Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 40

Точки Г,, в которых х(1) пересекает уровень х = Ь сверху вниз, х(Ь;) =Ь, х(б;) ( О, (12.39) образуют систему одинаковых случайных точек. Она описывается функциями распределения ~1(г), Го(гь го), Л, ((ь..., бо),, Пользуясь определением (6.1) этих функций, можно получить (см. вывод формулы (10.3)): о о оо(~1 ' ' ' ~5) з ~ твтод(Ь ~о ' ' ' Ь 'хо) Х Х ) х1 ) ...

( хо ( анхо... Их„(12.40) где тв„„(хп х„..., х„х,)= ао,+, (б, хо, хо х,,..., х„х,) х„охо о (12.41) в, (б, хо) хорха о оно+о (хо, Ха~ °, хо хо) = =. ш(х(0), х(0),..., х(Ь,), х (б,)). 312 Система точек (39), определенная при г ) О, является нестационарной даже при стационарной функции х(1), В этом случае она относится к категории процессов установления и переходит в стационарную систему при 1)) т,.,р. Для таких значений г условная плотность распределения (41) совпадает с безусловной, и функции 1", ((ь ..., (,) зависят лишь от разности времен. В частности, 11(() переходит в постоянную Л вЂ” ла (1242) а Л (г„гз) — в функцию а а 7о (г, — Ьо) = ) ) тео (ь, х„ь, хо) ус М [ х, ~ ! хо ! с.'х, г(х„ (12,43) завнсящуо лишь от 1, — го Длина выброса т есть расстояние от начала координат до первой случайной точки (ь ближайшей к началу координат, Если длительность выброса т ) т, то это означает, что на отрезке О < г < т не выпадает ни одной случайной точки.

Вероятность Р( >~ ) [тв()ой (12.44) этого события согласно формуле (6,13) выражается через производящий функционал; Р[т)т )=Е, [ — 1[. (12.45) Здесь, вследствие (6.4), С,[ — 1)=1+ ~~, „1) Х Х ... ~~,(Ь„..., Г,) (Йо ..., И,. (12,46) о о Из (44) — (46), используя симметрию функции Л((ь, Ь,), получаем а- 1 Х ) ... ~У,(т, Ьо ..., ~,,),(~,,(, о о 3!3 Искомую плотность распределения н)(т) можно выразить также через функции корреляции дл ((ь ..., (,1, которые связаны с функциями распределения соотношениями (6.7).

В силу (6.9) из (45) имеем и) (т) т)'т = ехр ~ — ) у) (1) с(Ь + о ) У ( (т*)), " )*)й" " Ф') ))2 48) т 2 о о В случае плавных флюктуаций производная х(г) не может быстро изменить знак. Так как время изменения функции порядка т, р то вероятность двух близких пересечений на расстоянии т < т„,р очень мала Поэтому функции РаспРеделениЯ 12(~), (2), )з((), тг, )з)л ... пРинимают малые значения в близкие моменты времени: ~,(1о ..., ь)((7',(ь)) ... г',(ь,), (1249) когда все ~~) — Ьт/<<т„,р, (э=2, 3, ...).

Отсюда следует, что в формуле (47) при т((т„,р остается лишь один существенный член: ()=Л() (12.50) При высоком уровне Ь, когда средняя длительность выброса много меньшета,р, формула (50) дает удовлетворительное решение задачи, так как при этом она правильно передает ход функции к)(т) для часто встречающихся выбросов. Область т-т„.р, где она неверна, соответствует редко выпадающим длинным выбросам. Согласно (40), (41) для получения распределения (50) следует вычислить интеграл о о леД (т) = ~ ~ те)2(Ь, х„, Ь, х,)хе!х,! б)х„т(х, (12.51) (х, = х (О), х, = х (т)).

В случае низкого илн среднего порогового уровня суп)ественго поведение плотности распределения и)(т) при дЛительностях т тчер. для исследования этой области приходится вычислять более высо- 314 кие члены в рвало>кенни (41) или (48), брать интегралы (40) большей кратности, что связано с техническими трудностями.

Эти трудности в какой-то мере могут быть обойдены специальным приемом, который заключается в том, что высшие функции копреляции 85(гь ".. 15) выражаются через низшие. Прн этом предполагается, что лорреляцни высших гсрядков характеризуются тем же временем корреляции, что и корреляции низших порядков. Так, все функции корреляции можно выразить через )>(1), 85(1ь 15]. При этом реальная система случайных точек будет заменена на систему того типа, который был рассмотрен в разделе 4 $ 6.

Чтобы проиллюстрпровззь указанный метод, приведем решение задачи в приближении, соответствующем несближающимся точкам (пункт 2, раздел 4, 4 6). Воспользуемсн условием (49) малой вероятности выпадання точек в близкие моменты времени. Полагая г~=... =15, имеем (1'.52) у, (1„..., 1,) = 0 . (з = 2, 3,,). Эти равенства позноляют определить 555 (1„..., 1,Ч Положич 1, = = ... = 15; лг — — ... л в формуле (б,б) н, учитывая (52), получим Ч 1 Л'.Л вЂ” )У5(1о ..., 1г)л,з — 1п(1+1г (1г)л,) (12,53) 5-1 Разлагая логарифм в рвд ~ч ( — 1) 1и (1 + угхг) = „~~ угл 5 5-5 и приравниаая в (53) члены одинакового порядка по ль находим а.(1ь ", 1) = ( — 1)5-'.(З-1)]У'(1,). (1254) Если в формуле (6.6) брать раз тичные, но близкие моменты ВРЕМЕНИ 1ь 15, ...

