Г.Б. Бокий - Кристаллохимия, страница 12

Начало же координат будем помещать в такую точку структуры, которая окажется удобной для проведения вычислений. Часто бывает удобно поместить его в центр тяжести атома, тогда, будучи совмещеняым с узлом решетки, он получит координаты (000), что значительно упрощает все вычисления. Но в двухатомпой молекулярной структуре (рис.

76) удобнее для расчета поместить начало координат в точку, делящую линию, соединяющую два атома, пополам. В этом случае координаты атомов будут отличаться только знаками, и расчет будет производиться проще, чем в случае помещения начала координат в центре тяжести одного из атомов. Из сказанного должно быть ясно, что с узлами решетки связаны материальные частицы структуры, но совершенно не обязательно считать, что непосредственно в узлах располагаются материальные частицы. Решетку кристалла следует воспринимать как математическую абстракцию, аналогичную понятию элемента симметрии, употребляющегося при описании кристаллических многогранников; при помощи такого понятия решетки можно удобно (математически) описывать периодичность кристаллической структуры. Понятие «решетки кристалла» недопустимо путать с понятием «структуры кристалла».

Под структурой мы понимаем конкретное расположение материальных частиц в кристалле. Число различных типов решеток равно 14. Число различных структурных типов бесконечно велико. Ряс. 76. Мааекулярвая структура (качало координат выбрано а цевтре тяжести молекулы) Основное свойство решетки — ее периодичность — проявляется в том, что любые ее два узла можно совместить друг с другом при помощи трансляции. При таком совмещении все остальные узлы решетки совместятся с другими узлами той же решетки, Таким образом, вся решетка совместится сама с собой, и мы не сможем отличить начальное положение решетки от ее конечного положения.

Иэ этого,свойства решетки вытекает важное следствие о невозможности присутствия в кристаллах осей пятого, седьмого и более высоких порядков. Доказать это положение можно следующим образом. Предположям, что в кристалле имеется Ьа. Тогда, взяв в решетке такого кристалла один из узлов, блин»айших к этой осн, мы обяваны получить вокруг нее 5 узлов на том же расстоянии (см. 1 — б на рис. 77). Между любыми двумя узлами решет- о» Ряс. 77. К доказательству невозможности в кристаллах осей 5-го порядка ки имеется трансляция (например, 1 — 5). При трансляционном переносе все узлы решетки должны совместиться друг с другом.

Если существует трансляция 1 — 5, то узел 2 при таком переносе должен переместиться параллельно 1 — б на то же расстоялие. Стрелка, проведенная от него в направлении, параллельном 1 — б, не попадает в узел. Ее конец оказывается внутри пятиугольника, т.е. на расстоянии, более коротком,чем расстояние 1з — 1, Хз — 2 и т.д., а эти расстояния приняты по условию за кратчайшие.

Следовательно, в решетке не может быть осей пятого порядка. Тан же доказывается невозможность в решетке осей Гд и более высоких порядков. фа. Нлеекке ветки решетки В общем случае петля плоской сетки будет параллелограммом (рис. 78, а). Однако ввиду того,что кристаллические решетки могут обладать разной симметрией, то и плоские сетки могут иметь разные оси (в проекции точки) и плоскости (в проекции линии) симметрии. Рис. 78. Возможные случаи плоских сеток Каждый параллелограмм характеризуется тремя величинами: двумя ребрами — а и Ь и углом у.

Частные случаи получаются в зависимости от возможных случаев симметрии. Симметрия случая а ФЬ, у чь90' (рис. 78, а) характеризуется наличием только осей Лг в центрах параллелепипедов. Если аФЬ, у=90' (рис. 78, 6), то через эти оси будут проходить по две взаимло-перпендикулярные плоскости. Возможна, конечно, и вторая сетка с симметрией предыдущего случая, если а = Ьиучь90' (рис.78, в). Сетка получит ось Ь4, если а = Ь и у = 90' (рис. 78, г). При этом каждый параллелограмм будет иметь 4 плоскости симметрии, проходящие через Ь|.

Такая же симметрия будет характеризовать каждый узел. Еслиа=Ь ну=60'или, что то же самое, у = 120', то получим пятую сетку (рис. 78, д). Как мы говорили выше, параллелограммы в сетке есть результат вспомогательного построения. Сетка есть совокупность узлов, а линии (ребра параллелепипеда) можно проводить через узлы бесконечным числом способов. Для наглядности проведем на рис.

78, д вертикальную систему линий, соединяющих узлы (пунктирные прямые) . В этом случае выявится симметрия й,бР для узлов и БЗР для центров треугольников. Этими пятью вариантами исчерпываются все случаи симметрии плоских сеток решеток. Обычло бывает удобнее вести вычисления в прямоугольной системе координат, поэтому случаям б и в (рис. 78), имеющим одинаковую симметрию, придается и одинаковая установка: а М Ъ, у = 90'. Отличие их заключается в том, что для случая в в центре петли оказывается дополнительный узел, и параллелограмм из примитивного делается центрированным (рис. 79). На каждый примитивный параллелограмм приходится 4 узел, на центрированный — 2.

