Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 32

Это дает возможность уореднить правую часть уравнения (86) за период, полагая при этом В и ф постоянными, Такое усреднение дает ЯСх+ л !и х = а),И, (аВ (1)). (9.89) 245 Когда постоянная времени ЯС превосходит время изменения амплитуды В, т, е. когда (т„,р — время корреляции шума), применимо стохастическое рассмотрение и уравнение Фоккера- Планка. При этом в (89) флюктуационную составляющую Г (1) = 1„(аВ) — (1о (аВ)) (9.90) можно считать дельта-коррелированной (9.91) где К=) (К,) 1. (9.92) — коэффициент интенсивности процесса (90).

Целесообразно обозначить и = а1,й(1, (аВ)), (9.93) тогда уравнение (89) будет иметь точно такой же вид йСх+х1п х= и+ а(оИ, (9.94) что и в предыдущем разделе, и формулы (73), (77) — (81) будут применимы к данному случаю без всяких изменений. Для вычисления средних (1, (аВ)), (1, (аВ)1о (аВ,)), через которые выражаются параметры флюктуационного процесса (92), (93), удобно производить статистическое усреднение случайной функции ак сн аесоо о~ Э аров а ас аЕ соо и+в (е")= е 246 до того, как произведено усреднение по 1 за период. Так для гауссовых флюктуаций $(1) с нулевым средним значением и корреляционной функцией о%(т) = о'г(т) соз ывт имеем (е'" """) =ехр [аЕсоза,!+аЕсозм„(!+т) + + а«««[1+ г (т) соз ы,т]).

Усредняя по ! первое равенство, имеем (9.95) а зк а'а' (1«(аВ)) = — ') (е )~(! е 1„(аЕ). (9.96) (е"+'"') =е" ~~.", г«1'(аЕ) созйа те'чэ"' " «-о Остается произвести усреднение этого выражения по т. Согласно (8.136) это дает е" ' ~ «„1',(аЕ) 1«(а-'««г), «-о Следсеательно, (1, (аВ) 1, (аВ,)) = ес"е Х Р', ~~~ ««1' (аЕ) 1„(а' «г(~)) (9.97) «-о ( Г,)= е"' 1„'(аЕ) [! (а«э«г(т)) — 1] + + 2е'" ~ 1„'(аЕ) 1«(а«а«г (т)), (9.98) «=~ Для вычисления К остается подставить найденное выражение в (92). Чтобы взять интеграл по т, может оказаться целесообразным воспользоваться разложением функции Бесселя. Пусть коэффициент корреляции имеет вид г(т)=е 247 Усреднение второго равенства (95) по ! за период эквивалентно усреднению выражения (8.121) по случайной начальной фазе.

Полагая в (8.121), (8.135) !Я=Я, =а, имеем еа"-а'-' ~~~~~ ( " ) т 1 (9.99) При больших значениях а'а')) 1 удобно пользоваться асимптатическим представлением г= + + Иг= '(' +2 ' )+ з + яз ~2р ~л+1(з) (9.100) Полезно сравнить выражение (99) с формулой (84), относящейся к случаю медленно меняющихся входных флюктуаций. Для значений по=2 коэффициент интенсивности (84) равен К=2070/у, в то время как для квазнгармонических входных флюктуаций выражение (99) дает К е4 (4+2+0 59+0 11+003+ )— т 5.

Случай промежуточных времен корреляции Наибольшие трудности представляет тот случай, когда время корреляции входного шума $(() в уравнении Ч+ дс Ч= с ~(8 — '1) (9101) сравнимо с постоянной времени )гС фильтра. При этом не применимо ни квазистатическое рассмотрение, ни метод уравнения Фоккера — Планка в том виде, как он был изложен выше. Однако стохастические методы и уравнение Фоккера — Планка могут быть использованы и в этом случае, если рассматривать двумерный процесс Маркова. Пусть Ц1) -- нормальный процесс с нулевым средним значением и корреляционной функцией (Б ) = а'е ' ' ~.

(9.102) 248 тогда полезна замена переменной интегрирования = а'ззе "'. В частном случае Е= 0 согласно (98), (92) имеем йгн о Как известно, такой процесс является марковским и удовлетворяет дифференциальному уравнению где С (Г) — нормальная дельта-коррелированная функция: о= — — — то(о) — 1т — — )1+С (9.104) о 1 / 1 ЛС С ЛС и эквивалентное ей уравнение Фоккера — Планка д !1С + С до 11!1С С ! 1!дед ЙС) до ' д: (9.105) Отыскав при его помощи плотность распределения то(о, 1) или то (и, 1, оо.,',), мы могли бы, интегрируя по 1, 1„ найти Ь) = ) то (1 — ь 1) Ж; ю(ь ч,) =) оо(1 — ч,!; 1,— ч„(,)ЖЖ,.

К сожалению, полное решение указанного уравнения относится к числу трудных задач; поэтому мы ограничимся частными результатами. а) Рассмотрим тот случай, когда время корреляции в точности равно постоянной времени фильтра: 1 т — ~к (9.106) Уравнения (101), (103) в совокупности определяют двумерный процесс Маркова. Обозначив о=с — т1, вместо них можно расоматривать систему уравнений При этом для напряжения на диоде о будем иметь уравнение ЛС с Р(т)+~Я (9107) Оно не содержит $, и поэтому его можно решать самостоятельно.

