Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (Н.В. Богомолов - Практические занятия по математике (2003)), страница 9

Легко установить, что этой системе удовлетворяют только числа 4 и 5. ° 58. Составить квадратные уравнения, корни которых: 1) хг — — -2, х,=4; 2) хг= — 3/4, хг»» — 5/б. О 1) Используя теорему Виста (обратную)„получим хг+хг= — 2+4=2, лгхг=( — 2) 4=-58. Следовательно, заданным корням соответствует квадратное уравнение х' — 2х+8=0. 2) На основании теоремы Виста (обратной) имеем 3 5 19 хг+.тг = — — — -= — —, 4 6 12' Х1Хг = 19 5 .тг+ — х+ -=0 «»(24хгт38х+15=0).

° 12 8 59. Определить знаки корней данного квадратного уравнения, не решая его: 1) 15х' +х — 10 =О; 2) 5х'-х- 1О =О; 3) 2хг— — 13х+12=0; 4) бхг+18х+12=0. 41 Теорема Виста (обратная), Ес.ш гумми каких-5с«будь чисел х, и хг равна -Ь/а( — р), а их произведение равна с/а(5/), та эти числа являются корнями квадратного уравнеиия ахг+Ьх+с=О(х +рх+5!=О). Фарнула разложения квадратного трстчлсна на лшгсйные мнажитвяи имеет вид 60.

Разложить на линейные множители квадратные трехчлены: 1) 2хг — 5х — 12;. 2) 9хг+бх-8; 3) — 20хг+7х+б. О 1) Находим корни трехчлена: -3/2 и 4. По формуле (ЗЛО) получим 2х -5х — !2=2~ х+ -)(х — 4)=(2х+3)(х — 4). г / 3! 2) 2) Здесь корни трехчлена равны -4/3 н 2/3. Значит, 9х +бх-8=9( х+ -) ( х — -)=(Зх+4)(Зх-2). 3)(, 3) 3) Здесь корни трехчлена равны — 2/5 н 3/4. Поэтому -20 х+ -) ~х — -' (= — (5х+2)(4х — З)=(5х+2)(З вЂ” 4х). ° 5)х 4) 61. Решите устно квадратные уравнения, используя теорему Виста: 1) х'-4х+3=0; 2) х'-7х+10=0; 3) хг — 2х — 15=0; 4) хг-х-12=0; 5) хг+бх+8=0; 6) х'+2х — 15=0.

62. Составьте квадратные уравнения, корнями которых являются числа: 1) 5 и 8; 2) — 5 и 2; 3) — 4 и — 5; 4) 2/3 и 4/5; 5) — 1/4 и 3/8; 6) — 2/5 и — 5/б; 7) 1/4 и 4; 8) — 1/3 и 3. 63. Определите знаки корней квадратньгх уравнений (не решая уравнений): 1) бхг+2х-11=0; 2) 4хг — х — 9=0; 3) 2хг — 15х+ +11=0; 4) хг — 7х+10=0; 5) Зхг+13х+9=0; 6) 2хг — 12х+9=0. 64. Разложите на линейные множители квадратные трехчлены: 1) 2х'-7х+3; 2) баг+5а-6; 3) Зуг — 11у — 20; 4) 12хг+7х+1; 5) тг-2т — 3; б) 72х'-67х+15.

2хг — 9х+ 1О 65. Сократите дроби: 1) 2хг+х-15 ' Зуг+8у — 3 буг+ 1Зу 5 42 О 1) Здесь а>О, Ь>О, с<О, гЗ=Ьг — 4ас>О, так как с<О. Следо- вательно, уравнение имеет два различных корня. Согласно теореме Виста, 1Хг+Хг«« — !/15, имеем Произведение корней — отрицательное число, поэто(х,хг= -1О/15. му корни имеют разные знахи. Сумма корней — отрицательное число, следовательно, больший по модулю корень отрицателен. 2) Здесь ссО, поэтому 27=Ьг-4ас>0 и уравнение имеет два корив. х, +хг = 1/5, По теореме Виста получим ! Произведение корней отрица(х,хг = — 1О/5.

тельно, следовательно, корни имеют разные знаки. Сумма корней — положи- тельное число, поэтому больший по модулю корень положителен. 3) Так как /г=!Зг — 4 2 12>О, то уравнение имеет два корня. В силу (хг+хг — — 13/2, теоремьг Виста получим г Произведение и сумма корней— '(х,х, = !2/2. положительные числа. Следовательно, оба корня положительны. 4) Находим /У= !8г-4 6 12>0, т. е.

