Г.Б. Бокий - Кристаллохимия (1157627), страница 6
Текст из файла (страница 6)
3. Такая символика является нестрогой, т. е. в других случаях аналогичных элементов симметрии мы не указываем; например, ось Ез, содержащуюся в каждой четной поворотной оси (Е1 нли Ез). Избежать такой двойственности легко, если в каждом виде симметрии указывать только порождающие элементы симметрии, т. е. тот минимум, который в результате +[[Р Р Е1РС Е~РС (е, с) [4] Е- С з Е- з Е, Р з [4[ +С С[0 Е1 Р С[э) [3) Ез2Р ЕАЗР Е14Р Е16Р ЕЗЕ1ЗР С[1) з Е-2Е 2Р[з) Е ЗС 4Р[з) +) Е1 ЗЕз [,1 ЗЕ1 Е14Ее Е,6Е1 (Е-ЗЕ1 3 Р С) (Е-2Е12Р) (Е-ЗЕ14Р) е +ЕзРС (к Рс) ЗИЗРС Рб Е44Е.ЗРс Е16Ез7РС (Е З РРС) [1[ оу г г г Рис. Зй Прибавление центра симметрии к ссн Хч превращает ве а инаерснвнную ось Ха Рис. 32. Прибавление плоскости симметрии параллельно инаерсиснквй оси 8, вызывает коиаланив двойных осей Ц, аеркендикуллрных к й, сложения дает всю формулу симметрии. Указание на С н Р прн осях Х а и Хй имеет скорее педагогическое значение, так как именно эти алементы симметрии на моделях кристаллов учащпвся будут находить скорее и легче, чем сами инверсиопные оси.
Все указанные в первом столбце табл. 3 осп могут присутствовать в фигурах в единственном числе. В атом случае они будут являться восемью простейшими видами сима~стрик. К этим осям симметрии мы последовательно будем прибавлять другие алементы симметрии (верхняя строка табл. 3). Действуя таким образом, мы заведомо не пропустим ни одного вида симметрии, но некоторые из иих, очевидно, получим в таблице несколько раз. Вывод будем проводить по колонкам сверху вниз и слева направо. Те виды симметрии, которые будут появляться второй раа (и последующие 'разы), будем сразу ставить в скобки и при окончательном подсчете не учитывать. Если прибавление нового элемента симметрии изменяет характер осн, то соответствующую клетку прочеркиваем, так как все возможные оси выписаны в первой колонке и нового вида симметрии, очевидно, в таком случае не получим.
Все примечания в таблице последовательно с выводом будут разбираться. Если к каждой из осей прибавить центр симметрии (вторая колонка), то мы получим несколько новых видов симметрии. (г]. Прибавление С к оси первого порядка, т. е. к фигуре, не имеющей элементов симметрии, дает вид симметрии, имеющий только центр симметрии. (2]. Прибавление к Х, центра симметрии дает по второй теореме (2 3) вид симметрии с формулой 1зРС. (3].Если к оси Хз прибавить центр симметрии, то это превратит ее в инверсионную ось Хй (рис.
31), а таковая ось уже имеется в первой колонке, так что нового вида симметрии в этой клетке таблицы мы заведомо не получим. (4].Прибавление С к Хг или Хй превращает зту ось в Хг или в Ха соответственно. Прибавление к осям симметрии плоскости симметрии может быть осуществлено параллельно оси, перпендикулярно к оси и наклонно, Прибавление плоскости симметрии параллельно главной оси (столбец 3) по первой теореме приводит к появлению новых плоскостей, причем общее число плоскостей будет равно порядку оси. [5]. Можно показать, что прибавление плоскости симметрии параллельно к инверсионным осям Ха и Хй вызовет также появление двойных осей симметрии, перпендикулярных к главной оси и расположенных по биссектрисам углов между плоскостями симметрии.
г.4 и Рг (рис, 32) заданы. Так как Х 3 есть одновременно и Хп то перпендикулярно к Рг появится равнодействующая плоскость Рьь Задав произвольноточку1, с помощью плоскостей симметрии и Хз мы получим точки 2, 8 и 4. Этим бы дело и ограничилось, если бы главная ось была простой Хь Она переводила бы точку 1 в положение 4, а точку 2 — в положение 8.
Но так как ось является инверсионной, то точка 1 после поворота по часовой стрелке на 90' и инверсии попадает Рнс. 33. Прнбавленне плоскости снмметрнн наклонно к главной осн выаывает появленке второй главной осн Рнс. 34. Ьа, Ь, Ь вЂ” места выходов ка шаре осей разного наименования. Проведение через ннх дуг раабнвает шар на сеть сфернческнх треугольников Рнс.
35. Трн взанмно перпвнднкулнрные плоскости, разбивающие шар на 8 октан- тов в положение 1' (под плоскость чертежа) . Соответственно появляются точки 2', 3' и 4'. Число точек при этом удваивается (8 вместо четырех) . Легко видеть, что фнгура обладает дополнительными элементами симметрии — двумя осями симметрии Ьа, перпендикулярными к главной оси. Хг' переводит точку 1 сразу в положение 3', точку 2 в з положение 4' и т. д. Аналогично действует и 1,". Центра симметрии фигура не имеет. Но он имеется у фигуры, содержащей вместо х ось 13.
(61. Прибавление Р параллельно Ь-, даст три плоскости симметрии, проходящие через главную ось. В пересечениях этих плоскостей с четвертой, перпендикулярной главной оси, появляются равнодействующие оси Ха. Прибавление плоскости симметрии перпендикулярно главной осн не дает новых видов симметрии. Прн этом у простых четных осей появляются С в качестве равнодействующего элемента симметрии и виды симметрии те же, что и в столбце 2. Прибавление же Р к осям Ьа и Еу приводит к превращению нх в оси другого наименования, уже имеющиеся в первом столбце.