(~ 1; — 15) << ткев] И РаЗЛИЧИЫЕ 55 И ПО-ПРЕжиЕМУ в силУ (49) пРенебРегать члейаьпг с Уь У:„..., то аналопгчным образом будем иметь л5(11 15) ( 1) (з 1) Л (1г) 55 (15) (все ]1, — 1 ( « т„ер], (г = 2, 3, ...) (12.55 Эти равенства хоро~по выполняются при жесткой корреляции. Если величину корреляции описывать коэффициентом корреляции )с (1ь 15), то при совпадающих моментах времени 1, = ... = 1, когда корреляция полная и когда )г обращается в единицу, равенства (51) выполнЯютсЯ точно. ПРи ~1; — 1 ) < т„,р, когда )1(гь 1) приблимсевно равняется единице, равенстйа (55) справедливы прйбзиженно. При увеличении интервалов до порядка т„,ю корреляции, которые имеют место лгзи~ь на интервалах 1г — 11 — т„св начинают исчезать.

Соответственно этому функции н5(1„..., 1,], описываюпгне эти коРРелЯции, как и фУнкциЯ 55'(гь 1;), У.меньшаютса. Если ХОТЯ бЫ ОДНа ИЗ РаЗНОСтЕй 11 — 1 бУДЕт МНОГО бОЛЬШЕ т„ш И ЛЛЯ 315 А'з(т~ ° . тз) =( — 1)' '(З вЂ” 1)1Л(т~) ° 7)(тт) Х Х (77(т~ гз) Р(то т )) . (12.56) Если коэффициент корррляции плавно меняется и удовлетворяет условиям Р (ть 6) = 1; (12,57) ~()7(т,, тт)(лг,- „.р, (12,58) то функции корреляции (56) удовлетворяют равенствам (51), (55) и исчезают, как это требуется, котла котя бы одна разность — ту] » т„,р. Символ ( ... )з, как и на стр.

23, обозначает операцию симметризации, введенную для того, чтобы л (тн, , тт) удоилетио. ряла необходимому условию симметрии, Положив э '2 в (56), будем иметь й' (7 «) = — 7)(т)Л(тз) 77(т 1]. (12,59) Это равенство примем за определения коэффициента иорреляцнн )7(ть тэ). 1огда другие равенства (56) при з>2 уже будут прнблнженнымп. Используя (6.7), запишем (59) в форме 7,(ть тз) )7((,, т,)=1 — (,)' .",), (12.60) Легко проверить, что условие (57) удовлетворяется в силу (521, условие (58) являетсч определением времени корреляции, условие плавности обеспечивается плавностью флюктуацнй х(1].

1(ля дальнейшего, вместо приближенного соотношения (58), удобно положить (ип ~ 77(ть тт) гттт= ткьр 6- 5 (12.61) Чтобы найти распределение ге(т], остается подставить (56) в (48) или зоспользоватьсн фермулой (6.65], Это дает Ш (т) дт = Е ЗЫ] (12.62) с ~ ~~ — (ль, ол(о у., (т) дт, (12.63) ~)7(т, р)у,«)дт э где Я)=— 316 нее функция ]т(тп ту] станет приближенно равна нулю, то и функция корреляции яз(гы ..., т,) обратится в нуль. Отсюда ясно, что функции корреляции целесообразно аппроксимировать выражениелн содержащим коэффициент корреляции 77. Это может быть сделано, например, по фориуле Приведенным выражением можно пользоваться как при малых, так и при больших значениях т.

Если т « скор то в (63) можно полагать Й = 1. Тогда выражение 1п(1 — ) 7()и(Г) !) )((гФ' можно вынести из под знака интеграла и получить ш (т) к(т = 1 — ~ Л (Г) Н, о (12.64) что аквизалентно равенству (50). В противоположном случае, когда т >> т„ор, формула (63) также сильно упрощается, 7(ля значеняй б далеких как от начала, так и от конца Г >> гкор г 1>> ткор имеем в силу (42) и (6!) ~)7(т И)Л (Л) "И - ) Ь'(т И) лег(И = лэхкер. о о Поэтому формулы (62), (63) дают ю(т) от = сопз1е "к'Р 'каР = сопзг(1 — лэткор) 'ков. (1265) шн элке Прн промежуточных значениях т - тк,р имеет место постепенный переход от зависимости (64) к (65). Лля практического вычислении коэффициента корреляции согласно (40), (60) требуется брать тройной интеграл от плотности распределения шк(ха, хе, хь хь хь х,).

Беной некоторого уменьшения точности этого можно избежать, заменив в (60) функцию (к(б Гк) на предельную функцию (43). Тогда Р(й Гк) = 77(ег — (з) = 0 о = 1 — —, ) ) шк(Ь, х,, Ь, х,) х,хазах.,г(х„ и,' н вычисленнр функций й(т) и Я(т) будет задачей одинаковой сте- пени трудносзи. 317 в) Согласно вышеизложенному, хотя вычисление точной функции распределения выбросов по длительности сопряжено с болыпими трудностями, можно пользоваться приближенными формулами, справедливыми при высоких пороговых уровнях Ь » о. Этн формулы имеют различную степень сложности и теряют свою значимость 11ри Понижении уровня с различной быстротой, ЧтобЫ проиллюстрировать, насколько правильны теоретические формулы при не слишком больших отношениях Ь/и, проведем сравнение с экспериментальными данными для некоторых частных случаев, и(~/ '4 0,4 Х атас Рис.