Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981), страница 2

$1. Предварительные сведения. Обозначения Здесь мы не будем приводить определения линейных, метрических, банаховых и гильбертовых пространств — эти определения„а также основные свойства этих пространств читатель может найти в 1111. Ограничимся рассмотрением лишь вещественных банаховых и гильбертовых пространств, не оговаривая этого в дальнейшем. Элементы этих пространств часто будем называть точкой или вектором.

Норму элемента в банаховом пространстве В будем обозначать через )и )а, скалярное произведение двух элементов и, о из гильбертова пространства Н вЂ” через (и, о)п. Напоминаем, что всякое гильбертово пространство Н является банаховым пространством с нормой )и!и = = ((и, и)н)п'-. Во всяком банаховом пространстве В можно ввести метрику, взяв в качестве расстояния р(и, о) между точками и, о ен В величину р(и, о) = ),и — о)в.

В тех случаях, когда ясно, о каком банаховом или гильбертовом пространстве идет речь, знаки В и Н в обозначениях )и )а, (с, и)п будем опускать и писать просто ) и 1ь (с, и). Всюду ниже такие понятия„ как ограниченность, сходпмость, замкнутость, полунепрерывность сверху илн снизу, компактность, будут пониматься в сильном смысле, т. е, в смысле нормы или метрики рассматриваемых банаховых пространств.

Если эти понятия будут употребляться в слабом смысле, то будем говорить о слабой сходимости, слабой замкнутости, слабой полунепрерывности сверху или снизу, слабой компактности. Определение некоторых из этих понятий мы приведем и кратко поясним ниже по мере необходимости. Кратко остановимся на понятии отображения. Пусть Х и У вЂ д произвольных множества. Говорят, что на Х определено отобрахгение, если каждому элементу х ен Х поставлен в соответствие некоторый однозначно определяемый элемент у ~ У. Лля обозначения отображения Р из Х в У часто пользуются записью у=Р(х) или у=Рх или Р: Х-+ У.

В зависимости от того, какова природа множеств Х и У, вместо общего термина «отображение» в соответствии с установившимися традициями часто употребляются термины «функция», «функционал», «оператор» 8 н т, д, В частности, если У представляет собой множество на числовой осн Е', то отображение Р: Х- Е' часто называют функцией. В классическом вариационном исчислении, когда в роли Х выступают различные функциональные пространства, вместо термина «функция» часто употребляют термин «функционал».

Мы ннже будем отождествлять термины «функция» и «функционал» вЂ” это позволят нам без изменения формулировок пользоваться многими определениями н теоремами из [41 и в тех случаях, когда Х представляет собой множество из метрического или банахова пространства. Через В* будем обозначать пространство, сопряженное к банахову пространству В. Напоминаем, что В* состоит из линейных ограниченных функций (функционалов), определенных на В. Значение линенной функции се= В* в точке и е= В будем обозначать через (с, и)в или (с, и',.

По определению, линейная ограннченная функция с такова, что ,'с, аи+ )Ь) = а ~с, и) + р (с, о), )',с, и) ~ = М)и1 при всех и, оенВ н всех вещественных числах а, р) М вЂ” неотрицательная постоянная, зависящая от функции с, но не зависящая от и ен В. Сопряженное пространство В* само является банаховым с нормой )с~)в.=зпр(с, и)в, где верхняя грань берется по единичному шару )и)в -.1. Отсюда следует, что ~~(с, и)в) ()с'в*)и)в прн всех и я= В, се В». Если Н вЂ” гильбертово пространство, то для всякой линейной ограниченной функции на Н найдется элемент сев Н такой, что значение этой функции в любой точке и е= Н можно представить в виде скалярного произведения ~с, и)н.

Поэтому пространство Н*, сопряженное к гильбертову пространству Н, можно отождествить с самим Н, причем такое отождествление будет изометричным, т. е. 1с~и.= знР (с, и)н 1с1н. Последнее Равен«« 'н~' ство вытекает из нерпвенстви Коши — Буняковского )(и, о)н)()и,'н)о)н, и, о=Н. Гиперплоскостью в банаховом пространстве В называют множество Г = )и: !с, и) =7Ь где счьΠ— фиксированный элемент из Вь, называемый нормальным виктором гиперплоскости, а у — некоторое вещественное число. Если Х и У вЂ” два банаховых пространства, то прямое произведение В = Х х У также является банаховым пространством с нормой !! и ,'!в = ! х !!х+ !, 'у !г элемента и = =. (х, у) ев В, и сопряженное к В пространство В" представимо в виде В" = Х" х У*.

В банаховых пространствах наряду с понятием сходимости по норме или, как еще говорят, сильной сходи- мости, важную роль играет понятие слабой сходимости. Напомним Определение 1. Говорят, что последовательность г,иь) из банахова пространства В сходится к точке иенВ слабо в В, если !!гп (с, и„)=',с, и) при всех сев В*. Если последовательность (иь! сходится к точке и сильно в В, т. е.