уравнение имеет два корня. По (хг+хг= — 18/6, теореме Виста получим Произведение корней — положи( хгхг = 12/6. тельное число, а сумма корней — отрицательное; следовательно, оба корня отрицательны. й! баг+5а-4 4+За-аг 2хг+7Х+б 2!уз+Ну-2 Заг+!9а+20 За'+4а+!' !2+5Х вЂ” 2хг !5уг+!бу+4 б 9. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, ПРИВОДИМЫХ К КВАДРАТНЫМ . 1. Уравиеиая, содержащие аеремеиную в знаменателе дроби (дробно-раннональные уравнения с одной переменной) 66.

Решить уравнения: ! ! ! х+4 х — 4 64 1) — — — =0; 2) — + — = 2(х-2) 3(Зх-7) х ' х — 4 х+4 х — !6 ! ! 1 О 1) — — -=О«ь 2(х — 2) З(Зх-7) т Зх (Зх — 7) — 2х (х — 2) — 6 (х — 2) (Зх — 7) «ь — О,«- бх(х-2) (Зх — 7) бх(х — 2) (Зх-7) ~О 6 х=2— И Ихг 6!т+84 0 бх(х — 2)(Зх — 7) ФО 6 При х=2 — высхазывание б 2 — ~2 — — 2(~3 2 — — 7 ггО истинно; И И~И )~ И при х=З высказывание 6.3 (3-2) (3 3 — 7)РО истинно.

Таким образом, б получаем отеелг: 2 —; 3. И' (с+4)г+ (х 4)г 64 2) — + — = — «: (.т-4) (У+4) «ь х+4 х-4 64 =О, х 4 х+4 тг !6 (х-4) (х+4),-гО (х — 4) (х+4) ~О (.т — 4) (х+ 4) -,е О. Прн к=+4 обе части исходного уравнения не имеют смысла. Поэтому корни квадратного уравнения х' — 16=0 не являются хорнямн данного уравнения. Уравнение не имеет решений. ® 2. Биквадратиые уравнения 67.

Решить уравнение х — 13х +36=0. О Для решения бнквадратного уравнения применяем подстановку хг=г. Тогда получим квадратное уравнение г' — 13г+36=0, корни которого г, =4 и гг = 9. Для нахождения корней исхолного уравнения решаем совокупность уравнений: Гх =4, Гх, г=~2, («4 — !Зхг+36=0)вв~ 'чв~ ' Ответ: ! 2 х „!.3 ° ( хг=9 1 х =+3, !г ' гв г.в 3. Уравнения, левая часть которых разлагветев ня мнеяпгтелв 68.

Решить уравнения: 1) х' — 2хг-8х=О; 2) хз 5«г х+5 О 0 !) Очевидно, что левая часть уравнения раскладывается на множители. для нахождения корней исходного уравнения приравниваем каждый сомножнтель нулю и решаем совокупность уравнений; (хг — 2«г — 8х=О)вв(х(х — 2х — 8)ы0).-, Гх=0, Гх=0, »~х= — 2, Ответ: хг=. 2 х =О, х =4. ~хг 2х †8 ~х=е. г= Гх †5 Гх=5, в>((х — 5)(х+!)(х — !)=0)вв х+1=0,«в х= — 1, (Зтввт. х †1 х=!. хг=5. ° 4.

Двучлеииые уравнения 69. Решить уравнения: 1) хв — 16=0; 2) хз О !) (х — 6 вв «-2=0, с: '+4=0 =0) вв ((х — 4)(х +4)=0) вв ((х-!.2)(х — 2)(хг+4)=0) вв х= — 2, х=2, Ответ: хг=-2, хг=2 нет решения. Гх — 3= 2) (х -8=0)вв((х-2)(хг+2«+4)=0)вв~ " +2«+4=0 1 нвт решения. Ответ: х=2. Э 70. Решите уравнения: !4 1 4 — х 7 1), + — + — — — =О; х' — 9 3-х х+3 х+3 3 2 4 ! 2) — + — = — + —; х — 2 х-3 х †! х-4' 2 ! 2х-! 3) хг-х+1 х+! хг+!' ! 1 6 4(!+хг) 4) — + — + -= хг х х хг 1 5 Зу 5) + г 2(! — у) 4уг+4у+4 уг- ! ' 18г+7 30 13 6) г + г+ г =0; г ! ! гг г+ +! 2) Разложим на множители левую часть у(гавнения н приравняем каждый сомножнтель нулю. Решив полученную Совокупность уравнений, получим корни исходного уравненшс х'-5х — х+5=0вв(х'(х — 5) — (х-вЗ 03 6 — х ! ! 7), + — — — =1; Зхг — !2 2 — х х — 2 6 !3 — х 3 2 8), + — + — -О.

