Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Примерами выпуклой функции на баиаховом пространстве В являются аффинная функция У(и) =-(с, и)+сь, где се=В', и=сопз1, и норма У(и)=~!и!в. Определение 7. Функция г(и), определенная на выпуклом множестве () из гильбертова пространства И, называется сильно вььчуклой на У, если существует постоянная х ) 0 такая, что .7 (аи + ( ! — а) о) ==. аз (и) + (1 — сс) У (о) — а (1 — а) и)и — о ф при всех и, о ~ (/ и и ен(0, 1). Постоянную и называют константой сильной выпуклости функции У (и) на множестве У. Очевидно, сильно выпуклая на У функция будет выпуклой и даже строго выпуклой на (/.
Примером сильно выпуклой функции на Н может служить функция .'(и)=) и)й=(и, и)н, и енН; для этой функции перавенство из определения 7'превращается в тождественное равенство с константой и= 1. Приведем несколько критериев выпуклости и сильной выпуклости гладких функций. Теорема 1. Пусть У вЂ” выпуклое мнохсество из банахова пространства В.
Тогда для того чтобы функция л' (и) из С'(У) бьсла выпукла на (/, необходимо и достапючно, чтобы при ссех и, о е= (3 выполнялось одно из следующих двух неравенств. у (и),/(о)+(у (о), и — о) 24 или (1'(и) — 1'(о), и — о))0. Если 1п! Учи !// и 1(и) ен С'((/), то для выпуклости 1(и) на (/ необходимо и достаточно, чтобы (ьт(и) $, Ц) )0 при всех $ е В, и ен (/.
Теорема 2. Пусть (/ — вьтуклое множество из гильбертова пространства Н и пусть функция 1(и) принадлежит С'((/). Тогда для и;ого чтобы,/(и) была сильно выпуклой на (/, необходилю и достаточно выполнение одного из следующих двух условий: 1) существует поспюянная и 0 такая, что 1(и))1(о)+(1'(о), и — о)+и~и — о)н, и, вен(/; 2) существует постоянная р) 0 такая, что (1'(и) — 1'(о), и — о))р,и — о1)о и, о~(/. Если !п!(/Ф О) и 1(и) в=С'((/), то для сильной выпуклости 1(и) на (/ необходимо и достаточно существование постоянной и ) 0 такой, что (1" (и) "„Ц) ~ и Д/й при всех $ е-:Н, и я(/.
Теоремы 1, 2 доказываются совершенно так же, как и аналогичные теоремы 4,2.2, 4,2.4, 4.2.5, 4.3.2 — 4.3.4 из !41. Между константами к и и из теоремы 2 существует простая связь: и=2н. Если 1(и) сильно выпукла н принадлежит С' '((/), то р=2н(Е. Если в примере 2 оператор А — самосопряженный и положительно определенный (неотрицательный), т.
е. (А$, $)) и!$1)г, 5енН, р=сопз!)О (ц=О), то согласно теореме 2 (теореме 1) функция 1(и) = 1 = — (Аи, и) — (Ь, и), ие=Н, сильно выпукла (выпукла) на Н. Функция 1(и) = ! Аи — Ь 1'и, и ен В, из примера 3 выпукла на В. Если В = Н и (А* А$, С) = = (А5, А;-) =!А~(ь-= р, '$!', ~ в= Н, и =сонг!)О, то согласно теореме 2 зта функция сильно выпукла на Н. Аналогично, функция У(и) из примера 4 выпукла на /.,[а, Ь[, а если [а, Ь)=[с, с/1, ь ь /ь ~ ~1 ~ А (в, /) А (в, т) г/в ~ $ (/) ~ (т) йв с(т = аа (а ! ь ь 2 ~ А (в, /) $ (/) с(/ с(в ) р ~ ~ $ (/)," с(/, а ь а И)0, $(/) енц[а, Ь), то она сильно выпукла на Ее[а, Ь).
5. Пусть // — некоторое множество, а У(и) — функция, определенная на этом множестве. Всюду ниже, если не оговорено противное, будем рассматривать лишьфункции, принимающие конечные вещественные значения. Для обозначения задачи минимизации функции / (и) на множестве 1/ часто будем пользоваться следу1ощей краткой стандартной записью: / (и) -+ |п1; и ен (/. (3) Напомним определения некоторых понятий. Функцию /(и) называют ограниченной снизу (сверху) на множестве (/, если существует число М такое, что /(и)~М (/(и)ч-М) для всех и ~ (/.
Функция /(и) не ограничена снизу (сверху) на (/, если существует последовательность [и„', ~(/, для которой 1пп /(иь)= — со ['1пп /(иь) = =+ос). Пусть функция /(и) ограничена снизу (сверху) на (/. Тогда число а называют нижнеи" (верхней) гранью /(и) на (/, если 1) /(и).= а [,/(и) (а) при всех и вн(/; 2) для любого е- 0 найдется точка и, ен(/, для которой /(и,)( <а+и [/(и,))а — е). Если /(и) не ограничена снизу (сверху) на (/, то в качестве нижней (верхней) грани /(и) на (/ принимают а= — со (а=+ со). Нижнюю (верхнюю) грань /(и) на (/ обозначают )п1 / (и) =,/, /ьцр / (и) = /*).