!!гп ! иь — и!!=О, то (иь) сходится к той ь оэ же точке также и слабо в В, тзк как ',(с, ид) — (с, и) (=)(с, иь — и, '; '~!!с!!в*'!иь — и!- О при я- со. Обратное неверно: из слабой сходимости последовательности, вообще говоря, не следует ее сильная сходимость. П р и м е р 1. Пусть Н вЂ” гильбертово пространство, пусть !еь) — некоторая бесконечная ортонормированная система в Н, т. е. (ег, еь)=О при !'Фlг и (е„еь)=1, где г, й=1, 2, ... Возьмем произвольный элемент сев ~Н" =Н. Тогда числа с„='(с, е,), lг=1, 2, ..., представляют собой коэффициенты Фурье элемента с по системе !е„). Согласно неравенству Бесселя ([1Ц, стр.

151) ~~, 'сь --!!с1з т. е. ряд ~ с1 сходится. Тогда 1пп с„= ь=! ь=! ь ю = 1пп (с, еь)=О=(с, О) при всех сев Н. Это значит, ь оз что последовательность !еьг слабо в Н сходится к нулю. Однако (еь) сильно не сходится в Н. Допустим противное: пусть (е„) сильно в Н сходится к некоторому элементу е. Выше было замечено, что тогда !е„! сходится к е слабо в Н.

В силу единственности слабого предела возможно лишь равенство е = О. А тогда ,'!еь 1- О при й- со. 1О Однако это невозможно, так как )е,~)=1 при всех 1=1, ,. Противоречие. Следовательно, (ее[ сильно в Н не сходится. В частности, пусть Н = С,[а, Ь! — пространство Лебега функций и= и(1), а(1(Ь, с нормой !и)с, = ,Ь и2 — и(1),'е(1 и со скалярным произведением (и, о)ь,:= (а = ~ и(1) о(1) е(й Тогда ортонормированные системы !ех = а — з!п ~, (еэ = ~( — соз ~ слабо ь в 1,,[а, Ь! сходятся к нулю, т. е. )с(1)е„(1)а(- О при а й -со для любой функции с(1) ен(.,[а, Ь!. Так как сопряженное пространство В* само является банаховым, то в свою очередь можно рассматривать второе сопряженное пространство (В*)* = В"', состоящее из линейных ограниченных функций на В*.

Каждому элементу и~В можно поставить в соответствие линейную ограниченную функцию,'с, и', переменной с ен В*, т. е. некоторый элемент из В*'. Оказывается, это соответствие таково, что норма ! и а совпадает с нормой порожденной нм функции (с, и), сенВм. Поэтому, отождествляя элемент нз В с порожденной им функцией из В*", получаем изометрнчное вложение пространства В в пространство В'*.

В общем случае указанное вложение Вс:.В** является строгим, т. е. возможно, что В-'- В**. В тех случаях, когда это вложение таково, что В=В'", банахово пространство В называется рефлексивным. Отображение А: Х- У, где Х, У вЂ” бапаховы пространства, называют линейным оператором, если А (их+ +)!н)=аАх+рАу для всех х, уенХ и всех вещественныт чисел и, й. Линейный оператор А: Х- У называется о раниченным, если существует постоянная М ==О такая, что 'Ах)~,~М!х[х для всех хан Х.

Если для каждого линейного ограниченного оператора А определить норму . А = зпр )Ах[аз то линейное пространство таких опе~еих < ~ раторов превращается в банахово пространство, которое принято обозначать через Ж(Х- У), Лля каждого оператора А ~ Ж(Х вЂ” У) равенство (е, Ах) = (А'е, х), х а Х, е ~ Р 11 однозначно определяет оператор А* ен,У(У*- Х*), называемый сопряженным к оператору А. Можно показать, что 1А" 1= (А). В частности, когда Х=В, у =В", сопряженный к А ен Х(В-~- В*) оператор А* принадлежит о (В*"- В*); тогда в силу указанного выше вложения В В** оператор А* определен на В и справедливо равенство (Аи, о)=(и, А*о), и, ояВ.

Каждый оператор А ев.'о (В- В") порождает билинейную функцию (Аи, о), и, о ен В. Напоминаем, что билинейной называют функцию Я(и, о) двух переменных и, о ~ В, являющуюся линейной по каждой из переменных при фиксированном значении другой переменной. Билинейная функция г(и, о) называется ограниченной, если существует постоянная М)0 такая, что (Я(и, о),( ( М)и( )о, при всех и, о я В.

Билинейная функция 9(и, о) называется симметричной, если Я(и, о) =9(о, и) при всех и, о~В. Симметричная билинейная функция 9(и, о) при и=о порождает функцию l (и)=Я(и, и), называемую квадратичной функцией. Если Х = У =Н вЂ” гильбертово пространство, то Н = = Н" =Н** и при каждом А ен,л (Н вЂ” Н) сопряженный оператор А*, определяемый равенством (Аи, о)„= = (и, А*о)н, также действует из Н в Н. Поэтому здесь возможно равенство А = А* — такой оператор А называют самосопряженным. Всякий самосопряженный оператор А: Н-~ Н порождает симметричную ограниченную билинейную функцию (Аи, о) и квадратичную функцию (Аи, и).