Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пример 6. Пусть 1(и)=)и,.'! — норма в банаховом пространстве В. Так как ]иг + (1 — а) о ,'! а ! и !! + -!-(1 — сс)!о! при всех и, о я=.В, О=се 1, то 1(и) выпукла на В. Далее, из неравенства !!!ий,! — ! и,'!! «!!и — ий ] следует, что 1(и) =! и',! непрерывна в метрике В во всех точках и ~ В. Согласно теореме 5 тогда 1 (и) = ! и',! слабо полунепрерывна снизу на В, т. е. !пп ! и„(!- ! и ] для любой последовательности (и„], слабо сходящейся к точке и. Полезно заметить, что норма в В, вообще говоря, не будет слабо непрерывной функцией. Например, если В=г'.й10, !], то последовательность ий=з!ппМ, О«!« ==1, )с=1, 2, ..., слабо сходится к нулю, но 1(и„) =- =]и„]=!г]/2тс 1(0) =(01=0, так что !!гп 1(ий)) 1(0). Аналогично устанавливается слабая полунепрерывность снизу иа В функции 1(и) =-~ и!П при всех у- 1.
Из теорем 2 — 6 следует Теорема 6. Оусгпь У вЂ” вьтуклое замкнутог огрпниченное множество из ре рлексивного бпнпхова прсспгрпнсгпвп В, функция 1 (и) выпуклп и полунепрерывна снизу на У. Тогда 1 .л. — со, (l„нспуспго, выггукло, залггснуто, огрпничено и лгобая лсининизирующая последовательность (иг..) слабо сходигпся к Уч. Приведем несколько примеров задач минимизации, показывающих, что условия доказанных выше теорейл не могут быть существенно ослаблены.
53 Пр имер 7. Рассмотрим задачу минимизации функции ! ,7 (и) = ~ (х~ (!) — и' (!)) Ш о при условиях х (!) = и (!), О ( ! ( 1; х (0) = О, и е и (!) я0 = =(и(!) ~Ь,[0, Ц: !и(!)! ц:1 почти всюду на [О, Ц). Как было показано в примере 7.4.2 из [4], в этой задаче функция У(и) не достигает иа У своей нижней грани ,)„= — 1 Заметим, что здесь множество слабо компактно (см. примеры 2 и 5). Функция 1(и) непрерывна на () в метрике Г.,[0, Ц, но она не является слабо полунепрерывной снизу. В самом деле, возьмем последовательность ил=э!и пл1, 0~!(1, и=1, 2, ..., слабо сходящуюся к нулю.
Нетрудно проверить, что 1)гп ) (из) = — 1!2 ( (,)(0)=0, т. е. слабой полунепрерывности снизу нет. Пример 8. Рассмотрим задачу минимизации функции 1 ,7(и) = ~ з)дп (1/2 — 1) и (!) Ш о при и=и(!) е:- И=(и(!) а= С[0, Ц: ~ и(!) / =1, О((:~1]; (! — единичный шар в С[0, 1]. Нетрудно видеть, что .! (и) > — ! при всех и ев О, н о 1пп /(иь) = — 1, где и„= = и, (!) =- л (! — 1!2) при ! ! — 1!2 ! ~ 1/)г, и, (!) = з)яп (! — 1/2) при ~ ! — 1)2 ~ ) 1(й, )г= 1, 2, ... Следовательно, у = — 1, но нижняя грань 1(и) на У не достигается.
Заметим, что здесь У(и) выпукла и непрерывна в метрике С[0, Ц и согласно теореме 5 она слабо полунепрерывна снизу на С[0, Ц (точнее говоря, она даже линейна и слабо непрерывна на С[0, Ц). Кроме того, множество У выпукло, замкнуто и ограничено в С!О, Ц. Однако пространство С[0, Ц не является рефлексивным и множество У не будет слабо компактным. Любопытно, что на более широком множестве кусочно непрерывных функций, удовлетворяющих условию ~ и(!)!(1, рассматриваемая функция достигает своей нижней грани при и„= з):п (! — 1(2), О~! =1. 4.
Теоремы 2 и б отличаются от теоремы ! тем, что требования к множеству У в теоремах 2, 6 несколько ослаблены по сравнению с теоремой 1, ио зато на минимизируемую функцию накладываются более жесткие ограничения. Действуя в этом же направлении, в част- 54 ности, отказываясь от требования ограниченности множества У, можно получить другие теоремы Вейерштрасса. Приведем несколько таких теорем. Теорема 7. Пусть У вЂ” выпуклое замкнутое множество из рефлексивного банахова пространства В, функция У (и) вьтукла, полунепрерывна снизу на У и для некоторой фиксированной точки о ен У множество Лебега М (о) = (и ен (I: й (и) ( й (о) ) ограничено.
