Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (Н.В. Богомолов - Практические занятия по математике (2003)), страница 8

Рви»опием такого уравнения называется упорядоченная нара чисел (хо,' уо), при подстановке которых в данное уравнение получается верное числовое равенство г'(хо. уо)=0. Система уравнений с двумя переменными х и у в общем виде записывается так Решением сиепммм уравнений называется упорядоченная пара чисел, являющаяся решением каждого из уравнений, входшцих в систему. Две системы уравнений называются равносильными, если множества рпшений этих систем совпадают. 2. Решете систем двух лвиейиых уравнений е двумя переменными. Опрвдвлшнвлем второго порядка, составленным из чисел ам Ьм аг, Ьг, называется число, определяемое равенством Числа аь Ьп аг и Ьг называются элементами определителя, причем элементы «г и Ьг образуют главную диагональ, а элементы а, я Ь, — побочную диагашмо.

Таким образом, определитель второго порядка равен произведению злемеытов главной диагоналы минус произведение элементов побочной дыагонали. Система двух линейных уравнений с двумя переменными асх+Ь,у=с„ агх+Ьгу=сг а, Ь,1 при условии, что определитель системы Л= ~0, имеет единственное аг Ьг( решение, которое находится по формулам Равенства (3.3) называются формулами Крамера. Здесь Ь„и ˄— определители, получающиеся из определителя Л заменой столбца коэффициентов при соответствующей переменной столбцом свободных членов. Если же определитель системы Л=О, то система является либо несовместной (когда Ь„ФО и Л„»»0), либо неопределенной (когда Л„=Л„=О).

В последнем случае система сводится к одному уравнению, а другое является следствием этого уравнения. Условие несовместности системы можно записать в виде а условие неопределенности †виде ас/аг=йг/Ьг=сс/гг. Зб. Решить системы уравнений: 1) 13х+4у=18, 2) ) Зх — 2у=1, 3) ) 2х — Зу=2, (2х+5у=19; (бх — 4у=2; (4х — бу=З. 3 4 О 1) Так как Л= =!5-8=7»»0, то система имеет единственное 2 5 решение, которое находим по формулам (3.3): (18 4( (3 18 =2; у= = — =3.

Ответ: (2; 3). (19 5( 90 — 76 ~2 19 57 — 36 7 7 7 7 13 — 21 2) Находим Л=~ ~= — 12+12=0. Здесь свободные члены пропор- 16 — 4( циоиальнм коэффициентам при переменных: 3/6=( — 2)/(-4)=!/2. Поэтому данная система равносильна одному нз уравнений, например первому, и, слеловательно, имеет бесконечное множество решений. 3) Находим Л= 1= — 12+!2=0. Здесь свободные члены не про- 4 — 61 порционалъны коэффициентам при переменных: 2/4=( — 3)/( — 6)Ф2/3; по,этому лавная система несовместна.

° (ах+2у=а, 37. Решить систему уравнений ! 18х+ау=2а. 1а 21 0 Имеем, А= =а' — 16. 18 а~ 1. При а»»+4 система имеет единственное решение; . И„,—,, Ы.;-" " 2. При а=4 определитель системы равен нулю и система примет вид 4х+2у= 4, 8х+4у=8. Свободные члены пропорциональны коэффициентам' при переменных: 4/8=2/4=4/8; поэтому при а=4 система имеет бесконечное множество решений.

3. При а= -4 определитель системы раасн нулю и система примет вид — 4х+2у= -4, 8х — 4у = — 8. Свободные члены не пропорциональны коэффициентам при переменных: (-4)/8=2/( — 4)й( — 4)/(-8); поэтому при а= — 4 система несовместна ° Решите системы уравнений: 38.

1) 5х-2у=7, 8х+4у=7, Зх+4у= 25; 2) 4х+2у= 9; 3) 2х-Зу=-З, 2х+Зу=)З, 4) -бх+9у=9; 5х — у=7; 5) 2х — 4у = 14, Зх+5у=14, 4х+ Зу = — 27; 2х — 4у = — 20, 6) ' 39. 1) 2х — у Зх — 2 2) к+ 2у х — 2у 7 — 2у — — =х+у, — — — — — -1 — х, 3 4 4 2 3 Зх-2у=8; 5х-4у=.-!8; 3) ! — 2у х 4) Зх-5у к+2у — — — — 2у=4, — — =!О, 5 5 3 6 2(! — у) — х=1 7х- !Оу 62. 12х — ау=3, 40. При каком значении а система ~ ' имеет беско- (бх — 9у=9 печное множество решений? ) 4х+Зу=12, 41. При каком значении а система ~ ' не имеет решений? (2х+ауги7 42.

