Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Множество У из Х называется т-компактным, если из любого открытого покрытия (6 ) множество У можно выбрать конечное подпокрытие (Оо,, Оп„ ... Оо„) В метричесинх пространствах (в частности, в Е" и в банаховых пространствах с их сильной топологией) все три понятия компактности равносильны (110, стр. 43). Замечательно и то, что в слабой топологии банаховых пространств зти три понятия компактности также равносильны (1!О, стр. 292). В других топологических пространствах зти понятия, вообще говоря, не будут равносильными, и можно лишь сказать, что в общем случае нз ч(компактности (опре- деление !4) и т-секвенциальной компактности (определение 12) следует т-счетная компактность (определение 13) (!1, 1!О) Оп р еде лен не !5.

Функция /(и) называется т-секвенциально голунгпрерывной снизу в пгочке и ш (/, если для любой последовательности (иь) ш У, т-сходящейся к точне и, справедливо неравенство !пп /(иь) > / (и) Функция / (и) называется т-секвенциально полуя сь непрерывной снизу на множеспюе У, если она т-секвенциально полу- непрерывна снизу в каждой точке и ев У. Оп р ед еле н и е 16 Фуниция /(и) называется т-лолунелрерывной снизу в точке и еа У, если для любого числа в > О найдется окрестность бг чм т точки и такая, что /(о) зв / (и) — е для всех о ш ш бг() У. Функция /(и) называется т-полунепреризной снизу на множестве (/, если она т-полунепрерывна снизу в каждой точке и ш У.

Нетрудно видеть, что если функция т-полунепрерывна снизу, то она т.секвенциально полунепрерывна снизу В метрических пространствах (в частности, в Еь и в банаховых пространствах с их сильной топологией) понятия т-полунепрерывности снизу и т-секвенциальиой полунепрерывности снизу равносильны. Согласованно используя введенные выше различные поиятия компактности множества и полунепрерывности снизу функции, можно получить различные варианты теоремы Вейергптрасса. Приведем формулировки нескольких таких теорем. В этих теоремах будет предполагаться, что У вЂ” некоторос множество из топологического пространства (Х, т), а функция / (и) определена и конечна на множес(ве У Теорема 12. Пусть множество У т-сгквгнциольно компактно, а функция /(и) т-секвенциально полунепрерывна снизу на У.

Тогда /, ='ш1/(и) > — со, множество У„(и ш У: /(и) =/ ) непусто и и т-секвенциально компактно; любая минимизирующая последовательность (иь) т-секвгнциально компактна и т-сходится к У,. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2. Теорема 13. Пасть множество У т.компактно, а функция /(и) т-лолунелрерывна снизу на У. Тогда /ч ) — со, множество У„ непусто, замкнуто в множестве У (т. е. У,=О с/) и т-компактно; любач минимизирующая послгдовапмльность (иь) т-счетно компактна и т-сходится к У,. Доказательство утверждений о том, что / ) — со У ~ Ч/, см в (11). Теорема 14. Пусть множество У т-счетно колпинпшо, а функция /(и) т.полунепрерьгвна снизу на У.

Тогда / ) — со, множество У, непусто и т-счетно компактно; любая минимизирующая последовательность (иь) т.счетно компактна и т-сходится к У,. Читатель может теперь заметитгч что при формулйровке и доказательстве теорем Вейерштрасса 1, 2, б — 11 этого параграфа мы пользовались понятиями секвенциальной компактности и секвенциальной полуиепрерывности снизу в соответствующих топологиях.

Это обстоятельство мажет быть оправдано двумя причинами: во.первых, проверку секвенциальной компактности множества и секвенциальной полунепрерывности функции во многих прикладных задачах можно осуществить гораздо проще, чем других понятий коипактности и полунепрерывностн снизу, и, во-вторых, для экстремальных задач, рассматриваемых в метрических и банаховых пространствах с их сильной или слабой топологией, в которых, как было замечено, все три понятия компактности равносильны, этот подход не приводит к потере общности. ! У и р а ж н е н и я.

1. Показать, что функция,/ (и) = [ чз (1) Ж о непрерывна на С [О, 1[ в метрике С [О, 1[. Установить, что на множестве (/=[и=и (Г) ~ С [О, 1[: и(0)=0, и(1)=-1) эта фуннция не достигает своей нижней грани 7„=0 Ограничена ли эта функция на (/ сверху? ! 2. Пусть 7(и)=) и (1) Л вЂ” и(!/2), и=и(г) ы С [О, ![. Доказать, о что 1) эта функция пикейна и непрерывна иа С [О, Ц в метрике этого пространства; 2) на единичном шаре (/= [и=и (1) яя С [О, 1[:,и(1) ( =1, О. 1(1) эта функция ограничена сверху н снизу, но не достигает на (Г ни нижней грани 7 =- — 2, ни верхней грани а'*=2.

! 3. Доказать, что функция а(и) =(~ и (1) 3! — и(1!2)+2) ' конечна о и непрерывна в метрике С[0, 1[ на лщожестве (7=[и=и (1) ~мС[0, ![: , 'и(Г) ! 1, 0(1(!), но не ограничена па (Г снизу. 4. Проверить, что теоремы 10, !1 сохраняют силу, если от элементов аы (!), ЬУ(1), Н (Г), Ге( !( Т, матРиц А (Г), В (Г), [(Г) вместо кусочной непрерывности на [1„Т) потребовать аб (1) ы ~„((а, Т[; 50(!) НВ)~мк. [г Т[ 5.

