popovEP2 (Попов Е.П. - Теория линейных систем автоматического регулирования и управления), страница 25

при определенных условиях — подавление собственных колебаний вынужденными. й 8.2. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных дискретных систем Напомним, что абсолютная устойчивость имеет место в том случае, если система устойчива в целом при произвольной форме нелинейности определенного класса (см. В 5.$). Рассмотрим здесь два вида нелинейных дискретчых систем: а) с нелинейным амплитудно-импульсным элементом; б) с цифровым кодированием. Рис. 8ть Схема дискретной системы с нелинейным импульсным глевгентом представлена на рис.

8.5. Приведем беэ дока~ательства критерий абсолютной устойчивости состояния Ряс. 8,8. Ряс. 8.7. вавновесия такой системы (31). Пусть нелинейная ха1актеристика г (х) располагается внутри сектора (О, Й„,) ,'рнс. 8.6). В этом случае достаточный критерий абсожотвой устойчивости формулируется следующим образом, Достаточньп» критерий абсолютной устойчивости. Состояние равновесия нелинейной импульсной системы (рнс.

8.5) с устойчивой ггриведенной непрерывной частью будет абсолютно устойчивым, если в диапазоне частот 0 ~ ы < и выполняется неравенство — + Ве И'е (!»о, 0) > О, ' (8Л) где Ууе(!ег, 0) — амплитудно-фазовая характеристика приведенной неггрерывной части. Условие (8.!) могкно представать графически, как показано па рпс. 8.7, т. е. .г для устойчивости нелинейной 1 имггульсной системы типа 1 1 представленной на рис. 8.5 !1 достаточна, чтобы амплитуднофазовая характеристика ггриведенной непрерывной 1 1 части системы Иге(!»е, 0) и'у!4 у! леэсала справа от вертикаль- 1 ной прямой, проходящей че- 1 рез точку — г/А, где й оги реде яет верхнюю границу Рвс.

8.8. расположения нелинейной характеристики (рис. 8.6). Если, например, непрерывная часть системы рис. 8.5 имеет передаточную функцию И'„(д) =. и дискретное корректирую»цее устройство И "в(у,а)=- "~ »о для приведенной непрерывной части получим Иге ( 0) 2 О меч — о,! ее — 0,98 ее — О,З Заменив д = 1»о и меняя 0 ~ ег ~ и, полушм амплитудно-фазовую характеристику (рис. 8.8).

Поскольку верти»альная линия, определяемая аначеннем — 1гй„„долл»на нежать слева, то можно опрсдегшть ».ранпчпое значение гге, ффпппента Ь, до котоРого система остается абсолютно ойчивой. Иа рпс. 8.8 находим т йг == ~ стыдя оП =-3,25. лее общий случай критерия абсолютной устончпвостн я нелпнейяых импульсных скстем см. в (811. Рнс. й10. Рвс. с.9. Обратимся к цифровой диснРетной системе, Чтобы исследовать влияние квантования сигнала по уровню, положим, что этот процесс квантования представляет собой единственную нелинейность в системе.

Схема системы иэобраьчена на рис. 8.9, где гс(а) имеет вид, покааанный на рис. 8.10. Аналогична н характеристика р~(у). Блоки р,(х) и р,(Ю) работают синхронно н скнфаано. Поскольку величина Й, ограничпва|ощая нелинейную характеристику Ряс. ей11, сверху, в данном случае (рис. 8 10) равна 2, то достаточное условие абсолютной устойчивости (8.1) при устойчивой непрерывной части )у(д) примет адесь впд — + Ве И'* (уы, О) ~. О. (8.2) Если необходимо определи~ь граничный (по условиям устойчивости) общий коэффициент усиления непрерыв- ной части, следует его выписать в выражении И'*(усе, 0) в явном виде, а именно И'*(уы, 0) = КИ'с (уоэ, 0).

Тогда условие абсолютной устойчивости (8.2) прллмет вссд — + Не И",(уоз, 0) ) О. Отсюда граничный коэффициент усиления К„определит- ся, как показано на рпс. 8.11. й 8.3. Одночастотные периодические колебания в нелинейных дискретных системах Не касаясь слонсных форм колебаккй в нелпнейны; дискретных системах, обратимся к определению только одночастотных симметричных периодпческпх процессов.

Рассмотрим дискретную систему с нелиыейным амплитуд- но-импульсным элементом прп отсутствии внешнего воз- действия (рис. 8.5) . Точное решение задачи слоясно. Пслэтому обратимся к приближенному методу гармониче- ской лннеариаацпп, Допустим, что непрерывная (лпнейная) часть системы обчадает необходимым свойством фильтра, т. е, ~ И'* (у †, 0)~ ~ ~ Иг* (У вЂ” , 0)~ (Ус =- 2, 3, ..., 2ДУ вЂ” 1), где Улл — полуперпод искомых колебаний, выраясенный числом периодов чередования импульсов. Здесь указано конечное число гармоник, так как дискретная система имеет свойство переводить все частоты в дпапазон 0 -'= < ю ( н (см. $ 10.2 в 1231).

