popovEP1 (Попов Е.П. - Теория линейных систем автоматического регулирования и управления), страница 32

при увеличении частоты квантования во = 2я/Т, частотные характеристики импульсных систем приблилуаются к частотньвн характеристикам непрерывных систем. При этом интервал О < в < и, который для реальной частоты в = вУТ имеет вид О(в( —, растягивается па всю мпимууо ось ув при Т- О. Перейдем к нахождению частотных характеристик импульсных систем. В простых случаях ато можно сделать непосредственно аналитичесьж, а в случаях сложных — приближенными численными методами или графическими способами. Приведем сначала простые примеры. Пример 1.

Построить амплитудно-фааовую частотную характеристику импульсной системы (рис. ФОЛО, б), если Иу(') т, +1' Для этого случая передаточная функция импульсной системы была получена в примере 1 а 1ОЛ. Подставив в пее д = ув, получим е Т И"*(ув, а) = — е ае„ -',~а' е-а При а = О имеем ьеу" ьт И'е (ув) =,, й =- — ". (1О.21) ,у , а' Заметим,что уравнением х= е~' ( — я~в~~я) описывается единичная скруп~ность.

Поэтому и функция И'е(ув), как дробно-рациональная функция от в=еУе, отобрааит ее такл~е в окружность (или в прямую). При иамепепии в в интервале О ~ в < я получим полуокружность, причем в крайних точках в = О и в = я, согласно (Ю.2я), имеем и" (уо) =, и-(у,)= ь уе 1 — е " 1+е Абсцисса центра окружности еее 00)+И'е 1)я) Ь 2 $ что и покавапо на рис. ЮЛ1.

С уменьяпепием величины (3 = ТуТ~ радиус окружности увеличивается, как ивображено пунктиром па рис. яОЛЕ Пример 2. Построить амплитудно-фазовуяо частотную характеристику для импульсной системы (рис. ЮЛО, а), 6'Д Рис. 1022 Рис. 10.И если передаточная функция непрерывной части уея т, +1' я формирователь импульсов дает прямоутольпые импульсы уТ (О ( у 1). Подставляя д =усе в выражетяие передаточной функции И"" такой нмпульспой системы, полученное в примере 2 5 яОЛ, находим (при е = О) Иуе(уву = уе е — а , а* т,' 1 Это такяяе будет полуокруясность (при 0 < а < я), причем в крайних точках ере(уО) = Уе е — а И1е(уя) = Уе е-а ест — 1 . ест — 1 1 — е 1+е что и показано па рис.

ЮЛ2. Для построения частотных характеристик более сложяых импульсных систем приведем два способа. 1йй Численный способ. Пусть дана И'(з). Согласно (10Л7) при з О имеем И'*(уа) Х аИ'(у(в + 2яг)). т - а Поскольку (см. $10Л) И'(д)- т И'(з)( ч* го можно записать И Ь') т Р' ('") Следовательно, И" (1ю) = —,' ~ И~Ц(а+гыз)), где юз = 2я/Т вЂ” частота квантования. Поэтому, заменив слева ю = юТ, получим И""(йзТ) = —,)~ И" (у(в+ ге,)).

а=в (Ю.22) (Ю.23) У~(оз) = — ~~ У(в+ге ). При вычислениях ограничиваются конечным чисРас. 10.13 лом слагаемых. В результате получаются вещестэенная и мнимая частотные характеристики вида, изображенного на рис. ЮЛЗ. На основе этих характеристик можно найти амплитудтую и фазовую частотные характеристики импульсной Если задана И'(1в)=П(ю)+уУ(ю), то для частотной характеристики импульсной системы И'" (уаТ) = = У*(ув)+ У*(ую) находим вырал~епия г" ()=т 2з~зП(+" ) 1 системы, а именно Ае(в) )/уеэ(а)+ $'ез(о)), Ч~ (в) -агсф —, Ф уа (м) У«(в),' примерное очертание которых дано на рис. 1014. Как уже говорилось выше (свойство 5), с увеличением ес эти гарактеристики приближаются к характеристикам непрерывной системы, причем при вр- (Т- — 0) первый минимум Ае уходит вдоль оси в в бесконечность и асимлтотнчески стремится к «««,« нулю.