и ~ и Точки множества (/ =[и ен(/: /(и)=Х ) (Р=(ия(/: /(и)= /ь)) называют точками минимума (максимума) функции ./(и) на множестве (/. 26 Последовательность (ил) ен У называют минимизирую- и(ей (максим лируюи(ей) для функции ( (и) на множестве У, если 1!гп У(и,)=Х ('!!гп г(ил)= У"). Ь со 'се со Пусть У вЂ” множество из метрического (например, банахова) пространства, р (и, о) — расстояние между точками и и о в этом пространстве. Точку о„ен 0 называют точкой локального минимума (макспмума) функции 7 (и) на множестве У, если существует число а) О такое, что г'(о„) « «у(и) [у(о„) )((и)) для всех и ~(7 П (и: р(и, о*)(а)= = Оо(о„а).
Если при некотором а)0 справедливо неравенство )(о„) ( У(и) (У(о,)) ((и)) для всех ив= в=Оо(о, а), и~=о, то о„называют точкой строгого локального минимума (максимума). Точки ио е= У, часто называют точками глобального минимума функции ) (и) на множестве У. Выпуклая функция на выпуклом множестве не может иметь локальных минимумов, отличных от точек глобального минимума. Точнее, верна Теорема 3. Пусть У вЂ” выпуклое множество избанахова пространства В, а функция 7 (и) определена и выпукла на У. Тогда всякая п1очка локального минимума / (и) одновременно является точкой ее глобального минимума на У, приче,ч множество У выпукло.
Если Х(и) строго выпукла на У, то У, содержит не более одной тики. Доказательство проводится дословно так же, как доказательство аналогичной теоремы 4.2.1 из [41. 6. Как и в конечномерных экстремальных задачах, с помощью первых и вторых производных смогут быть сформулированы необходимые и достаточные условия экстремума функций на множествах из банаховых пространств. Теорема 4.
Пусть функция 3(и) задана набанаховом просгпрансп|ве В и пусть /(и„)=г'„=(п(й(и). Если в ,)(и) дифференцируема в точке и, то необходилю выполняется равенство ,7' (и„,) = О, (4) а если ((и) дважды дифференцируелса в точке и„, пю необходимо ,/'(и ) =- О, ((" (и,) е, е) ) О, е ен В. (5) 227 До к а з а т е л ь с та о. Возьмем произвольный элемент в~В и в (!) положим и=и„, 5=Ге, — со(!(+со.
Так как в точке миним)ма Ь,((и„) = 1(и„+(е) — 1(и„)- — О, то из (!) следует 0( (Г(и,) е) (+о(0 прп всех 1, где )ни о (()!( = О. Поделив это неравенство сначала на с-о ()О, затем на ((О н устремив г к нулю, получим (У(и,), е)=0 для всех еенВ, что равносильно условию (4). Если )(и) дважды дифференцируема в точке и„ то из (2) при и=и„й=(е " учетом уже доказанного равенства (4) будем иметь 0==. М (и„)=(Г'(и„) е, е) Р!2+ +о(гэ).
Отсюда, деля на (~0 и устремляя (- О, придем к второму из условий (5). Как видим, условия (4), (5) представляют собой обобщение известных необходимых условий минимума функций конечного числа переменных. Нетрудно видеть, что эти условия необходимы не только для глобального, -о и локального минимума функций на банаховом пространстве. Любопытно заметить, что, в отличие от конечно- мерных задач в банаховых пространствах, условия Л (и„) =О, (у" (и„) е, е) )О, е~О не являются достаточными для локального минимума (см. ниже упражнения б, 7). Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия минимума гладких выпуклых функций на выпуклом множестве.
Те о р ем а 5. )7усть (7 — выпуклое множество из банахова пространства В, / (и) ~ С' ((э) и пусть (/„= = ~и е= (I:,) (и) = .),„= (и(,) (и)~ — множество решений заи дачи (3). Тогда в любой точке и„~ У„необходимовыполняется неравенство (Г(и„), и — и„) гьО при всех и ен(7, (6) которое в случае и, ~ )п! В эквивалентно равенству ,)'(и„)=0. Если, кроме пи~го, Х(и) выпукла на (/, то условие (6) является достаточным для того, чтобы и в=У,, Доказательство этой теоремы проводится так же, как доказательство аналогичной теоремы 4.2.3 из [4].
Если А — самосопряженный неотрицательный оператор, то для функции )(и) из примера 2 условие (6), которое здесь имеет вид (Аи„— Ь, и — и,) )0 при всех иен(/, является необходимым и достаточным для того, чтобы 2 (и) 28 достигала в точке и, своей нижней грани на выпуклом множестве (l к Н; если (1 = Н, то это условие равносильно условию Аи,=Ь. Пусть в примере 3 В =Н вЂ” гильбертово пространство. Тогда согласно теореме 5 условие (А*(Аио — Ь), и — ио) )О, и еи(l, необходимо и достаточно для того, чтобы функция из примера 3 достигала своей нижней грани па выпуклом множестве О ы Н в точке и; если (/=Н, то это условие эквивалентно равенству А" Аи, = А*Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
