Г.Б. Бокий - Кристаллохимия, страница 11

Ца рнс. 69 показапа проекция гексагональной призмы (1120) с указанием символов всех ее шести граней: (1120),(2110), (1210),(1120), (2110), Фц)) г2й)) у (гг)о) Рис. 69. Проекция и символы гексагопальяой призмы ТАллицАс Уотаиовка кристаллов (21.10). Если отбросить третий индекс,то символы граней будут:(110), '(210), (120), (110), (210), (120), н по нпм нельзя будет сказать, что онн принадлежат шести граням одной простой формы. По виду общего символа (110) нельзя будет непосредственно заметить, что другие грани той же простой формы будут иметь индексы яе единицы, а двойки. Для кристаллов тригональной сннгонин существует и другая установка.

За осп координат выбираются трн ребра ромбоэдра илн пирамиды. В атом случае а = 6 = у =90' н а = Ь = с. Единичной гранью является грань пннаконда нлн моноздра. Опа расположена перпендикулярно к главной осн н отсекает позтому на ребрах одинаковые отрезки. »йАСЧ'Ь В ГОРАК ГЛАВА ЧГ КРИСТАЛЛИ»йКСКАЯ РКШКЧ'КА йй. Иеяятяе ыряетяллычееыей реы»етыя Наблюдающаяся геометрическая правильность форм кристаллов заставила исследователей искать причины ее в закономерном внутреннем (атомном) строении. Уже И. Ньютон в своей «Оптике» в 1675 г. писал: «Нельзя ли предположить, что прн образовании кристалла частицы не только установились в строй и ряды, застывая в правильных фигурах, но также посредством некоторой полярнои способности повернули свои одинаковые стороны в одинаковом паправленйи».

В последующее время в работах Гюйгепса, Ломоносова, Гаюи и Волластона мы находим идеи, которые в еще более ясной форме предвосхищают понятие кристаллической решетки. В 1813 г. Волластоп предложил заменить многогранные молекулы Гаюп шарами или просто математическими точками. В результате было создано представление о кристалле как о пространственной решетке. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СТРУКТУРЫ КРИСТАЛЛА Для построения пространственной решетки достаточно задать в пространстве четыре точки О, А, В, С так, чтобы на одной прямой было не больше двух точек, а в одной плоскости — не больше трех.

Другие точки, или узлы решетки, получим из данных параллельными переносами их по направлениям ОХ, О«', Ое на расстояния ОА, ОВ, ОС (рис. 70). Олодовательно, решетка есть бесконечное, трехмерное периодическое образование. Совокупность узлов, расположенных на прямой, определяемой двумя произвольными узлами решетки, на- Рнс. 70. Построение пространственной ре- шетки зываетсн рядом, расстояние между ближайшими точками ряда — параметром ряда.

Плоскости, определяемые тремя произвольными узлами, не лежащими па одной прямой, называются сетками; а параллелограммы, построенные по узлам сетки, — петлями; параллелепипеды, вершины которых заняты узлами решетки,— ячейкаии решетки. Ячейка называется примитивной, нли простой, если узлы решетки располагаются только в вершинах ячейки, и сложной, если - узлы решетки содержатся такжегделибо внутри нли на поверхности ячейки. В одной и той же решетке можно выбрать различными способами бесконечное множество примитивных ячеек, отличающихся друг от друга по величине ребер и углам между ними.

Объем примитивной ячейки, однако, не зависит от ее формы и является величиной постоянной для данной решетки, так как он представляет собой тот объем, который приходится на один узел решетки. Пространственную решетку можно представлять себе либо как бесконечную систему узлов, либо как бесконечную систему параллелепипедов, леликом заполняющих пространство. Оба представленин не вполне эквивалентны друг другу; в частности, симметрия системы параллелепипедов неправильно отражает истинную симметрию гексагональных кристаллов, чего нельвя сказать о системе узлов, На этом основании мы будем в дальнейшем рассматривать пространственную решетку предпочтительно как систему узлов и считать линии и плоскости, проводимые внутри решетки, как вспомогательные элементы, не входящие в решетку. Идея замены многогранных молекул Гаюи математическими (безразмерными) точками безусловно была прогрессивной, так как никаких методов, позволявших изучить форму частиц (атомов и молекул), в то время не было.

Вместе с тем эта идея позволяла заниматься математической стороной вопроса о пространственном расположении узлов решетки, о симметрии решеток. Полный вывод всех возможных случаев кристаллических решеток был сделан в 1855 г. О. Бравэ (см. ниже 14 решетон Брава). й И. Кристаллический миегегриииии и решетки кристалла Существует соответствие между терминами, употроблнемыми при описании кристаллических многогранников н кристаллических решеток. Это можно легко уяснить из рис.

71. Кристаллический многогранник ' ограничен конечным числом граней. Каждой грани кристалла в кристаллической решетке отвечает серия параллельных плоских сеток. Число параллельных плоских сеток в этой серии бесконечно, так же как бесконечно и число таких серий, ибо через любые три узла решетки можно провести плоскую сетку и параллельно ей бесконечное число таких же плоских сеток. Каждая сетка будет возможной гранью кристалла. Грани кристалла пересекаются в ребрах.

Плоские сетки — в рядах. Число ребер в кристаллическом многограннике всегда конечно, число рядов в решетке бесконечно велико. Каждому ребру кристалла соответствует в решетке бесконечная серия параллельных рядов. Кроме того, будет бесконечно много других серий рядов, параллельных возможным ребрам кристалла. Ребра в кристаллическом многограннике, пересекаясь, образуют вершины. Ряды же в решетке пересекаются в узлах. Можно, конечно, в решетке провести ряды, пересекающиеся з точке, не являющейся узлом (см. ряды а н б на рис. 72).