Тогда,1„) — оо, 0„чь ф, (7,„— выпукло, замкнуто, ограничено и, кроме того, любая минимизирующая последовательность (иь) ~ М (о) слабо в В сходится к (7,. Доказательство проводится так же, как и доказательство аналогичной теоремы 2.1.2 нз [4!. А именно, сначала устанавливаем, что нижняя грань г'(и) на (7 может достигаться лишь в точках множества М(о). Затем доказываем, что М (о) выпукло и замкнуто в метрике В. Кроме того, М (о) ограничено по условию. Применяя теорему 6 к функции l(и) на множестве М(о), получаем все утверждения теоремы 7.
Достаточным для ограниченности множества М (о) является условие 1пп Х(и„) = +со, которое должно выполняться для любой последовательности (иь) ен У, 1пп (и,(= =+со (ср. с теоремой 2.!.3 из 141). К функциям, удовлетворяющим последнему условию, относятся сильно выпуклые функцни — см. определение 2.6. Для таких функций справедлива Теорема 8.
Пусть У вЂ” еьтуклос замкнутое множество из гильбертова пространства Н, а функция г'(и) сильно выпукла и полунепрерывна снизу на У. Тогда 1) множество Лебега М (о) = (и ~ У: г' (и) ( У (о)) выпукло, замкнуто и ограничено при всех о ен 0; 2) й ) — со, У„, Ф (В, причем У„, состоит из единственной точки и,„; 3) любая минимизирующая последовательность (иь) сходится к точке и„по норме Н, причем к1и,— и,!'(г(и,) — У(и„), я=1, 2, ... Доказательство ограниченности множества М (о) проводится дословно так же, как в теореме 4.3.1 из 14!. Отсюда и из теоремы 7 следует, что 7, ) — со, У, ~ ф. Так как г'(и) строго выпукла, то У состоит из единст- бь венной точки и„. Справедливо неравенство и, и — и !е - /(и) — у(и„), и — у, которое доказывается так же, как это было сделано прн доказательстве теоремы 4.3.1 из [4).
Отсюда следует утверждение 3) теоремы. Утверждение, аналогичное теореме 8, справедливо также и для класса равномерно выпуклых функций, более широкого, чем класс сильно выпуклых функций. Определение 8. Функцию 7(и), определенную на выпуклом множестве (7 из банахова пространства В, называют равномерно выпуклой на (/, если существует неотрицательная функция 6(!), определенная прн всех (, 0( ~ ((г(!аш(7= зцр [и — о!, 6(0) =О, 6((о))0 при неко- и. ояц тором („0((о(61аш(7, и такая, что ,7 (аи+ (1 — а) о) ( а.( (и)+(1 — а) 7 (о) — а(1 — а) 6([и — о [) при всех и, оса(7, аен[0, !!.
Функцию 6(() называют модулем выпуклости функции 7(и) на (У, а функцию р (() = !п! ш! а/ (и)+ (1 — а) .Г (о) — ! (а и+(! — а) о) Ока к! Ди — о!=! а (! — а! и, оаэи — точным модулем выпуклости Х(и) на (7. Если 6(() >О при всех (, 0(((д!ап!(7, то такую функцию называют строго равномерно вьтуклои на (7.
Если функция ((и) строго равномерно выпукла на (7, то существует модуль выпуклости (например, можно взять 6(() =(о(!)), который строго монотонно растет при возрастании ! н стремится к нулю тогда и только тогда, когда (-+-+О (см. лемму 4.7.2 из [4!). Всякая сильно выпуклая функция является строго равномерно выпуклой с модулем выпуклости 6 (() = и(е. Заметим, что в любом гпльбертовом пространстве Н существуют равномерно выпуклые функции. Например, функция г (и)=[и!тн строго равномерно выпукла на Н при всех у» 2 с модулем выпуклости б(!) = (1/2)т-Чт [69!.
