Г.Б. Бокий - Кристаллохимия, страница 7

порядка 3 и выше), не встречаются оси шестого порядка. Коли исходный треугольник будет иметь две оси второго порядка н только одну ось шестого порядка, то мы и придем к виду симметрии с одной главной осью, а не с несколькими. Очевидно, он уже был получек в первой части вывода. Испытывая такпм же образом другие случаи, мы придем только к двум возможным вариантам: $) 90'+60'+60', соответствующий осям г.г+Хз+Аз', 2) 90'+60'+45', соответствующий осям Ьз-'г-Бз+г о В вершинах исходного треугольника ие могут располагаться даже три г.з — осн высшего порядка, дающие максимальные углы в 60'. На рис. 36 и 37 показаны зги два возможных случая. Исходные сферические треугольники обозначены жирными линиями. Поворачивая треугольник вокруг всех осей, мы получаем, в конце концов, пространственное распелся<ение всех осей симметрии ЗЬз4Лз в первом случае и ЗЬг4Ьз6.5з — во втором.

Это будут два новых вида симметрии. Такие наборы осей симметрии имеются у правильного тетраэдра (рис. 38) и куба (рис. 39). Дальнейший вывод новых видов симметрии сводится к прибавлению к этим двум дополнительных элементов симметрии С н Р; осей Ь» прибавлять уже не надо, так как все возможные случаи осевых видов симметрии уже получены. Прибавление С к первому осевому виду симметрии (рис. 36) дает, согласно 2-й теореме (з 3), три плоскости симметрии, перпендикулярные каждой оси Ьз и проходящие, следовательно, через две другие л",» (рис.

40), Формула симметрии его ЗЬ«41»ЗРС. Соответственно у второго осевого вида симметрии получится 9 плоскостей симметрии: 3 — перпендикулярно осям Х« и 6 — перпендикулярно Ь». Формула симметрии будет ЗТ«4Л»6«'»9РС (рис. 41). Прибавление плоскости симметрии к осевым видам симметрии нуя«но произвести так, чтобы при этом не возникало новых осей симметрии. Это можно осуществлять или задавая Р через тройные оси, илп мея«ду ними. Если задать в обоих осевых видах симметрии (рис. 36 и 37) Р между осями третьего порядка, то они окажутся перпендикулярными к четным осям Ь» и Ь«, вызовут появление цен»ров симметрии, и мы придем к уже разобраяпым видам симметрии (рис.

40 и 41). Если же прибавляемая Р пройдет через оси Ь», то получится новый вид симметрии 35»45»6Р (рис. 42). Втим и будут исчерпаны все возмо»нные виды симметрии. Общее число их — 32. фи. Светеввтввв ввявв еввветрвв Вывод видов симметрии, схема которого была только что изложена, до некоторой степени подсказывает п название их. Виды симметрии, имеющие только главные оси, называются примитивными (табл. 4). Прибавление к нпм центра симметрии приводит к «центральным» видам симметрии, прибавление плоскости и оси симметрии— соответственно к планалъвым и аксиальным. Виды с максимальным ко- личеством дополнительных элементов симметрии называются «планаксиальными».

Если главной осью является ииверсионная ось симметрии, то это также подчеркивается в названии. Так получаются «ннверсионно-примнтивные» и «ииверсионнопланальные» виды симметрии (табл. 4). Изображение всех видов симметрии дано в табл. 5. Номера, данные в ней, соответствуют номерам табл. 4. Кроме того, в табл. 5 указаны федоровские названия видов симметрии, весьма распространенные в русской и иностранной литературе.

Ниже полной формулы симметрии приводе- но международное обозначение видов симметрии. Для него используются цифровыо обозначении не всех элементов симметрии, а только важнейших или даже порождающих. Последние являются теми элементами симметрии, которыми мы пользовались при выводе видов симметрии (см. табл. 3). Буква т в международных обозначениях является начальной буквой слова л»~ггог — зеркало. Все виды симметрии делятся на три категории; низшую, среднюю и высшую. В низшую попадают виды симметрии, не имеющие осей высшего порядка (выше чем 3) (см. табл.

4 и 5); в среднюю — виды симметрии, имеющие одну ось высшего порядка; в высшую — с несколькими осями высшего порядка. В частности, последние всегда имеют 4г». Низших видов симметрии 3, средних — 19 и высших — 5. Каждан категория подразделяется на сингонин. В ниашей категории их 3; тринлинная, »зоноялинная и ромбическая. В кристаллах триклинной сикгонии нет ни осей,нн плоскостей симметрии; у моиоклинных кристаллов может быть как ось, так и плоскость симметрии, но не может быть нескольких одинаковых элементов симметрии: нескольких осей или плоскостей.

Однако последнее условие обязательно для ромбическнх кристал- 31 И л йй Нззвзввз Свввсп Нззззпвз Прсекцнп Символ Прсзхцня зевая свнгсввв Гзвгзговзззввв сввгсвня «з 6 Гэксаго- налъно-пн- рамндаль- )«ый 4Е«ЗЕч 23 Пентатон- трнтетра- вдрнчзсквй Гэксаго- налыю-дн- пнрамндаль- ный Ь«РС 6(т 4гзЗТ«ЗРС Дндодгка 2(т 3 влн эдрнческ« гвЗ 22 30 23 Ь«бйз 622 нлп 62 ЗХ «4гзбЬз Пентагон- 432 нлн 43 трнокта- эдрнческнй 31 24 пзбг.«7 РС б(тт т ЗЬ«4626Ь« ГексоктаИ С эдр й тЗ«в 32 26 Г. =Те, 6 Триго)«алэ- на-днпнрамндальный Днтрнгопально-днпн" рамндаль- ный 2 Б-ЗТвЗР = з = Тай 24Р Вт2 лов: каждый кристалл ромбической сннгонни имеет несколько одинаковых элементов симметрии.

