popovEP1 (Попов Е.П. - Теория линейных систем автоматического регулирования и управления), страница 33

+ а ~х[п+ 1]+ а„4п] = 0 с характеристическим уравнением ааз +а~2 '+...+а„~а+а =О. (10.30) л [и] = ~ С;з"; = ~; С,ее'", 1=1 Ф 1 (10.З1) где з, — корни характеристического уравнения (~ = 1,2,... ...,т)и д; = 1п з4 з~ = е ~„ 9~ Импульсная система будет устойчивой (асимптотически), если л[п]- 0 при и- Решение разностного уравнения (когда корни простые) имеет вид причем д„являются полюсами передаточной функции замкнутой импульсной системы Фг(д). Из решения (10.31) видно, что для устойчивости имаульсной системы необходимо н достаточно, чтобы были гсе Ь~! (1.

Если хотя бы один корень Ь,!) 1, система Рвс. 10.Ю будет неустойчивой. Значением какого-либо корня Ы =1 при всех остальных Ь~! (1 определяется граниуа устойчивости импульсной системы. Следовательно, геометрически область устойчивости системы на плоскости корпей г изобразится единичным кругом (рис. 10.20, а). Если применить ш-преобразование иу= — Ф г= —, а — 1 1+ш (10.32) г+ 1' 1 — ш' то этот круг отобразится в левую полуплоскость и (рис.

10.20, б). Подставив (10.32) в характеристическое уравнение импульсной системы (10.30), получим что приводится к виду Ьсго +Ь,ю '+...+Ь„~ю+Ь =О. (10.33)' Все корни г, уравнения (10.30), лежащие внутри единичного круга (рнс. 10.20, а), перейдут в левую полу- плоскость ю (рис. 10.20, 6). Поэтому при использовании преобразованного харантеристичесного уравнения (10.33)' для устойчивости импульсной системы необходимо и до- статочно, чтобы все корпи и»» (» = 1, 2, ..., и») имели отрицательные вещественные частя.

Границей устойчивости будет случай попадания какого-либо корня и»» на мниму1о ось, когда все остальные и»» ложат слева от пее. Приведем пример. Исследуем уравнение аогг+ а»г + аз = О. (10.34) Произведя замену переменных согласно (10.32), а именно ае(1+и») +а»(1+ю)(1 — и»)+аз(1 — и») =О, получим ЬоиР+ Ь» ю+ Ьз = О, (10.35) где Ьо=ао+аз — а», Ь! =2(ао — аз), Ьз=ао+а, +аз. Условием устойчивости такой системы будет положительность коэффициентов уравнения (10.35).

Но это условие нельзя применять к исходному уравнению (10.34). В самом деле, пусть ао 1, а»=3, аз=10. Тогда Ьо=8, Ь» = — 18, Ьз=14. Поскольку не выполнено необходимое условие устойчивости для уравнения (10.35) — положительность коэффициентов,— то данная система будет неустойчивой, хотя исходное уравнение (10.34) имеет все положительные коэффициенты. Вычислим, какие при этом корин будет иметь исходное уравнение (10.34) + 3г+ 10 О г»з ~У 10 '3 9 Для устойчивости требуется !г» о! ( 1, а здесь . /9 9 ( г» з ~ — + 10 — — = г' 10 ) 1, т. е. система с данными коэффициентами характеристического уравнения действительно неустойчива.

Для исслодования устойчивости импульсных систем можно польаоваться критерием Гурвица (9 4.2) применительно к преобразованному характеристическому уравнению (10.33). Это последнее позволяет также использовать и критерий Михайлова в его обычной формулировке (1 4.3). Однако существует еще аналог нритврил Л(ихайлова, который позволяет исследовать устойчивость импульсной системы непосредственно по исходному характеристическому уравнению (10.30), не преобразовывая его. Вывод такого критерия делается аналогично выводу критерия Михайлова (з 4.3), но в другой комплексной плоскости, следующим образом. Согласно принципу аргумента число корней многочлепа Н(г)'=азг" +а1г '+...+а„1г+а, (10.36) лежащих внутри единичного круга, можно определить по числу полных оборотов вектора Н(г) при изменении г вдоль границы этого круга, т.

е. при г = е'", — я(в(я. Следовательно, если все и корней характеристического многочлена (10.36) лежат внутри единичного круга, то Л агй Н (е'") = 2ят, — я < в ( я. Это условие необходимое и достаточное для устойчивости импульсной системы. Поскольку известно свойство И '")= (") то достаточно рассмотреть интервал О( в ~я и потребовать„ чтобы ЛагйН(ее ) =ят, 0(в(я. (10.37)' Это и является аналогом критерия устойчивости Михайлова для импульсных систем. Подстановка г = е'" в (10.36)' дает Н(е'") = а,е' ~ + а,е" М" + ...