Найдите двузначное число, которое при делении на сумму его цифр дает в частном 6, а в остатке — 8; при делении же на разность цифр десятков и единиц в частном получается 24, ц в остатке — 2. 36 43. Если увеличить ширину прямоугольной площадки на 4 м, а ее длину уменьшить на 2 м, то ее площадь увеличится на 8 мг; если же ширину уменьшить на 3 м, а длину увеличить на 1 м, то ее площадь уменьшится на 23 м'. Найдите ширину и длину плошадки.

44. Двое рабочих получили за работу 765 тыс. руб. Первый работал 10 дней, а второй — 9 дней. Сколько получал в день каждый вз них, если известно, что первый рабочий за 5 дней получил иа 45 тыс. руб. больше, чем второй за 3 ди»г? 45. Скорость вертолета на 70 км/ч превышает скорость автомобиля, а отношение их скоростей равно 15:8. Найдите скорости вертолета и автомобиля. 46. Величина одного из углов треугольника равна 50', а разность величин двух других углов равна !О . Найдите величины углов треугольника.

47. 5', одного числа и 4» другого составляют 16, а 6» ь первого числа и 8» ь второго составляют 24. Найдите эти числа. 8 6. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРЕХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ О пределитемм третьего порядка, составленным иэ чисел а„Ь,, с„аг, Ьз, см а». Ьз сз называется число, определяемое равенством а! Ь! с! Ьг сг аг сг) а аг Ьг с, = а, — Ь! ~ +с, (3.4) Ь» с» а а» аз сз Формулу (3.4) называют разложением определителя третьего порядка пи элементам иереей строки.

Система трех линейных уравнений с тремя переменными г а»х+Ь»у+с»г=»г'», агх+ Ь »у+ сгг = »гг, а»к+ Ьзу+сзг=г/з )а, Ь, с! при условии, что определитель системы А=~аз Ьг сг»»О, имеет единствеиаз Ьз сз! нос решение, которое находится по формулам Крамера: х= —, у= —, г= —, (3.5) А' А' А где г/! Ь! с! ~ а! г/! с, !а! Ь! д! Ал= г/г Ьг сг, А»= аг г(г сг * А»= аг Ьг !/г . г!з Ьз сз аз з/з сз аз Ьз г(з~ Если же А=О, то система является либо неопределенной, либо несов- местной. В том случае, если система ошзородная, т.

е. имеет внд а,х+Ь|у+с,г=о, агх+Ьзу+сгг О, азх+Ь»у+сзг=о, и А~О, то она имеет единственное решение: к=о, у=о, »=О. 37 51. Решите системы уравнений: ! 3 2 2 ! — 5 -8. 4 2 ! О По формуле (3.4) получим 49. Решить систему уравнений 7х — Зу+ 5г = 32, 5х+2У+г= !1, 2х — у+ Зг = 14. О Находим По формулам (3.5) получаем:ь хьг-- (3,7) 39 38 Если определитьть однородной системы А =О, то система сводится либо к двум иезависимь~м уравнениям (третье является их следствием), либо к одному (следствиями которого являются остальные два уравнения).

В обоих случаях однородная система имеет бескоиечиое множество решений. 48. Вычислить 1 -5 — 8 =3 — 2 +2 =3( — 5+16) — 2(1+32) +2(2+20)=33 — 66+44=- .!1. ° Д= 5 2 1 =7 ' 1 ( ) 5 ! +5 5 2 =7(б+!) +3(15 — 2) +5( — 5 — 4)=49+39 — 45='43; 32 — 3 5 Л„86 ˄— 43 А, 129 Л 43 ' Л 43 ' Л 43 50. Вычислите определители третьего порядка: О 5( (23 ! (123( (12 8 1)11 3 !б~; 2) 10 4 -2; 3) ~2 3 41; 4) 13 2 10. 0 — 1 1О 1 3 — ! 3 4 5 4 3 4 !) х — 2у+Зг=б, 2) 4х-5(у+1)=1, ! ! 2х+ Зу — 4г = 20, (5/12) у- (1/2) г= — 1, Зх-2у-5г««6; ( (5/б) х+ (1/3) у- (3/2) г= — 1; 3) (5х+у — Зг«» — 2, 4) (Зх — 2у+г=10, ~4х+Зу+2гт16, ~ х+5у-2г= — 15, 2х — Зу+г=17; 2х — 2у — г=З; ) (5х-Зу+4г=11, 6) (5х — Зу+4г=б, 2х — у-2г«» — 6, ~ 2х — У вЂ” г=О Зх — 2у+г= 2; х — 2у+г= О; 7) (5х+Зу+Зг=48, 8) (х-2у — г=2,, 2х+бу — Зг 18, ( Зх-бУ-Зг= 6, 8х-Зу+2г = 21; 5х-1Оу- 5г= 10.