Графический способ. Согласно 4юрмуле (10 17) при з = 0 получаем И'е (7ы) И" (7(в + 2яг)). 3' — «« Возьмем толыш трн слагаемых: г= — 1; 0; + 1. Тогда И1*(ув)'ж И«Ц(а — 2я)')+ И'(ув)+ И" (у(в+ 2яЦ. (10.24) Будем считать, что задана амплитудно-$азовая частотная характеристика И'(усо) приведенной непрерывной части импульсной системы (рис.

10.10) в виде, изображенном на рис. 10 15, а. Обозначим на ней безразмерные значения частот в = вТ. Возьмем одно какое-либо значение в (О ( о.:= а)'. Вектор 1 на рис. 10 15, а обозначает И~(уге). К нему согласно (10.24) надо прибавить вектор И'(7'(ы — 2я)')'. Но ге — 2я ~ О. Поэтому возьмем положительное значение 2я — в (рис.

10.15, а) и, имея в виду, что И ( — 1а) И'(К4, иэобраэлм сопряженный вектор 2 (рис. 10.15, а), соответствующий слагаемому РУ(уа — 2я). Там же показан и третий вектор И«(у(в+ 2я)). Сложив геометрически эти три вектора получим согласно (Ю.24) одну точку искомой характеристики 'гУс(усо) (рис. 10.15, б).

Проделав тоже самое для ряда Рис. 10.15 Рис. 10.16 точек ус в интервале 0 ~ со ~я, найдем характеристику И~и (у В) . Для эамкнутой импульсной системы (рис. Ю.Ю) в соответствии с формулой (Ю.9) получаем характеристику Фи (уус) = 1+И"с Цм) Представив ее в виде Ф*(ую)=Р (ус)+И*(ы) или Фс (уус) = А, '(ус) с""("У, иол1но по тем же формулам и номограммам, что и в т 2.4, определить вещественную Р"'(а)', мнимую УУ*(в), амплитудную А,(а) ифазовую~р,(со) частотные характеристики замкнутой импульсной системы по заданной И'э () в). й 10.3. Логарифмические частотные характеристики е' з. Но при этом мнимая ось д=)е при — п~ю~н (рис. 10.3) отображается в окружность (рис. 10.4): з е~'.

(10.25) Поэтому необходима вторая операция (распространение аргумента на всю мнимую ось). Это осуществляется при помощи ы-преобразования. Простое ю-преобразование имеет вид Но здесь удобнее использовать модиЯиуироеаняое и'-преобразование 2' 1+ — м 2 з Т $ — — Ю 2 (10.26) При этом окружность (10.25) отображается в мнимую ось плоскости и, так как 2 еГе — т 2 а ю= — — "- — )13 —. Г ив+17 2' Для удобства построения логарифмических частотных характеристик необходимо, во-первых, привести выражение амплитудно-фааовой характеристики разомкнутой цепи импульсной системы И"э()в) к дробно-рациональной форме, и, во-вторых, сделать так, чтобы изменение аргумента определялось не интервалом 0~ в =я, а всей положительной осью, как в обычных логарифмических характеристиках.

Первая операция, как это ясно из з 10 1, осуществляется заменой (10.7), т. е. переходом от дискретного преобразования Лапласа к Ж-преобразованию. Итак, полагаем, Обоэначим оР = — Фд —,. 2 о) т и (10.27) Величина вэ наэывается лсевдочастотой. Видно, что при 0» о ~ и имеем 0 ~ юэ ~, что и требовалось. На рис. 10Л7 покаэано отображение плоскости э в плоскость Рве. 1О.17 ю. Внутренность единичного круга плоскости э отображается в левую полуплоскость и~. Воэможны два случая. Если И'~(э, е) или )т'е(д, э) иэвестна, то подстановкой (Ю.26) или г 1+ — ю ет = (Ю.28) 1 — э и можно определить передаточную функцию раэомкнутой цепи через ю преобразование, т. е. И'„(и>, э).

Если же И',(э, э) или $Р'(д, е) не задана, то можно определить И"„(и, э) непосредственно по передаточной функции приведенной непрерывной части И'(э), испольэуя выражение и таблицы Ы„-преобразования. А именно, при э =0 имеем И' (ю) = Я„~ ' И~(д) )„(10.29) где индекс и означает эамену (10.28).