Пусть матрицы А (Г), В (Г), [(1) удовлетворяют условиям тео. ремы 10 (илн условиям предыдущего упражнения) и пусть р(1) я ~ ь„" [(а, Т[ — заданная функция. Доказать, что тогда функция Т 7(и)=[!х(1, и)-р(!)! а гэ при условивх (2), (3) слабо непрерывна на С~ро, Т) и достигает своей нижней и верхней грани на любом выпуклом замкнутом ограниченном множестве (7 из Сэ[)а, Т~. Указание: установить, что предельный переход в (5) является равномерным на отрезке [Оь Т[ 1 5. Пусть з'(и)=)[(и(1))Ш. 1) Доказать, что если [(и) непрео рывка на Ех, то функция а'(и) непрерывна на С [О, 1) в метрике этого пространства. 2) Доказать, что если 1[(и+з) — [(и) ((С([и; !з'+! за, прн всех и, з ~ж Ег, С =сопз1 ~ О, то функция Х(и) непрерывна иа Са[0, 1[ в метрике !., [О, 1).

3) Если [(и) полунепрерывна снизу на Ех, то будет ли з'(и) полунепрерывной снизу в метрике С [О, 1[ или С,[0, ! [? 4) Доказать, что если [(и) (сильно) выпукла на Ех, то / (и) (сильно) выпукла на !.а[0, 1[. 5) Доказать, что если [(и) выпукла и удовлетворяет условию п. 2), то Х(и) достигает своей нижней грани на любом выпуклом замкнутом ограниченном мноясестае Н из Са [О, 1[.

7. Пусть А — линейный ограниченный самосопряжснный оператор, действу!ощий из гильбертова пространства Н в Н, 6 чм Н. Если 64 А — сильно положительный оператор, т. е. (Аи, и) «р) и,',з, и ш Н, )г- — — сопЫ) О, то функция 1 й(и)=- (Аи, и) — (Ь, и) 2 сильно выпукла на Н и на любом выпук,чом замкнутом множестве (? ы Н досчигаст своей нижней грани на единственном элементе и„ ш Н. Доказать.

При Н= Н и„ является единственным решением уравнения Аи = Ь; это обстоятельство лежит в основе лгетода Ритца решения уравнений Аи = Ь 8 Доказать, что в рефлексивном банаховом пространстве В сира. ведливо равенство ', с и, = гпах (с, и) при всех с гм В'. аж~~1 9. Доказать, что функции й(п)=, и — и" иа любом выпуклом замкнутом множестве (Г рефлексивного банахова пространства достигает своей нижней грави (иначе говоря, существует проекция любой точки и аа В на мвоткество (Г илн элемент наилучшего 'приближения из (г для заданного элемента й ш В).

!О. В пространстве ь' (6), ! ( р < со, рассыотрим два множества Р (I = !!и =и (!) =(и (?), ..., иг (!)) ш 1.' (6); и1(!) и (иг(!) ( 61(!) для почти всех ге О, 1= 1, г), (г = ~и=и (г) ш !.„'(6): ! ! и (!) — и (!)," й! к??"~, и где функции й=й (!) а ь~~(6), сг (!), [)1(!) ш е (6), 1=1, г, и число )? ) 0 заданы. Доказать, что эти множества слабо компактны в Ь'(6), 1(р<со, но не компактны в метрике этого пространства. Будут ли зти множества слабо компактными в 1.'(6) или Ь' (6)? 1!. Доказать, что «гильбертов кирпич» (см. пример 2.6) компактен н метрике 1,.

1 12 Доказать, что функция й(и)=~ иэ(!) йг не является непрерывной в метрике Ьз[0, 1[. Будет ли она полунепрерывной снизу в метрике йз[0, 1[? 1 13. Доказать, что функция й(и)=~ [й(г),зж, определенная на о Нт [О, 1[, разрывна в метрике С [О, 1[. Будет ли она полунепрерывной снизу н этой метрике? 14. Пусчь Р— линейное нормированное пространство всех алгебраических многочленов на отрезке [О, 1) с нормой,", и(!) !,'= 1пах [и(1),.

О<1<! и и положим 1(н)= ~, 'аг , 'для и=и (г)= ~ пг!1 гм Р. Доказать, что 1=0 1=О з (и) выпукла на Р, но не является непрерывной па Р. Указа"" в: РассмотРеть последовательность па =иэ (!) =!э — !эгь, 0(1( 1, Будет лн /(и) полунепрерывной снизу на Р? -' Ь. П Пьсииие„ бБ 15 Пусть У вЂ” открытое выпуклое множество из банахава пространства В, а функция l (и) конечна, полунепрерывиа снизу и выпукла на У. Доназать, что 7 (и) имеет субградиент во всех точках и ю У и слабо полунепрерывна снизу на У [79[.

16. Пусть 7 (и) — выпуклая функция иа открытом выпуклом множестве У банахова пространства В. Доказать, что следующие четыре утверждения зививалентны: 1) 7(и) полунепрерывна сверху в точке о щ У в метрике В; 2) l (и) непрерывна в точке о в метрике В; 3) 7 (о) ограничена в некоторой окрестности точки о; 4) 7 (и) ограничена сверху в некоторой окрестности точки о [79[, 17. Пусть У в множество из топологического пространства (Х, т), а функция l (и) определена и конечна на У, Доказать, что для того чтобы 7 (и) была т.полунепрерывной снизу (см.

Характеристики

Список файлов книги