Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 36

ДЛИТЕЛЬНОСТЬ ВЫБРОСОВ СЛУЧАННЫХ ПРОЦЕССОВ МАРКОВА Для многих задач знания среднего числа выбросов оказывается недостаточным ввиду того, что система, подлежащая исследованию, подчас может реагировать 279 лишь на некоторые выбросы, удовлетворяющие определенным требованиям. В первую очередь, здесь следует указать требование, предъявляемое к длительности выброса. Пусть имеется некоторая необходимая минимальная длительность выброса т, причем выбросы с меньшей длительностью оказываются пропущенными, Тогда, очевидно, представляет интерес не общее среднее число выбросов и, (рассчитанное на единицу времени), а среднее число п(т) тех выбросов, длительность которых превосходит т. Если полное число выбросов конечно и известно, то желательно знать плотность распределения выбросов по длительности и(Т).

Число в(т) тогда выразится простой формулой п(т)=и, ') та(Т)гТТ (а,.=и(0)). (11.1) Для процессов Маркова полное число выбросов бесконечно вследствие неограниченно большого числа бесконечно коротких выбросов. Нормированной плотности распределения ш(Т) для них также не существует. Однако число выбросов п(т) есть вполне определенная и конечная величина. Подсчетом этого числа мы займемся в настоящем параграфе.

Реальный гладкий случайный процесс, близкий к марковскому процессу, но отличающийся от него дополнительным сглаживанием с малой постоянной времени т„„, имеет, как будет отмечено в равд. 5 этого параграфа, почти то же самое количество выбросов с длительностью Т))т„„, что и процесс Маркова, Поэтому результаты, излагаемые здесь, представляют интерес не только для самих процессов Маркова, но и для реальных гладких процессов, близких к ним. 1.

Число выбросов марковского процесса с длительностью, превышающей фиксированную величину Как отмечалось ранее, процесс Маркова с одной переменной может быть описан уравнением (11.2) х=Т(х)+8, 280 где $(!) — дельта-коррелированная функция с нулевым средним значением (1) =О, (11,) =Кй«). (11.З) Путем замены переменной к указанному виду можно преобразовать более общее уравнение (4.172).

Таким образбм, рассматривая уравнение (2), мы тем самым не ограничиваем общности. Рис. 11.1. Начало а конец выброса. Флюктуационному уравнению (2) уравнение Фоккера — Планка д К две — — (Х(~) !+ —, д соответствует (11 4) (11.5) Ввиду того, что в каждом конкретном случае (для каждой фотографии случайного процесса) может прои- 2В! определяющее эволюцию плотности распределения ш(!) во времени. Нашей задачей является вычисление средней плотности выбросов, длительность которых превы1пает фиксированную величину т, Задаваясь небольшим интервалом !а~(Г(!а+И (М«), рассмотрим среднее число Ла выбросов, начинающихся в течение этого интервала и кончающихся при !) (а+т (рис.

11.1) В дальнейшем для простоты записи мы будем полагать |в=О. Очевидно, что после вычисления дап искомую среднюю плотность выбросов можно получить предельным переходом и(т) = 1!ш —,. м-о ~~ войти не более одного описанного ранее выброса, среднее число Лп совпадает с вероятностью его появления АР. Появление выброса, начинающегося на интервале [О, Л4) и кончающегося при 1)т, означает, что траектория в течение времени 0<1<И хотя бы один раз достигает заданного уровня х=Ь (пересекает его), а на интервале (М, т] лежит выше его: х (Ь) ) Ь при Ы < 1 < т.

(11,6) разделим все траектории процесса х(1) на два класса, к первому классу отнесем те траектории, которые на интервале (О, Л() ни разу не пересекают уровня Ь, располагаясь выше, К другому классу отнесем остальные траектории. Пусть все траектории в их совокупности описываются функцией распределения шо(х) =ш(х,О), удовлетворяющей уравнению (4). В частности, для стационарного процесса х(г) плотность ше(х) есть стационарное распределение (10.17). Плотность распределения ш,(х, 1), описывающая траектории первого класса, ни разу не коснувшиеся уровня Ь, должна удовлетворять тому же уравнению (4) с очевидным начальным и граничным условием тв, (х, 0) = та, (х) при х ) Ь, ча, (Ь, 8) = 0 при 0 < Ь< Иг.

(11.7) Траектории второго класса, остающиеся после удаления траекторий первого класса, описываются плотностью распределения ш,(х, () =ш,(х) — ш,(х, Ь), (11.8) для которой, в свою очередь, справедливо уравнение (4) тв2 = д У(х)таз! + 2 дхз (11.9) д К дгж, Пользуясь условиями (7), получаем для (8) нулевое начальное условие а~,(х, 0) =0 (х) Ь), (11.10) 282 а также граничное условие те, (Ь, Ь) =та„(Ь) при 0 < Ь < ЬЬ.

