Г.Б. Бокий - Кристаллохимия (1157627), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В самом деле, если бы материя (кристаллы) не была построена из отдельных тождественных друг другу частиц, то было бы необъяснимо существование такого закона. Влияние этого открытия на все области знания, и в первую очередь на химию, весьма велико. Дальтон, открывший позже (в !808 г.) закон целых чисел в химин, бывал в предшествовавшие годы в Париже, где слушал лекции Гаюи, поэтому влияние открытия закона целых чисел в кристаллографии на открытие закона целых чисел в химин не подлежит сомнению. Оба эти закона вытекают и являются следствием одних и тех же причин — прерывного строения материи. Рис.
66. Грани трикликкого кристалла, отсекающие ва осях ОУ п ОЛ неравные отрезки в отношении 1: 1 (а) и 2: 1 (б] 62. ариеталлографачееиие еииволы Положение грани в пространстве (т. е. по отношению к системе координат) однозначно определяется величинами отрезков (параметров), отсекаемых ею на координатных осях. Так, положение грани АВС (рис. 62) однозначно определяется отрезками ОА, ОВ и ОС, если система координат (ХУю) задана. Если выберем соответствующие масштабы, т.
е. единичные параметры, которыми будем измерять по каждой из осей, то положение грани АВС будет подчиняться закону целых чисел. В качестве единичных параметров могут быть взяты отрезки, отсекаемые на тех же осях другой гранью того же кристалла, т. е. отрезки Оа, ОЬ и Ос (рис.
62). При этом абсолютные размеры отрезков ОА, ОВ и ОС теряют всякое значение, и можно представить грань АВС перемещающейся параллельно самой себе в любое положение. Обычно принимается положение, когда грань проходит через начало координат. В этом случае весь кристалл представляется системой плоскостей (граней), проходящих через начало координат.
В кристаллографии для определения положения грани в пространстве берется не прямое отношение целых чисел, например (в случае рис. 62) ОЛ ОВ ОС Оа ' ОЬ ' Ос — — — 8: 4: 3 а обратные им величины, т. е. 1 1 ОА(Оа ' ОВ/ОЬ ' ОС(Ос. 1 1 1 — — — = 3: 6: 8. 8'4'3 Каждая из этих величин называется индексом символа грани по данной координатной оси, а совокупность трех индексов называется символом грани. Символ грани ставится в круглые скобки без каких-либо знаков между индексами.
Так, символ грани АВС будет (368). Если индекс является двузначным числом, то он отделяется точками. Так, например, символ (10.2.3) показывает, что по оси Х индекс равен 10, по оси У вЂ” 2 и по оси Я вЂ” 3. Для подавляющего большинства реальных граней кристалла индексы символа обычно быва1от меньше 10. Обратные величины приняты в кристаллографической символике вследствие того, что для граней, параллельных одной или двум координатным осям, индексами символа будут нули, а не бесконечности, что гораздо удобнее при всех математических операциях с этими величинами.
Для нахождения символа той нли иной грани кристалла надо прежде всего выбрать координатные оси и единичную грань, затем определить величины отрезков, отсекаемых на осях Х, У и Я исковой гранью; измерить эти отрезки соответствующими отрезками единичной грани; взять отношения, обратные найденным, и привести их к целым числам. Полученные величины будут являться пвдексамп символа данной грани. Каждая грань простой формы получает свой символ, отличающийся от символа другой грани той же простой формы переменой индексов символа по осям и знаками. Числовые значения индексов символа для всей простой формы остаются одними и теми же. Так, на рис. 67 показаны куб и октаздр с обозначением символов каждой граня, в ншкней части рисунка даны нх стереографические проекции.
Шесть граней куба имеют следующие символы: (100), (010), (001), (100), (010), (001). Если желательно символом показать всю простую форму, то символ ставится в фигурные скобки. Так, символ куба будет (100). Под зтим свмволом подразумеваются все 6 выше- написанных символов. Символом октаэдра будет (И1). Под этим символом подразумеватотся все его 8 граней: (1И), (1И), (1И), (1И), (И1), (И1), (1И), (111). а,ВВ Рне.
67. Крнсталлографнческне символы куба (а) н октаздра (б) 6 в. Мвтеивтичееиое определение еииволов грини Для точного определения символов грани обычно используется теорема косинусов Вульфа. Согласно этой теореме, индексы символа грани прямо пропорциональны косинусам углов, которые составляют нормаль к данной грани с соответствующими осями координат. За единицу измерения косинусов для каждой оси надо принимать косинус угла, который образует с данной осью нормаль к едппкчиой грани. На рис. 68 изображены две грани кристалла аЬс и АВС.