Средняя категория имеет 3 сннгопин, называемые по типу главной оси: тригональная Ез или Хз, тетрагональная Л«нли Хз и гексагональная зз илн зв ° тлвлицл 5 (скапчзнвз) О ® ® Днгэксагог нальцо-пн- рамндаль- нын ! сксаго- нально-тра- пеиоэдрнчес кнй Дигэксаго- нально-дн- пнрамлцал ь ный 4ХвЗТ зб Р Гсксагэгра- 43т эдрнческнй Высшая категория включает одну сингонню — кубическую, характеризующуюся несколькими осями высшего порядка, в частности, каждый ее вид симметрии имеет 4Ьз, Наиболее симметричный вид симметрии каждой сингонии называется гологдрическиг«видом симметрии. ГЛАВА гч «йкОРМА КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МНОРОРРАНПИКОВ йй.

Пепявпе пресней фермы Изучение внешней формы кристаллов началось прежде изучения симметрии, однако только после известного завершения этого учения (вывод 32 видов симметрии) появилась надежная основа для создания геометрического учения о внешней форме кристаллов. Основным понятием его является понятие простой формы.

Простой формой называется многогранник, который может быть получен из одной грани с помощью элементов симметрии. В качестве примера возьмем какой-либо вид симметрии, например йр2Р (рис. 43, а и б), и проведем произвольно— косо по отношению к элементам симметрии — какую-либо плоскость— грань кристалла 1 на рис. 43, в, В стереографической проекции это будет точка 1 (рис. 43, а). Рис.

43, д изображает вид сверху фигуры в. Отразив грань 1 в плоскости симметрии 1, получим грань 2. После отражения граней 1 и 2 в плоскости П получим грани 8 и 4. Далее все будет повторяться; так, если грань 1 (в) нли ее проекцию в виде точки 1 (а) повернуть около оси 1,л на 480', то получим точку в, которая уже была ранее получена. Новых граней (точек) мы не получим. В результате применения всех элементов симметрии мы получили из грани 1 еще три грани, а всего, следовательно,четыре грани. Этот многогранник, состоящий из четырех одинаковых граней, и является простой формой. В данном конкретном случае он называется ромбической пирамидой. Простые формы могут быть общин«и и частны.ми в зависимости от того, как расположена исходная грань по отношению к элементам симметрии.

Если она расположена косо, как з пап«ем примере, т. е. в общем положении, то и простая форма, полученнан из нее, будет общей. Если же исходная форма расположена параллельно или перпендикулярно к элементам симметрии, то получается частная простая форма. Так, например, основание пирами- Рис. 43. Получение простой формы (ромбнческой пирамиды) пе одной грани о помои«ью алементов симметрии о — клементы симметрии ромбе-пирамидального авда симметрии е стерсограбжческоа проекции; б — те же алементы симл«стрип е пространстве, в — получение ромбвческов пирамиды; е — комбинация ромбическоз пирамиды с моноадром; в — ромбическая пирамида ганн сверху) ды б (рис.

43, г) является частной простой формой, ибо эта грань перпендикулярна 6д и обеим плоскостям симметрии. Отражение ее в плоскостях симметрии и вращение вокруг оси Ег дают совмещение ее самой с собой. Эта частная простая форма состоит из одной грани и называется моноэдром. Моно— по-гречески один, эдр — грань, т. е. это одногранник. Для понимания названий простых форм полезно знать греческие названия простых чисел: т — моно, 2 — ди, 3 — три, 4 — тетра, 5 — пента, б — гекса, 7 — гепта, 8 — акта, 10 — дека, 12— додека. Федоровские названия видов симметрии (табл. 5, стр.

33) определяются названием общей простой формьт в данном виде симметрии, Простые формы бывают открыты.ни и закрытыми. Закрытая форма может одна образовать кристаллический многогранник (см., например, куб, рис. 39). Одна открытая простая форма замкнутого многогранника образовать не может (см., например, ромбическую пирамиду, рмс. 43, в). Кристалл в этих случаях огранен гранями нескольких простьтх форм, составляющих козтбинацию простых форм. Так, например, кристалл на рис.

43, г представляет собой комбинацию двух простых форм: ромбической пирамиды и моноэдра, первая состоит из четырех граней, вторая — из одной. Закрытые простые формы могут, конечно, тоже входить в комбинацию. Ниже мы познакомим с многочисленными примерами такого рода. Число простых форм, встречающихся зо всех сипгониях, равно 47. 5 я. Проетыв формы ннатным емнтомня Простые формы удобно рассматривать в порядке увеличения числа их граней.

С простейшим случаем мы уже познакомились — это моноэдр (рис. 43, Рнс. 44. Простые формы низших сингонни а — моноадр; б — пинакоид', в — диадр; г — ромбическая пирамида;  — ромбическая приема; е — ромбичеекиа тетраадр; ж — ромбичеекан дипирамида; е — етереограеическая проекция ромбическоа дипнрамидм г-б). На рис.