+ а,е'"+а, (10.38) причем в крайних точках в = 0 и в = я имеем Н (ем) 'У~, Н( гк) ~ ( 1)~ — з ь-а теп По выражению (10.38) строится аналог кривой Михайлова, причем в этом выражении выделяются вещественнан и мнимая части: Н (е'") = Х* (,в) + уг е (в). Для устойчивости импульсной системы, например, при т=3 аналог кривой Михайлова имеет вид, изображенный на рис. 10.21, а; для неустойчивой системы нри т = 3 — вид, изображенный на рис. 10.21, б. Из етого примера хорошо видна специфика очертания аналога кривой Рис. Ю.21 У . (О.22 Михайлова дая импульсных систем по сравнению с непрерывными (т 4.3).

Очевидна здесь и другам (бормулировка аналога критерии Михайлова — перемежаемость корней Хв (в) и Ув(в) (рис. 10.22)'. Существует также и аналог критерия устойчивости Найквиста для импульсных систем. Дадим его вывод, аналогичный проделанному в т 4.4. Возьмем передаточную функцию разомкнутой цепи импульсной системы где Ув и ХР— многочлены по г' степени Ь и т~ й. Положим с'=г, е=0. Обозначим И', (г) = —,* Ю, (г) Ъ (а) (10.39) Возьмем вспомогательную функцию Х,(а) Х, (а) где ХХ(г) — характеристический многочлен замкнутой системы, а Х, (г) — разомкнутой, По аналогу критерия Михайлова в случае устойчивой оазомннутой цепи имеем Латин, )е'") =нт, 0(<о(н. Для устойчивости же замкнутой системы требуется, чтобы Лагу Н (е'") = нт, 0: о(н.

В результате получаем требование Лагду(е' ~ нт — нт=0, т. е. годограф вспомогательной функции г' не должен охватывать начало координат. Отсюда, переходя согласно (10.40)' к функции И', (г), получаем формулировку аналога критерия Е1айквиста: если разомкнутая цепь устойчива, то для устойчивости Ркс. Ю23 Рис. Ю.24 замкнутой системы требуется, чтобы амплитудно-фааовая частотная характеристика разомкнутой цепи И', ~е'") не охватывала точку — 1.

Это показано на рис. 10.23 для примера 2, рассмотренного в 5 10.2. Условие устойчивости здесь получает вид ест 1 йе с — (1. 1+е Видна существенная специфика этого условия по сравнению с условием устойчивости аналогяшой непрерывной системы Я 4.4). В случае нейтр леной разомкнутой цепи, т. е. при наличии в многочлене Х,е1д) корня у=0 или в Ь, (з) корпя з = 1 (рис. 10.24), нужно обходить контур, минуя точку з = 1, по четверти окружности малого радиуса г, как показано на рисунке. Учитывая в выражении (10.39) полюс в=1, можем записать И'е (е) * (з)— где И'„представляет собой оставшуюся часть исходпой функции после выделения в знаменателе множителя (з — Ц, соответствующего полюсу з = 1.

Вместо з = 1 введем согласно рис. 10.24 з=-1+-*'', 0«= у< —,". После атой подстановки получаем И', (1+ гезг) 1поИ",(1+ геьг) =11ш ",. =11ш Лв 'ч, о г-+О гегг где Амплитудно-фазовая характеристика вместо рис. 10.23 принимает вид рис. 10.23, а формулировка критерия устойчивости остается прежней. ~аконец, обратимся к случаю неустойчивой разомкнутой неки, когда передаточная функция И"',(з) содержит р полюсов вне едини того круга. Тогда в выражениях (10.39) и (10.40) по принципу аргумента ЛагйЬ,*~вг") = п(т — р), Рис.

10.25 О.-:в <.и, а для устойчивости замкнутой системы, по-прежнему, требуется ЛагйХХ(в~~) =ят, 0(а~я. Позтому изменение аргумента выражения (10.40) должно удовлетворять соотношению Л агйг" (в'") = ят — я (т — р) = пр. Следовательно, для устойчивости замкнутой системы при неустойчивой рааомкнутой цепи требуется, чтобы змплитудно-фазовая характеристика разомкнутой цепи зхватывала точку — 1 на угол рн (против часовой стрелки), где р — число полюсов Э 6", (з), лежащих вне единичного круга х = е'".

Пример показан па рис. н. ы.—.о 10.26 для случая р=2. ~ о (7 Иаконец, для исследования устойчивости импульсных систем могут применяться также логарифмические частотные характеристики. Получение их применительно к импульсяым системам рассмотрено выше в з 10.3. Формулировка частотного критерия устойчивости здесь остается той же, что н для непрерывных систем (1 4.4), но надо иметь в виду некоторое своеобразие очертания самих характеристик (1 10.3). й 10.5. Точноеть и коррекции импульсных систем Как и для непрерывных систем (гл.