(11.11) Траектории второго класса, находящиеся при 1=-М поверх уровня Ь, очевидно, пересекли этот уровень хотя бы один раз. Поэтому доля тех траекторий, для которых выброс начался на интервале(0, Л() и не кончился к моменту 1=И, равна ) те,(х, дЬ) Ых. ь (11.12) Это есть также вероятность появления такого выброса. Чтобы найти вероятность того, что начавшийся выброс не кончится к моменту 1=т, нужно учесть убыль траекторий, коснувшихся хотя бы один раз уровня х = Ь при М<1<т. Для этого, как обычно, следует решить уравнение (4) с нулевым граничным условием тв„(Ь, Ь) = 0 (~ ) М). (11.13) В качестве начального условия, конечно, нужно взять таз(Ь, Ы) =тех(Ь, М).

(11.14) Решив последнюю задачу, можно найти вероятность того, что выброс начнется на интервале (О, М и не кончится к моменту 1=т: М ЛР=Ьп= ~ пъа(х, х)Ых. (11.15) а Ввиду того, что плотность ша, являюгцаяся решением задачи (9) — (11), непрерывно переходит в плотность ш,, изменяющуюся при 1>М в соответствии с (4), (13), (14), удобно их объединить, полагая те3 (х, Ь) = — тех (х, Ь) при Ь) Ы. (11.16) те, (Ь) при 0 < 8 < М, а(Ь Ь)= 0 Ь И В дальнейшем в соответствии с (5), (15) нам надо взять отношение ш к М и перейти к пределу Ж- О.

По- 283 После такого объединения Функция шз(х, 1) будет определяться уравнением (4) с начальным и граничным условиями те,(х, 0) = О, (11.17) этому целесообразно ввести в рассмотрение функцию о(х, 1), определенную соотношением те,(Ь) о(х, 4)=1!ш и-о (11.19) Используя (4), (17), (18), получаем для о(х, г) уравнение д (~() 1+2 д (11.20) о (Ь, 1) = 8 (~). (11.22) После того, как уравнение (20) с условиями (21), (22) будет решено, искомое число выбросов п(т) будет определяться формулой (.)=,(Ь) ~ (,.) Ь, 'о (11.23) вытекающей из (5), (15), (19). Решение указанного уравнения удобно проводить путем применения преобразования Карсена †Лапла. Из (20) по обычным правилам находим до о 2 д — 2р— — — — — (7'в) — — о = О, дхо К дх К (11.24) где чертой сверху обозначено изображение о(х, р)=р ) е о'о(х, (~И.

(11.25) о-о Граничное условие (22) теперь принимает вид Ф (Ь, р) =р. (11.26) Решение уравнения (24) содержит две произвольные постоянные интегрирования. Одна из иих определяется равенством (25), вторая может быть определена из условия исчезновения функции о(х, р) на бесконечности о(х, р) 0 при х оо, (йер > 0). (11.27) 284 с условиями о(х, 4)=0 при 1(0, (11.21) Полностью определив о в результате решения уравис. ния (24), можно вычислить п(т), Изображение этой функции п(р)=р~ е о'иЯЙЬ о (11.28) в силу (23) равно (р) =~о(Ь) ~ (х, р) У . о (11.29) Последнюю формулу можно преобразовать также к другому виду. Интегрируя вытекающее из (24) выражение 1 д ~К до — 1 Ф= — — ~' — — — ~Ф]~ р дх]2 а'х Последний член не играет особой роли, поскольку при переходе от изображения к оригиналу ему соответствует постоянная 1(Ь)оео(Ь).

Отыскание оригинала, соответствующего изображению Карсона — Лапласа (30), целесообразно проводить, используя таблицы формул операционного исчисления, например (1П]. Изложенный метод применим также для вычисления среднего числа интервалов между выбросами. Это число мы будем обозначать по(т) в отличие от п,(т) = п(т). Разница между двумя указанными случаями лишь в том, что теперь нужно брать моменты времени, когда х(1) ( Ь, вместо х(1) ) Ь. Эти случаи переходят друг в друга при замене х- — х, 2. Примеры П р и м ер 1.

В изложенной теории процесс х(1) не обязательно является стационарным. При нестационарном процессе функцич шо(х) зависит от времени (о, в остальном же все остается по-прежнему. Мы начнем рас1- 2ВВ и пользуясь исчезновением на бесконечности потока Кдо — —, а также равенством (26), будем иметь 2дх ' и(р) = — — тео(Ь) —," (Ь, р) +у(Ь) щ,(Ы. (11.30) сматривать именно нестацнонарный процесс, потому что простейший случай, соответствующий отсутствию регу- лярной силы 7'(х) = О, (11.31) ие имеет стационарного распределения, Уравнение (24) при этом имеет вид дир 2Л вЂ” — — о=О.

дхв А (11.32) Подставляя это выражение в (20) или (30), находим и (р) — ф г, тс, (о). (11.33) Если воспользоваться теперь формулой 2.1 справочника(П11, то будем иметь и ( ) = вс„((в) )// — „ а/ К (11.34) Таким образом, действительно, число выбросов с длительностью больше некоторой фиксированной величины т вполне конечно, в то время как общее число выбросов, получаемое путем перехода т- О, бесконечно велико, П р и м е р 2. Пусть теперь абсолютная величина координаты х ограничена значением с>К причем в пределах отрезка — с<х<с регулярная сила отсутствует. Это значит, что точка х(!) как бы свободно движется по «дну потенциального ящика».