В пространствах В'(6) и (р функция ((и)=)и!т строго равномерно выпукла на всем пространстве при всех у»р 2 с модулем выпуклости 6(!)= — (1/2)т-Чт, а при 1(р(2 эта функция строго равномерно выпукла при всех у)! на любом выпуклом ограниченн<м множестве из рассматриваемого пространства Ь' (6) или (р(891, 56 Доказательство ограниченности множества М (о) про- водится так же, как в теореме 4.7.1 из (4). Отсюда и из теоремы ? следуют утверждения !), 2) теоремы. Строго равномерно выпуклая функция строго выпукла, значит, (/, состоит из единственной точки и„. Неравенство 6 (1 и — и, ~) «л' (и) — У (и,), и ен (/, доказывается так же, как в теореме 4.7.1 из !41.
Отсюда следует утверждение 3) теоремы. Теоремы 1, 2, 6 — 9 широко используются в различ- ных приложениях: при доказательстве существования элемента наилучшего приближения в теории приближе- ния функций, существования решения в задачах опти- мального управления и т. д. Некоторые из таких прило- жений будут рассмотрены ниже. Более тонкие теоремы существования, учитывающие специфику конкретных клас- сов экстремальных задач, можно найти в 11, 49, 71, 109, 122, 144, 220) и др. 5.
Для иллюстрации приведенных выше теорем Вейер- штрасса рассмотрим задачу л (и)=~х(Т, и) — у!'-л-!п1, х (1) = 4 (1) х (1) + В (1) и (() +) (1), (ь «1«Т, х ((ь) = хь, и = и (1) ен (/ ы Щ„Т1л (1) (2) (3) (4) И Так как сумма любой выпуклой функции и равномерно выпуклой функции является равномерно выпуклой, то классы равномерно выпуклых функций в упомянутых пространствах достаточно богаты. Теорема 9. Пусть (/ — выпуклое замкнутое множеспмо из рефлексивного банохова пространства В, функция /(и) равномерно выпукла и полунвпрерывна снизу на !/. Тогда 1) ллнолсество Лебега М(о) вгыпукло замкнуто и ограничено ври всех о е= (/; 2) /„) — са, (/„~ (0, причелг (/, выпукло, замкнуто и ограпичепо; 3! если, кроме поло, с(ункл!ия /(и) строго равномерно вьтукли но (/, то У„состооит из единственной точки и, и всякая минимизируюи(ая послесоватвльность (и,) сходится к точке и по ноолм В, причелг 6(!иь — и„()«/(ил) — У(и„), /г=!, 2,...
где А ()), В((), 7(Г) — заданные кусочно непрерывные матрицы-функции порядка и х г), п хе, им 1 соответственно; моменты времени 1,, Т и точки х„у ен Е" заданы; У вЂ” некоторое множество из Ц[св, Т) (см. задачу (2.7)— (2.10)). В 3 2 было установлено, что функция (1) при условиях (2), (3) принадлежит классу С)л на 1.',[1,, Т'1 (см.
теорему 2.6) и, следовательно, непрерывна в метрике Ь.,'[(ь, Т~, кроме того, она выпукла на Ц[Гь, Т~. Согласно теореме 5 тогда 2 (и) слабо полунепрерывна снизу на 1.,'[Г„Т). На самом деле, оказывается, эта функция слабо непрерывна на А~[го Т) Теорема 10, Лусть мат рицы А ((), В ((), 1 (() кусочно непрерывны на отрезке (ь(((Т. Тогда функция (1) при условиях (2), (3) слабо непрерывна на Е, '[1„Т). Если, кроме того, (/ — выпуклое, замкнутое и ограниченное множество из Е,'[1ь, Т), то множество У, точек минимума задачи (1) — (4) непусто, выпукло, замкнуто, ограничено, и любая минимизирующая последовательность слабо в ,Ц(ь, Т'! сходится к У . Доказательство.
Возьмем произвольную последовательность (и,) енЕ',[(ь, Т), слабо сходящуюся к некоторой точке и= и (() ен Ц[(„Т~. Покажем, что тогда (,) (иь)) -)-,) (и). Для этого сначала установим, что !пп х((, иь)=х(1, и) при всех г, гь(((Т. (5) Обозначим гь(1)=х(1, иь) — х((, и), (ь(((Т. Из равенства (2.11), определяющего решение задачи Коши (2), (3), следует г, (() = ~ А (т) гь (т) дт+ )г В (т) (и„(с) — и (т)) с(т, )е )о (о~(~ Т Тогда ! 1«))))!~А -1)«)))г -)$1л) )) )) — ) ))г $, с, Т, где А .,= зцр )А(т,",.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