Решение для перыодпческпх колебаний прпблпжеяно оплетен а вице х(и, 0) =асов( — ". и+ср). (8,3) Гармоничеслснй коэффициент усиления нелпнейного эле- мента вычисляется по формуле лес — л .(а 1 д*(а,ср,усу) = — —., ~ г'~асов~ — и+ср))е с /. (8,4) о=о Условием воанпкновенпя симметричных колебаний на ос- ыованыы аыалога крытерия Найквнста 123) является равенство илп И'"(у —,О) =— (8.5) Это уравнение решается графически в отдельности для каждого значения у«'.

Следовательно, мы задаемся различнымп частотами н/У«колебаний и для каждой нз плх Щит — ~; йлрпзиа у ~уи находим амплитуду и и фазу заФююл Л' <р. Результат расчета пока- / жет, какие частоты колебаний и/у« могут в данной системе иметь место. ' Итак, на комплексной «у=а р плоскости (рис. 8.12) стропи кривую И'*(у —, О), вдоль которой ставим отметки разных целочисленных значений и"Ол Э А" у«'. Затеи задав«вись некоторым значением Ь' (например, Ряс.

8.!2. АУ = 3), строим серию кривых — 1/уу«для разных значений ср. Вдоль зтпх кривых ставим отметки значений амплитуды колебаний а. Искомое .решение (а, ср) даст та из кривых — 1/д", которая пройдет через точку кривой И'а(у —,О), соответствующую заданному Й. Еслн такое пересечение отсутствует, то периодические колебания с частотой я/УУ при данном АУ не существуют.

Аналогичное построение повторяется и для других значений у«'. Если ввести в рассмотрение псевдочистоту (понятие «псевдочастотаз рассматривалось в 1231), то можно воспользоваться логарпфмичесКпмп частотными характеристиками приведенной непрерывной части. Аналогично определению автоколебаипй в непрерывных нелинейных системах (з 4.3) здесь можно использовать п критерий Михайлова для дискретных систем (см.

1231). Одночастотные периодические колебания, которые рассмотрены в данном параграфе, аналогичны автоколебанн- ям. Однако этот термин к ним, строго говоря, неприме- ним, так как этп колебания ие чисто автономные; это колебания с принужденной частотой, иратной частоте следования импульсоз. И недаром в Расчете задаются разные Й, а вычисляются а и ф, в отличие от расчета аз- токолебанпй (см.

гл. 4). Одвакю чисто условно термин «автоколебанпя» можно применяя ь и здесы Пример. Пусть в схеме сгтстемы рис. 8.5 внешнее воздействие отсутствует (я = 0) и дано р (,)=~,— „, р ч -+ длительность импульсов "( = 1. 'Гогда (см, [231) 1,— З и ° а,о)=е,= е — е -ле -З Кслн нелпнейность, указанную на рпс. 8.5, описать выра- жением г"(х) = х — йхз, то для нее прв Й = 2 имеем д* =-1 — — (3-1- е-"з), а прп )У = 3 и 1У = 4 в з да=1 — а.

4 Следовательно, для У = 2 получаем гРафическое рипеиие в виде, представленном яа рис. 8.13, а одночастотных колебаний с полуперподамп ер = 3 и Ф = 4 ие существует (тан как для ннх гармонический коэффнппент усиления Ца должен быть вещественным); поэтому линия — 1/ца ,!, я с кривой И'~(у 4, 0) не пересекается. Если же нелинейность г'(х) имеет вид релейной ха- рактеристики г'(х) = з(дв х, то дня Ф четного -( *й) да = — е аЖ я мп —, 2Л' и для У нечетного 2 1 да— аУ, я нэ— 2Л' при Оа-ф< —,,у, Одночьстотные пигиоднческне колевлния 228 з(и,0) =асов~ — п+гу1 Рвс. 8.13. на основании прежнего графического способа решения уравнения И'ь (ув, О) =— (8.6) ч' (а, ч, 1УЭ Поэтому здесь необходимо найти лишь выражение да для ступенчатой нелинейности квантования и"'з(з) (рис.

8.10). Эту нелинейную характеристику записывают в виде а р.() =,Х р;(), где р — число разрядов, !г при г)г,(з) = ~ 0 при Ьг прн 2! — 1 г) — Ь, 1 К вЂ” ь, 21 — 1 з < — —.й. 2 сь возможны одночастотные периодические колебания азяымп частотами. Случай 11' = 2 представлен на . 8.14.

Периодические колебания могут воанпкать в в цифой системе как следствие квантования сигнала по вню, если в этой сиреме не выполняется усровне абсолютпой устоййивости, рассмотренное в )г)редыдущем параграфе. у' Прггблпженно одночастотаые симметричные колебания в цифровой системе определяются тем же методом гармонической лияеаризации.