Но всегда можно выбрать ряды бь бз н т. д., параллельные б и идущие от узлов ряда а. Сказанное в равной мере, конечно, относится и к пересечению плоскостей. Рнс. 7$. Кристаллический многогранник (а) н крнсталлнческая решетка (б) Рнс. 7Х Различные серии рядов в крнстзллнческой решетке Число узлов в кристаллической решетке мы также мыслим себе бесконечным, иначе узлы, расположенные на гранях, будут отличаться от узлов, расположенных внутри решетки, а мы всегда говорим о тождественности узлов.

Следовательно, всякую кристаллическую решетку мы мыслим неограниченной, т. е. простирающейся до бесконечности по всем трем направлениям. В этом смысле мы говорим уже не о кристалле, а о кристаллическом пространстве. ф П. 'Рране««ацнн Вследствие строгой периодичности кристалла во всех трех измерениях одинаковые материальные частицы— Рнс. 73. Развнчные но величине н нзправлению трансляции в одной н той же решетке структурные элементы — закономерно повторяются. Эта повторяемость схематически может быть описана при помощи трансляций — симметрических преобразований, характеризующих параллельный перенос всей структуры. Элементом симметрии, отвечающим новому симметрическому преобразованию, будет ось трансляции.

Для точной характеристики периодичности кристалла необходимо указать направление трансляций и их величину. Надо всегда иметь в виду, что в литературе термин «трансляция» используется как для обозначения симметрического преобразованиа, так и элемента симметрии. На рис. 73 изображена структура кристалла. Для простоты и наглядности взят пример двумерной структуры. Направлении и величины различных трансляций указаны векторами (ь аь (з....

Любой параллельный перенос структуры (простирающейся до бесконечности) в направлении векторов (ь (з,... характеризуется определенной величиной переноса. Естественно, что в любой структуре число таких направлений — осей трансляций — будет бесконечно. Совокупность всех трансляций в кристаллической структуре составляет трансляционную группу, называемую иначе группой переносов,или кристаллической решеткой. Само собой разумеется, что для характеристики периодичности кристалла нет необходимости брать все возможные трансляции. Для этой цели достаточно выбрать в пространстве три не лежащие в одной плоскости трансляции, которые для простоты можно мыслить пересекающимися в одной точке — в начале координат. На этих трансляциях можно построить параллелепипед, которым можно характеризовать решетку кристалла.

Весь кристалл в этом случае окажется разбитым мысленно на равные параллелепипеды, находящиеся в параллельном положении, касающиеся друг друга целыми гранами и без промежутков заполняющие все пространство. Отсюда ясно, что термин «параллелепипедальная система» может употребляться в известном смысле как синоним решетки.

Естественно, что поскольку решетку можно построить на любых трех трансляциях, не лежащих в одной плоскости, то и параллелепипедальные системы могут быть выбраны для данной структуры бесконечно разнообразными способами. В нашем примере (рис. 73, а) вспомогательные линии — ребра параллелограмма (в пространстве — параллелепипеда)— построены на трансляциях 8~ и Конечно, систему вспомогательных линий можно было бы провести в направлениях любых двух векторов Г, ке лежащих на одной прямой, например 7~ и т«(рнс. 73, б). Необходимо помнить, что исходный параллелепипед повторяемости, а с ним и всю параллелепипедальную систему можно переносить в кристаллическом пространстве параллельно самой себе.

Начало координат, т. е. вершину параллелепипеда повторяемости, или, что то же самое, узел решетки, мы можем помещать в любую точку кристаллической структуры. Помещение его в ту или иную точку определяется только удобством вычисления. На рис. 74 изображена структура соединения, состоящего из двух различных типов атомов химических элементов — «белого» и «черного». Начало координат выбрано в центре тяжести «белого» атома а. Размеры ячейки определяются величинами трансляций 71 и ~з. Начало координат можно поместить в центре тяжести «черного» атома Ь.

Форма и размеры элементарного параллелепипеда, как зто легко видеть на рисунке, конечно, останутся прежними. Можно поместкть начало координат в середину отрезка, соединяющего центры «белых» и «черных» атомов (точка с), и везде в направлениях, параллельных ребрам предыдущих параллелепипедов (пунктирных), на расстоя- Рнс. 74. Разлзчнг«е способы выбора начала коордвнзт в структуре ниях Ц и ~з мы будем встречать точки сь сз и т. д., тождественные точки с, делящие линии, соединяющие центры атомов а и Ь, пополам, Можно поместить начало координат в точку, делящую этот отрезок в отношении Рл3 или вообще пмп, и всегда мы будем получать в параллельном направлении тождественные точки на расстояниях ~1 и 8з, Таким образом, можно бесконечно различным способом выбирать начало координат, но всегда будем получать одинаковые по размерам и одинаково ориентировамные параллелепипеды повторяемости.

Неправильно трактовать структуру кристалла как систему нескольких решеток, вставленных одна в другую (первая — «белая» и вторая — «черпая» решетки). Таких систем можно выбрать для данного примера не только эти две,но, как было показано выше, бесконечно много. Но раз таких систем может быть бесконечно много, то надо из этого многообразия суметь Рнс. 75. Различные параллелепипеды (параллелограммы) повторяемости в одной н той же решетке выбрать одну. Из бесконечно разнообразных по форме и размерам параллелепипедов повторяемости (рис. 75), характеризующих одну и ту же решетку, мы для удобства работы осганавливаемся на одном. Точно так же каждую структуру будем характеризовать одной единственной решеткой определенной симметрии и определенного размера. Под размерами решеток подразумеваются размеры их элементарных ячеек.