Первая грань принята за единичную. Требуется найти символ грани АВС. На каждую грань из начала координат опущены нормали Оп и ОД' соответственно. Нормаль Оп дает с осями Х, У и Е углы 7,ь )ц и ть где Рнс. 68. К определению спиноза грани АВС (абс — единичная грань) 11 —— Е пОХ, 1«1 — — ШОУ и =Е пОХ, Нормаль О)У с осями Х, У и Я образует соответственно углы Л, 1«и т, где Л=.~ 1УОХ н т. д. Пусть символ грани АВС будет (рог). Требуется доказать, что сов Л сав р сав т Л,' По определению символа имеем 1 1 1 О О ' ОВ(ОЬ ' ОС Ос Оа ОЬ Ос ОА ОВ'Оо' (9) Из шести прямоугольных треугольников следует, что Оа =оп: савхт ОА =ОВ: сов Л ОЬ = Оп: совр« и ОВ Оу: совр Ос=оп:салат ОС =ОХ: сост. Откуда Оа .
Оп: сов Лт Оп сов Л ОА ОМ: сов Л ОГ«' сав Лт соответственно ОЬ Оп сав р Ос Оп соз т ОВ Отт сов рт ОС ' ОУ сав тт Подставляя эти отношения в уравнение (2) и сокращая на Оп(ОБ, получаем сов Л сав 9 сов т Р:9:г= сов Лт сав нт саз т1 что и требовалось доказать. Таким образом, если в избранной системе координат задано положение единичной и любой другой грани кристалла,то,найдя величины косинусов углов между нормалями к атнм граням и координатными осями, можно определить символ любой грани. йе, атетвиоввв ирнетвалов Под термином «установка кристалловв подразумеваются правила выбора координатных осей и единичной грани в кристаллах разных сингоний. Установка кристалла проводится в строгом соответствии с его симметрией.
За координатные оси всегда выбираются действительные или возмож- 4 Нристаллалиииа ные ребра кристалла и, в частности, оси симметрии. Проще всего установка кубических кристаллов, где за координатные оси принимаются три двойные или четверные взаимно-перпендикулярные поворотные оси, за единичную грань — грань октаэдра или тетраздра. Они отсекают на всех трех координатных осях равные отрезки. Координатные осн обозначаются Х, УиЯ. Координатные углы — а,р иу, при атом а лежит против оси Х, т. е. это угол УО2, р — против У (угол ХОЯ) и у — против Е (угол ХОУ).
Кратко установка кристаллов кубической сингонии может быть записана так: а=6=у=90', а=Ь=с, где а, Ь и с — отрезки, отсекаемые единичной гранью на осях Х, У н Е. В кристаллах триклинной сингонни нет никаких алементов симметрии, кроме центра, поэтому любые три ребра кристалла (действительные или возможные), не лежащиев одной плоскости, могут быть взяты за координатные оси, любая грань, пересекающая все три координатные оси,— за единичную. Соответственно сказанному установка трнкликных кристаллов будет записана так: аФ М 6 чь у = 90', а чь Ь чь с.
Описывать такой кристалл надо в косоугольной системе координат и измерять параметры по каждой из координатных осей своим масштабом. В табл. 6 собраны правила установки кристаллов всех сингоний. В тригональной и гексагональной сингониях удобно применять систему координат с 4 осями. Дополнительная ось О берется под углом 120' к осям Х и У (см. рис. 69).
С точки арения аналитической геометрии она не нужна. Индекссимвола по этой оси не независим. Легко доказать, что он равен сумме индексов по первым двум осям с обратным знаком О= — (Х+У). Однако, чтобы символы граней всей простой формы имели одинаковые индексы, приходится вводить дополнительную ось. 49 коороииегиые угон и единичные по реестры Кдиничнен гринь вмсор ноорлииегних осев Грань октаедра или тетраедра Грани пирамиды, липирамиды или тетра- эдра и=6 =т=90' а=Ь с Три взаимно-перпендикулярные оси Ге или Ае Уч или Г выбирается за ось Я. За Х и У вЂ” перпеядикулярпые Г,„перпендикуляриые нормали к плоскостям симметрии или перпеядикулярные ребра Три оси Гч или — одна й, за 2 и две нормали к плоскостям симметрии за Х и У Гнили нормаль к плоскости аа ось У.
За Х и З вЂ” два дейо твительных или воеможвых ребра, лежащих в плоскости симметрии или в плоскости, во рмальной к оси симметрии. В последние годы наметилась теиденцияТарасполагатьвертикальло, т. е. принимать за ось 3 Три действительных или возможяых ребра кристалла За ось 2 — Ге, Гй, Га или ТВ за оси Х, У и О' — три оси ье, вли нормали к плоскостям симметрии, или три ребра, расположенные под 60' друг к другу и лежащее в плоскости ( к Я (см.
описание в тексте) Кубическая Тетрагональная а = й = т = 90' а = 6 чь с а=6=о=90' афЬ+с Грань ромбических пирамиды, дипирами- ды вли тетраэдра Грани ромбической призмы или диэдра Ромбическая а = т = 90' -,ь З а ов Ь ф с Моноклинкая о ф З ф т -ь 90' а~Ь+с а = З = 90' Т =120' а=Ь+с Грани пияакоида иля мояоздра Грани соответствую- щих пирамиды, дипи- рамиды или ромбоэдра Триклиниая Трпголальиая и гекоагояальвая Все вычислительные операции проще всего производить в системе координат ХУХ, а затем вписать четвертый индекс символа, руководствуясь написанным выше соотношением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