Следовательно, такое прибавление также не приведет к новым видам свмметрин. Для Ь-, и 13 справедливы оба сделанные замечания. Прибавление плоскости симметрии наклонно к главной оси производить нельзя, так как это вызовет появление второй главной оси того же наименования (рис. 33), а мы условились выводить пока, виды симметрии с одной главной осью, В четвертом столбце выписаны виды симметрии, получающиеся от прибавления к главным осям перпендикулярной оси Ьь Прибавлять Ьт параллельно главным осям бесполезно, так как при этом нечетные оси становятся осями вдвое большего наименовании, а четные оси и без того содержат ось Хь а прибавление наклонной 1х дало бы вторую глав- ную ось.
Прибавление к Х4 перпендикулярной Ьз приводит, по теореме Эйлера, к появлению трех других г з, также перпендикуляных к Е4. Для полноты вывода мы должны еще прибавить одновременно по два элемента симметрии, но так как сложение двух элементов симметрии обязательно приводит к появлению третьего — равнодействующего, то в последнем столбце (пятом) мы должны просуммировать все элементы симметрии из столбцов 2, 3 н 4. Прибавление этих элементов симметрии в иной ориентировке или же других элементов симметрии не приводит к новым видам симметрии.
Подсчет полученных видов симметраа показывает, что в столбце (1) их 8, во (2) — 4, в (3) — 8, в (4) — 4 и в (5) — 3, а всего 27. Вторая часть вывода будет посвящена видам симметрии с несколькими главными осями. Если имеется несколько главных осей, пересекающихся в одной точке, то, вращая весь этот пучок вокруг всех его осей, можно получить двоякий результат. Во-первых, может случиться,что через некоторое число поворотов оси одного наименования начнут совпадать,и система, следовательно, будет иметь конечное число осей; во втором случае число осей может оказаться бесконечно большим. Очевидно, что нас может интересовать только первый случай, так как кристаллы являются всегда конечными многогранниками и имеют, следовательно, конечное число элементов симметрии. Если такой пучок поместить в центр шара, то на его поверхности окажутся выходы осей (рис.
34). Предположим, что сначала мы имели только две оси — Ь и Ь„. При повороте каждой из них вокруг другой мыполучим тХ„илЬ„. Эту операцию будем повторять до тех пор, пока оси одного наименования не станут совпадать друг с другом. Тогда поверхность шара окажется заполненной конечным числом точек — выходов осей. Складывая эти оси друг с другом, мы можем получить новую систему осей х.ю которые в частном случае могут оказаться и осями Ьз. В результате вся поверхность шара окажется испещренной точками— выходами осей.
Эти точки мы можем соединить дугами, которые будут являться следами плоскостей, проходящих через оси и пересекающихся в центре шара. Вследствие этого вся поверхность шара окажется разбитой на сеть сферических треугольников. Процесс разбиения можно провести таким образом, чтобы в вершинах треугольников располагались оси Ь , 7„ и х, (рис. 34).
Исследуем возможные варианты. Прежде всего вспомним, что сумма углов сферического треугольника больше 2И. На рис. 35 шар разбит тремя взаимно-перпендикулярными плоскостями на 8 сферических треугольников — октантов с суммой углов, равной 270'. Если мы начнем уменьшать угол в точке А, т. е. приближать дугу АС к АВ, как это показано стрелкой, то сумма углов сферического треугольника АВС начнет уменьшаться, при этом углы в точках С и В будут оставаться прямыми. В пределе, когда сферический треугольник выродится в дугу, сумма его углов станет равной 2Н (по 90' при С и В и 0' при А). Таким образом мы приходим к выводу, что сферические треугольники Ь Ь„х ь (рис.
34) имеют сумму углов, ббльшую 2Ы. Мы знаем, что в кристаллах могут существовать оси Ьз, Ьь Ез и Ьз (для упрощения рассуждения инверсионные оси могут рассматриваться как простые соответствующего наименования), а плоскости, их соединяющие, составляют, следовательно, углы в 30, 45, 60 и 90' соответственно (так как угол между плоскостями отражения, заменяющими поворот около оси, вдвое меньше элементарного угла поворота оси). Этих сведений достаточно, чтобы исследовать те сферические треугольники Е Ь Ью ко- Рис.
36. Вид симметрии с формулой Зг.газ Рис. 37. Виа симметрии с формулой ЗЕ,,4г'гзьг Рис. 36. Расположение осей симметрии в тетрездре Рис. 39. Расположелие осей симметрии е кубе Рис. 46, Вид симметрии с формулой 31 г4йгЗРС Рис. 44. Вид симметрии с формулой 31 г4г" гбго9РС Рис. 4Х Вид симметрии с формулой Зг.г4г.гзР торые могут встретиться в кристаллографии. Прежде всего одна из трех вершин обязательно должна быть 1з, так как любой набор осей Ез, Ег и Ье не дает сумму углов треугольника больше 2гг. Но она должна быть только одна, так как мы выводим виды симметрии с несколькими главными осями. Легко видеть, что в вершине треугольника не может быть оси Хе, так как даже при максимальном значении третьего угла (60') мы не получим сферического треугольника: 90'+30'+60' = 2 сг, а надо, чтобы сумма его углов была более 2с(. Из сказанного следует, что в кристаллах, имеющих несколько осей высшего порядка (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