$7. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ Уравнение вида ахг+Ьх+с=О, где а, Ь и с — действительные числа, причем' аг«0, а х — перемеииая, называется квадратным уравнением. Если а 1, то квадратное уравнение иазывается ариввдеииым, если аМ1, то— иелриввдвииым Квадратные уравнения вида ахг=О, ах'+с=О и ат'+Ьх=О называются иевовиыми.

Формула корней квадратного уравиеиия ахг+Ьх+с=О имеет вид — Ь~ /Ь' — 4ас хьг= ' 2а где Ьг — 4ас=)7 — дискримииаит квадратного уравнения. Если В<0, то квадратное уравнение ие навеет действительных корней; если 17=0, то оио имеет один корень -Ь/(2а); если )7>0, то оио имеет два корня. Приведенное квадратное уравиеиие хг+рх+9=0 в случае, когда р— четное число, удобнее решать по формуле 52. Решить неполные квадратные уравнения: 1) 5хг =0; 2) хг+4х=О; 3) Зхг — 27=0; 4) х'+16=0.

О !) (5х =0)»»(ха=О)«»(х=О~ Ответ: О. х= -4, 2) (х «-4х=О)«»(х(х+4)=0)«»~ ' Ответ: -4; О. ~х=О. 3) (Зх'-27=0)«»(тг — 9=0)«»!х'=9!«» ' ' Ответ. (.Х=З. 4) Не сушестаует такого значения переменной х, чтобы сумма х'+!6 приняла значение О. Следовательно, уравнение корней ис имеет. ф 53. Решить квадратные уравнения: 1) 5хг+7х+2=0; 2) хг — 5х+6=0; 3) хг — бх+8=0; 4) 9хг+24х+16=0; 5) 8хг — 1бх+9=0. О 1) Используя формулу (3.6), находим -52 '2 — 5 2 -22 5 -525 2 5 !О !О -7 — 3 -7+3 хг = — = — 1, хг — — = — 0,4.

10 !О 2) По формуле (З.б) получим 5+,,5/25-4 6 5-~! 5-! „ 5+1 хг,г= —, х,= — =2, хг= — =3. 2 2 2 ' 2 3) По формуле (3.7) получим х5,2=31з/9-8 =3+1, х,=2, хг 4. Это уравнение можно решать и по формуле (З.б). 4) По формуле (3.6) получим -252 % -5 5 и -25» 555-55 Хг, г 2.9 18 Дискриминаит равен нулю. уравнение имеет один корень х= — 24/18 = -4/3. 5) Находим /У=!б'-4 8.9=256 — 288<0. Значит, уравнение нс.

имеет действительных корней. ° '54. Решите неполные квадратные уравнения: 1) х' — 2=0; 2) уг-у=О; 3) Зхг+бх=8хг — 9х, Згг 11 74 2гг 5тг+9 4! г 9 4) — + — =1О; 5) — — — =3; 8 12 ' б 5 6) (5х+4)(5х — 4) — 10(х-2)=4; 7) (х+2)з+!9=(х+3)з; 8) (У-3)'+2у(5у+ !) ту'- (2у- 1) г-26. 55. Решите квадратные уравнения: 1) хг-6 +8 0; 2) хг+9х+20=0; 3) х +х — 12=0; 4) Зх' — 8х+4=0; 5) 1бх'+16х+3=0; 6) 5х' — 2бх-24=0; 7) хг-4х+4=0; 8) 2хг-Зх+8=0. 56. Решите квадратные уравнения: 1) (х-3)г+ (х-4)' — (х-5)' — х=24; (х-12)г (т-14)г х(т-9) х 6 2 18 х(х-7) х — 4 11х 3) — + — — — '=1; 3 3 !О х(2х — 3) (Зл — ! ) (х+ 3) г 8 8. СВОЙСТВА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ Теорема Виста (прямая). Если уравнение ахг+Ьх+с=О имеет действителъныс корни х, и хг, то .тг+ хг = — Ь/а, тьтг=с/а.

Если приведенное квадратное уравнение хг +ух+4 0 имеет корни хг и лг, то ( л'1+хг = — Р лгхг =ф (3.9) ах +Ьх+с5»а (х — хг ) (х — хг), где х, и х,— корни квадратного трехчлсиа, а х — переменная, 57. Используя теорему Виста, найти корни квадратного урав- нения х' — 9х+20=0. О Применяя теорему Виста к данному уравнению, получим | ~~ л ~ ~ ~ ~ ~ ~ 5 .т, +Х,=9, х1хг=20.