х' — 9 3+х х+3 3-х 71. Решите уравнения: 1) хв-5хг+4=0; 2) хв-34хг+225=0; 3) 9хв — 37хг+4=0; 4) 4хв — 65хг+16=0. 72 Разложите на линейные множители: 1) 4хв — 17х'+4; 2) хв — 125хг+484. 73. Решите уравнения: 1) хз 4хг 11х+30 О. 2) «4 бхз+Зхг+26х 24 0 3) «4+2«з-13«г-14«+24=0; 4) 2хз-7хг+2х+3=0; 5) «4 — 1Зхг — 12х=О; 6) хз — 2хг-5х+6=0.

74. Составьте уравнения с корнями: 1) — 1„2; — 3; 2) — 1/2; — 1/3; 1. 75. Решите уравнения: 1) хв-81=0; 2) !25хз+8=0; 3) 16«"— — 625=0; 4) 125хз 27 0 ,р ЭД ЗАДАЧИ ИА СОьХЯИЕНИВ ЗЛЗАДРФгИЫХ УР4ВИВНИЗЗ 76. Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 552, Найдите зги числа. 77.

Числитель дроби на 2 меньше ее знаменателя. Если сложить эту дробь с обратной ей дробью, то в сумме получится 34/15. Найдите эту дробь. 78. Найдите двузначное число, если известно, что цифра единиц искомого числа на 2 больше цифры его десятков и что произведение числа на сумму его цифр равно 144. 79. Периметр прямоугольника равен 42 ем, а длина его диагонали равна 15 см. Найдите длины сторон прямоугольника.

80. Плошаць прямоугольника равна 192 ем', а его периметр равен 56 ем. Найдите длины сторон прямоугольника. 81. Периметр прямоугольника равен 40 ем, а сумма плошадей хвадратов, построенных на смежных сторонах прямоугольника, равна 208 смг. Найдите длины сторон прямоугольника. 82. Если каждый участник шахматного турнира сыграет по одной партии с каждым из остальных участников, то всего будет сыграно 153 партии. Сколько человек участвуют в турнире? 83. Две бригады, работая совместно, закончили уборку урожая на участке за 4 дня. За сколько дней закончила бы уборку урожая на этом участке каждая бригада в отдельности, если одна из бригад могла бы закончить уборку на 6 дней быстрее другой? 84. Две дорожно-ремонтные бригады, работая вместе, ремонтировали в день по 4,5 км пути.

Вторая бригада работала на 2 дня меньше первой, но каждой бригаде пришлось отремонтировать по 20 км пути. Сколько километров пути каждая бригада ремонтировала в день? 45 а/ б/ а/, б/ а/ б/ Рис. 3 Рис. 1 Рис. 2 85. При испытании на экономичность двух двигателей одинаковой мощности было установлено, что один израсходовал 600 г бензина, а второй, работавший на 2 ч меньше, израсходовал 384 г. Если бы первый двигатель расходовал в час столько бензина, сколько второй, а второй столько, сколько первый, то за то же время работы расход бензина в обоих двигателях был бы одинаковым. Сколько бензина в час расходовал каждый двигатель? 86.

Сумма длин окружностей переднего и заднего колес повозки равна 5 м. На протяжении 60 м переднее колесо сделало на 9 оборотов больше, чем заднее на протяжении 63 м. Найдите длины окружностей колес. 87. По круговой дорожке длиной 2 км движутся в одном направлении два конькобежна, которые сходятся через каждые 20 мин. Найдите часовую скорость. каждого конькобежца, если первый из них пробегает окружность на 1 мин быстрее второго.

88. Расстояние между городами равно 960 км. Пассажирский поезд проходит это расстояние со скоростью, на 20 км/ч большей, чем товарный. Найдите скорости поездов, если весь путь пассажирский поезд проходит на 4 ч быстрее товарного. 89. Велосипедисту надо было проехать расстояние в 30 ям. Выехав на 3 мин раньше назначенного срока, велосипедист ехал со скоростью, меньшей на 1 км/ч, и прибыл на место назначенна вовремя. Найдите скорость, с которой ехал велосипедист. б 11. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ Квадратным неравенством называется неравенство вида ахг+Ьх+е>О (нлн ах +Ьх+с<О), где аМО. Известно, что графиком функции у=ах'+Ьх+с является парабола с ветвямн, направленнымн вверх прн а>О н вниз прн а<0.