л') ен 1>ьхЛв была седловой точкой функции Лагранжа (34), необходимо и достаточно, чтобы вььяолн>!лись следуоьцие условия: 1. (и, Э.ь) «Е(и, )*) ьгри всех и ~ Уь', Хвд;(и,) =О, ь'=1, в; и, ~(l. Доказательство этой леммы проводится дословно так же, как и доказательство аналогичной леммы 4.8.1 из !4]. В следующей теореме дается достаточное условие оптимальности в задаче (32).
Т е о р е м а 7. Пусть (и„„Х') ен (/ь х Ль — седловая точка функции Лагранжа задачи (32). Тогда ,/л =Ь(ьь„, ),')=У(и„), и, е=()ь, т. е. печка ич гаь,г>!гася,оеиьнием задачи (32). Докаьатсльсьво проводятся дословно так >ке, как и доказательство аналогичной теоремы 4.8.1 из 14]. Сначала рассмотрим задачу У(и)- ьп1; и~У, (I = (и ен (/;. уь (и) = О, ь' = 1, т; дь (и) = О, ь = т+ 1, в), где (7,— заданное множество из банахова пространства В, фУнкции г'(и), дг(и), ..., йь,(и) опРеделены на Уь. БУдем предполагать, что у.„=(п1 У(и)) — со; и (l, = (и ен У: ./ (и) = У„) ~ ((>. Для формулировки необходимых и достаточных условий оптимальности введем функцию Лагранжа задачи (32): Я Б (и, )ь) = 7(и) + 'Я )чиь(и), (34) ь=! Как известно (см. пример 4.8.1 нз «4«), даже в конечномерных задачах выпуклого программирования функция Лагранжа может не иметь седловой точки.
В следующей теореме приводятся условия существования седловой точки для случая, когда в (32) отсутствуют ограничения типа равенств. Теорема 8. Пусть множество (/е выпукло, функции /(и), дг, (и), (=1, т, выпуклы на (/а, множество (/=«ивн(/,: дгг(и)(0, (=1, т) (35) /(и)-+(п(; игн Г/=(и~в(/ьг уг(и)~0, г'=1, пц Р(и) О), (36) где (/а †заданн множество вз банахова пространства В, фуннцин Л (и), гг(и), ... гы (и) определены нз Уь, à †отображен, дейст. вующее нз просгранства В в некоторое банахово пространство 1' Заметим, что задача (32) являешься частным случаем задачи (36), когда г =В' ", Р(и)=(атю(и), ..., дг(и)). Будем предполагать, что для задачи (36) выполненй условия (ЗЗ) Введем функцию Лагранжа задачи (36): Х(и, Ла, Л, с)=Ль/(и)+Лгут(и)+...+Лтум(и)+(с, Г(и)), где и гп(гь', Лг — вещественные числа, 1=0, и; с~ Уь.
Теорема 9. Пусть функции л (и), дг(и), ..., Вы(и) выпуклы на В, Ц,— выпуклое множество из В, а отображение Рг В-г-)г является аффинным, т. в. Р(и)=Аи+уь, АтХ(В-ь)г), уеду Тогда для любой точки и, гп (/ь суигвствуют нв равные одновременно нулю мно. жители Лаграйжа Лв)0, Лв)0, ...,Ль ~0, с' гв 'г'* такие, ято Х(иь, Лв, Л', с') ппп о(и, Ль, Л', с'); аыи, Лгуг(иь)=0, г=1, т. (зу) удовлетворяет следуюи(ему условию регулярности: существует точка йен(/, пгакая, что рд(и)(0 при всех (= = 1, т. Кролге того, пусть для множества (35) выполнены условия (33).
Тогда для каждой точки ив е=(/ необходимо существуют множители Лагранжа Л* = (Л;, Л') ~Ло — «Лен Еы: Лт=»О, ..., Л ) О) такие, что пара (и„, Лв) образует седловую точку функции Е(и, Л) = т = г (и)+, 'Лткг(и) в смысле определения 8. с=г Доказательство этой теоремы ничем не отличается от доказательства аналогичной теоремы 4.8.2 из «4«. Приведем формулировки двух теорем, дагоших необходимые условия оптимальности для задачи Если, кроме того, образ множества (]г при отображении и -ьР(и) содержит окрестность нуля пространства У и существуе]п точки й т (7 такая, что Р(и)=0, дг(б) < О, 1=1, т, то Лв) О (можно принять Л,*=1).
В последнем случае условия (37) являются также и достаточнйми для того, чтобы и щ (I . Примером эадачн вида (36) является рассмотренная выше задача оптимального управления (7) — (!0]: в ней ограничения типа дг (и) ей О отсУтствУют (т=О), отобРажение Р; Л'[(ь, Т]- Нл[]ы Т) описывается задачей Коши (8), (9) нлк (11]. Прнмеяяя теорему 9 к задаче П) — (10), можно получить условия (24). Для формулировки следующей теоремы нам понадобятся понятне днфференпнруемого отображения, обобщающего определение 1.
Оп р еде ленке 9. Пусть В, 1' — банаховы пространства, пусть отображение Р:  — У определено в окрестности 0 (и, у]= (о: о ш В, ]с — и]<у) точки и Говорят, что отображение Р дифференцируемо в точке и, если существует оператор Р'(и) щ Х(В -ь 1') такой, что Р (и+ И) — Р (и) = Р' (и) И+ о (И, и), где !!о(И, и)]г/]И]л-ьО прн ]И[в-ьО. Оператор Р'(и) называют производной отображения Р в точке и. Простейшим примером днфференцнруемого отображения может служить аффннный оператор Р(и)=Аи+у, А гм Х(В-ь У), у чн У.