О О о о о о о о о о о о о о о Н' о о о о Рис. 79. Двз способа выбора алемектаркогс параллелограмма в рсмбической сетке Рвс. со. Определение формы петли плос- кой сетки ка грани ромбоэдра кварца Рис. 8й Определение формы ячейки Рвс. 82. Построение ячейки ревгетки Форму петли плоской сетки всегда можно определить, если известна форма грани кристалла, параллельная этой сетке. Покажем эгона примере. На рис. 80 изображена пунктиром одна из реальный граней ромбоэдра кварца. Возьмем произвольную точку О и проведем череа нее пучок прямых, параллельных ребрам грани. Две из этих прямых ОХ и Ог' примем за оси сетки, а на третьей — ОА — отметим произвольно узел сетки а.

Этими данными определяется вся сетка, а следовательно и ее петля. Указанное построение может служить опытным подтверждением сетчатой структуры грани кристалла, так как при всей произвольности сделанного построения все линии пучка обязательно будут проходить через узлы сетки, Из изложенного легко видеть, что определение формы петли сетки по форме грани возможно лишь в том случае, если грань имеет по меныпей мере три ребра, среди которых нет параллельных друг другу. Аналогично может быть определена и форма ячейки решетки.

Для этого достаточно провести из произвольно выбранной точки О (рис. 81) четыре ребра ОХ, ОУ, ОЯ, ОА параллельно каким-либо четырем ребрам кристалла, отметить на ребре ОА произвольную точку а и, приняв ее за конец диагонали параллелепипеда, построить самую ячейку и отвечающую ей решетку. (В общем случае это будет форма сложной ячейки.) Проделав это построение, можно убедиться, что все другие ребра кристалла будут параллельны рядам решетки, а все грани кристалла — параллельны ее сеткам. На практике приходится иметь дело не с ребрами, а с гранями кристалла.

Измерив на гониометре углы между какими-либо четырьмя гранями кристалла, нетрудно по ним построить сначала тетраэдр, а затем и параллелепипед (рис. 82). Выбор четырех граней в этом случае ограничивается только одним условием, чтобы в одной зоне было не более двух граней. Что касается размеров петли плоской сетки и ячейки решетки, то они, как увидим далее (гл. УП1), определяются с помощью рентгеновских лучей. 68 $ В. ле реьчетен Врмвв Способом, указанным в предыдущем параграфе, можно найти формы ячеек кристаллических решеток для кристаллов всех 7 сипгоннй,.

(рнс. 83). Характеристика этих ячеек (соотношонне величин ребер н углов, обычно называемых параметрами решетки) целиком совпадает с данными табл. 6 по установке кристаллов (см. стр. 50). При этом число ячеек будет больше числа сингоний (семи). Это следует хотя бы из того, что даже плоских ромбнческих сеток имеется две (см. з 4). Аналогично этим двум плоским случаям надо испытывать каждую нэ 7 решеток на воэможность наличия в инх дополнительных увлов в центрах граней или в центрах самих параллелепипедов. Таким образом, наличие дополнительных узлов в других местах ячейки невозможно, так как нх появление вызвало бы резкое изменение симметрии решетки.

Элементарные ячейки в решетках Бравэ выбираются так, чтобы симметрия их оставалась токой отв, как и всей решетки, число прямых углов было бы максимальным, а объем ячейки минимален м. Исследован последовательно все сочетания 7 решеток с пятью случаями симметрии плоских сеток, можно получить математически однозначный ответ о числе возможных пространственных решеток.

Эту задачу, как было сказано выше, решил О. Брава з 1855 г. Рассмотрим подробнее ромбические решетки. Комбинируя ячейку рис. 83,в с плоскими сетками (рис. 78, б и в) и принимая во внимание, что в трехмерной ячейке может быть еще узел в центре ячейки, легко получим 4 ячейки Бравэ (рнс. 84). Ови называются: примитивная — Р, базоцентрированная — С, гранецентрированная — Р и объемноцентрнрованная — 1. Рне. 88. Формы ячеек пространственных решеток с — нтбнчссноа сннгоннн; б — тоьрагонсльноа; Π— грлнлннноа; с — ромбнчссноа; с — гснссгональноа; — ноголлллнса; ж — ьрнгсньсьнса Рис. М. Четыре ромбнческяе решеться Бране с — нрнмнгньнан; б — бсьоцсогрлро сон ньн; с — грансцснтрнроьсннся; с — сбьсмноцснтрнроьснння Ркс.

86. Ромбическая ячейка не может иметь центряронаввымн дне пары граней Рис. 86. Базоцвитриронлвяая твтрлгональ- иая ячейка сводится к вдвое меньшей при- мктквяой Легко показать, что не могут быть одновременно цонтрированными две пары граней (рис. 85). В этом случае мы имели бы трансчяцию АВ, при которой в силу основного свойства рептетки все узлы решетки должны были бы совместиться друг с другом. Однако в дважды центрированной ячейке этого свойства решетки нет, ибо при трансляции АВ узел С ни с каким узлом не совпадает.

Следовательно, подобная ячейка не является ячеикой какой-либо решетки. Таким образом, четырьмя случаями (рис. 84) исчерпываются все возможные ромбические решетки. Тетрагональных решеток только две — Р и Б Баэопентрированная тетрагональная решетка сводится к примитивной (рис. 86) . Для этого новые оси Х и У следует выбрать под 45' к старым осям Х' и У'.