Подстановка эначения ю=увэ в выражение И' (в) даст амплитудно-фаэовую характеристику импульсной системы в =т182 е 2 со Как видно отсюда, при небольших значениях ве приближенно выполняется следующее равенство: ве — =в е т Приведем примеры. Пример 1, В первом примере 2 10Л при а =0 передаточная функция разомкнутой цепи имела вид Иуе(д) = — 1 тс ее — е Подстановка '(10.28) дает т ус„ + 2 руу (иу) = т" т, т ~ 1+ — се — е а~1 — — ес) 2 (, 2 т 1+ — се ус' 1+т'се! где ус' = с 7'— т 1+о т(1 — е")'21 — ез' Подставив й=-ув*, получим т 0= — ° т; т 1+ 2 усое 1+ т'усо* ' откуда Вше (ве) = 20 18 ус + 20 1б ~ус 1 + 4 во~в т' „ — 20 1а суу с (Г') ~~ ср* (ве) = агс1я — ве — агс1я Т'ве.

2 т. е. масштаб мнимой оси ув* плоскости ю вблизи начала (в*- О) приблизительно совпадает с масштабом ув плоскости е передаточной функции приведенной непрерывной части. Далее логарифмические частотные характеристики получаются обычным способом Т.ше (ве) = 2018ГИУ (усе*) 1, сре(в*) = агяИ",„(Уве). Эти логарифмические частотные характеристики покаэаны па рис. 10Л8. Пример 2. Для второго примера $10.1 примем а =О, (соответствует цифровому устройству, см. 5 9.4). В этом случае имеем И'а(о) = й, а при подстаповке (10.28) ф аш) 1 — ~ш И'„(ш) =!с. т . т .

й 1+ — ш — е Е ~1 — —. ш~ а Отсгода после подстановки ш=)а* находим тт Ь ( ) 20)бй + 20~а ~)( 1 + 4 — 20 18)Г1+ (Т')т вас, сре (а*) = агс18 ~ — — ыа ) — агсси Т'ы*. з Амплитудная логарифмическая частотная характери[ ~ш стика сохраняет прелгний вид (рис. 10Л8), а фазовая иэменяется. Пример 3. Задана передаточная функвия приведенной непрерывной части И У ° (т;+ 1) а,е Раэложим И' (г) на простейшие дроби а ат Рис. 10.18 И() г гт а Уда+ 1 Испольэуя формулу (10.29) по таблице Й -преобраэовапия получаем И ш (ш)— а (1 — ш) Л Т (1 — — ш) а ~1 — — ш~(1+ У ш) ш 1+ Т'ш ш (1+ 7'ш) де т1+з" т 1 — з Ксли задано Т~ = О 1; )с1 = 100 и период чередования гмнульсов Т=-0,1, то получим Т' О,И и Та=0,01.

Подставив ог=уюо, найдем И,* ., 100 (1 — о,обгм ) (г+ о,о1г«*) ) ог~ (1 + О, 11)а*) Отсюда Ешо (ого) = 40 — 20 )я ого + 20 )а г1+ О 05гю*г+ + 20 )я У1+ 0 01гюог 20)о г1+ 0 11гюог ро (оР) = — — аш)а 0,Оба*+ агс)б 0,01а* — агой 0,11озо. Соответствующие графики логарифмических частотных характеристик изображены на рис. 10.10. Для сравнения там же показана амплитудная логарифмическая Ьп" ~ Рвс.

г0.19 частотная характеристика приведенной непрерывной части И'(з). Видно, что для небольших частот (ю "-= ю,) опи близки друг к другу, о чем указывалось выше. Это свойство сохраннет силу и для более слоншых импульсных систем. Поэтому здесь можно применять известные частотные методы синтеза корректируюп1их устройств.

й 10А. Устойчивость импульсных систем Динамика переходного процесса в замкнутой линейаой импульсной системе может быть описана разностныии уравнениями первого порядка в виде лДя + 1] = аплДп] +... + а~ х [п], лт[м+ 1] аихДп]+... + аз т„[п], ,т„[п+ Ц=а ~я~[я]+...+а л„[п], где и — безразмерное время, выражаемое порядковым нокером импульсов (я=1, 2, ...); т — порядок системы разностных уравнений; хДп+ 1] — первая разность (аналог первой производной в дифференциальных уравнениях). Характеристическое уравнение для отой системы записывается в виде 11 13 а а — з за ~ап Вместо системы разпостпых уравнений первого порядка можно записать одно разностпое уравнение высокого порядка ао4уг+ лт]+ а~а(п+ и — 1]+...