Теорема 1О. Пусть в задаче (36) (го=В, функции г'(и), уг(и), ..., д (и) и опюбражения Р(и) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности елочки иг гн (]г, причем производная Р'(и) отображения Р непрерывна в точке и, и образ пространспма В лри отображении и- Р' (и,) и замкнут. Тогда существуют не ровные одновременно нулю множители Лагранжа Лгч)0, Ц)0, ..., Л* )О, с' гм У' такие, что Х„(и~, Лвг, Л", с")=Л*у' (и )-]- ~ Лгу~(и )+(Р' (и ))'се=О, г=! Лгйг(и,)=0, г=1, т.
Если, кроме того, образ значений оператора Р'(и,) совпадает с У (т. е. для любого у щ У найдется точки и щ В, удовлетворяющая условию Р' (и,) и=у) и сущгствует такая точка й щ В, ипо Р'(й,) й= = О, (йг (и ), й) < 0 для пых г, 1 ~ 1 ( т, для которых уг (и ) = О, то Л," ) 0 (можно принять Л,*=1), Теоремы 9, !0 представляют собой обобщение аналогичных конечномерных теорем нз Я 4.8, 4.9 [4]. Доказательство этих теорем, а также другие теоремы такого тяпа можно найти в [1, 91, 100, 137, 138, 140, !44, 188, 189, 207, 209, 232] 9. Напомним, что прн доказательстве теорем нэ Я 4.8, 4.9 [4] были существенно использованы теоремы отделимости 4.6.1 — 4.6.3 [4].
Аналогнчные теоремы отделнмостн играют важную роль прн нсследованнн условий оптимальности в задаче (36) н во многих других вопросах выпуклого анализа в банаховых пространствах. Приведем одну нз танях теорем. Сначала напомним определенна отделяющей н опорной гнперплоскостей. О и р е де л е н н е 10 Пусть М н Н вЂ” два мно кества нз банахова пространства В.
Говорят, что гиперплосьость (с, и)=7 отделяет 89 множесяюа М и Л), если (с, а) «у при всех а я М и (с, Ь) <Т при всех Ь ш Л', нли, иначе говоря, выполняются неравенства энр (с, Ь) (у< 3п! (с, а). ьын гым Если ьнр (с, Ь) < !и! (с. а), то говорят, что инолкгства М и Л! ьшн аши сююно отделена. Если (с, Ь) < (с, а) при всех и ги М, Ь ш Л1, то говорят о с!прогал! отделении этих множеств. О и р е д е л е н и е 11, Пусть Х вЂ” »шожество из банахова пространства В, точка у ш Л вЂ” замыкание Х в метрике В Гнперплоскость (с, и) =у вазывают торной к множеству Х в точке у, если (с, к) «у при всех к си Х и (с, у)=-у Иначе говоря, опорная гнперплоскость отделяет множество Х и то !ку у.
Теорем а !1. Пусть Л1, )1 — выпуклою множества из блана!ова пространства В, причем ий М вЂ” л!ножгство гнутрснник точек множества М непусто и 1п1 М П 1«'= ф Тогда с!лиусгпв!лет гипсрплоскость (с, и) =у, разделяющая эти два множества, а также ик замыкания М и ЛГ, т. е. (с, и) «.Т=-(с, о) при осек и ен Л1, о я Л! При этом, если М, лч' имеют общню граничную точку у, то у = = (с, у) [11, 200[. В теореме 11 в отличие от аналогичной конечномерной теопечы 4.5.2 из [4[ требуется условие !п1 М Ф Ук Приведем примеры, пока. зывающне существенность этого условия для справедливости тео.
ремы !1. ! Пример 6. Пусть У=~и=(ил, .„, и", ...)гз!»! [ия,< —, и' и=1, 2, ...~ — «гильбертов кирпич» Г!окажем, что это множество не имеет внутренних точек. Возьмем произвольную точку и = =(и', ..., и", ...) я У. Положим е=(е', ..., е", ...), где е" = = з!цп ия)па, п=!, 2, ...; 1!2 < а < 1. Так как [[е [г= ~ ! е" !з = .=! О» п з" <со, го ели!. Возьмем точку и+ее, где е)0 Для и=! каждого в)0 найдется номер Л!=Лг(е) такой, что [и"+ее"!= =[и'»[+ел а«вп-и)п ' прн всех п)Л1.
Это значит, что и+ + ее Ф У при всех в ) О. Таким образом, 1п1 У= ф, т. е. У состоит лишь нз граничных точек. Далее, множество у выпукло. В самом деле, если [ин [<а.г, [о" [<и ", и=!, 2, ..., то [аи" +(! — а) оа !<и ! при всех и=!, 2, ..., 0<и<1. Отсюда следует, что если и, ошУ, то пи+ +(1 — а) о !и У при всех а, 0<я<1. Выпуклость У доказана. Геометрические представления о выпуклых множествах «нодсказывают» нам гипотезу о том, что через любую граничную точку выпуклого множества, по.видимому, можно провести опорную гиперплоскость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