Исследован процесс о(г), можно перейти к рассмотрению выходного напряжения, которое в силу (101) выражается через первый пд формуле ч(1) = — ) е Яс Р(о(г')) Ж', (9.108) так как 1 1 ч + — ч= — гч. кС С Его среднее стационарное значение равно (ч) =)х' (Р(о)), (9.109) которое имеет стационарное решение те(о) = ~ ехр — — „— —,, ) г"'(а) ~а .

(9.111) д Г Для отыскания (Р(о)) в (109) остается вычислить интегралы Г ей (гт(о))= ~ ) ехр — —,,— -к (9.112) а для определения выходной корреляционной функции достаточно знать (Р(~) Р(о,)). Уравнению (107) соответствует уравнение Фоккера— Планка и(в) = ~~, з,, (!о (- ггР(о)1та)+7. ~,, (9.110) Для линейно-ломанной характеристики диода 5о при о) О, 0 при о(0 указанные формулы приводят к результатам 5 аз 1Э 1+Ю (9.113) 11 Ж= У 2 а~1+(1+Ю) ) (9.114) ти„„= ) те(в) Ио= 1/ — —, (9.116) г 2 ЗГ' значительно превосходит вероятность открытого состоя- ния твотк ) т (~) ~~~ о = — ) ехр — —,) Р(а) аЪ оо, (9.117) Г л Г о о 251 и, следовательно, в силу (109) ЯЯа (ч) = ь' —" + + ° + .

(9.115) При другом виде характеристики Р(о) соответствующие выражения будут другими. В дальнейшем мы не будем точно конкретизировать функцию Г(о), но будем предполагать, что она удовлетворяет следующим условиям: во-первых, обращается в нуль при о(О и, во-вторых, быстро возрастает при о>0, а именно, гораздо быстрее, чем оЯ. Последнее условие выполняется в большинстве практических случаев, когда диод в открытом состоянии имеет малое внутреннее сопротивление Я; (( тс и дает большие токи, в результате чего коэффициенты передачи близки к единице.

При указанном условии вероятность того, что диод находится в запертом состоянии о Неравенство же Лг=а ~/— (9.119) При вычислении интеграла усреднения (112) можно д2 пренебречь в экспоненте членом — по сравнению 2 с Й ) Р(г) Ыз н получить (9.120) зl 2 (т~) = у — а. Переходя к вычислению корреляционной функции, зафиксируем начальное положение о(0) =оз изображавшей точки. Пусть оз(О; из (107) имеем е+",о= — с(г), (9.121) поскольку в области отрицательных значений о функция Р(о) не сказывается. На основе последнего уравнения находим закон смещения изображающей точки и флюктуационный разброс: (з)= — ю„е " Ве = а' (1 — е ~") (9.122) Позтому о(1) будет описываться плотностью вероятно- сти , (ю 1~о) 1 1 Х т2 а )~1 е — еи (9.123) 252 „„((та„, (9.11о) означает, что детектор ббльшую часть времени находится в закрытом, запертом состоянии.

Из последних соотношений видно, что ы„„=! и которая является решением уравнения Фоккера — Планка та=- д(иаи) 2 д'ы ди ' диа + 22 (9.124) что дает граничное условие — (0) — О. (9.125) Функция (123) этому условию не удовлетворяет. Решение уравнения (!24), удовлетворяющее ему, имеет вид 72яа т'1 Е 211 Х ~ехр[ — ааа 21 ~+ + ехр[ — ~,, ' ... ф, (э <О, о,(0), (9,126) 1 — е При этом в начале координат имеем та(0, ~~оа) =,, Х 1'йеа !' ! Š— 211 (9.12?) В область о>0 функция продолжается непрерывным образом. В этой области распределение практически не будет отличаться от стационарного 2е(в, !~о,) = —,, Х ф' 2г.

а )/! Š— 211 253 Когда изображающая точка будет достигать положительных значений о>0, в игру вступит функция г(о), которая будет отражать ее снова в область отрицательных значений. В области о>0 останется лишь небольшое количество вероятности ш„„((!. Поэтому можно считать поток вероятности через границу отсутствующим: дю —,ото — тае — — 0 при ~ — О, которое имеет то же самое значение в начале координат, что и (126). Если начальную точку приближать к границе оа — О, то функция (!2б), (128) перейдет в ез ехр~ — —,, при ~(0, 2аа ! — е зп) (9.129) ехр — —., — —, ) Р(я) Ж при э ) О. 0 Когда начальное значение ос лежит в области положительных значений о (оа)0), в результате влияния функции г'(о) изображающая точка быстро выталкивается в область о(0.

После этого распределение ~е(о~ее) приближается к найденному распределеняю (!29). Существенное различие между ними имеется лишь в течение времени Г--(у1сг"']-'=й;С, которое вследствие принятого ранее предположения пренебрежимо мало по сравнению с '/,=РС. Зная одномерное распределение (111) и вероятность перехода те(о, ((в,), можно записать двумерную плотность вероятности те(о, о,)=те(о) и (о„к~и) и второй момент Подставляя сюда (129) в качестве то(о„-.)з,) приходим к результату (~(н)~(~ )) = —, — Х М о Г о„-, х ) о<,)„р — —,,'., — — "„(по)о) = о о о ) ' — оп, (т ) 0). (9.131) Вследствие (119), (120) зто дает й,()=(~( )Р(.,))-(Р( )) = (9.132) При малых т(Р;С последнее выражение несправедливо.

Для т=О может быть использован одномерный закон распределения (111), который позволяет получить Ар (О) = ПР(е) = У 2 1 Х х) .р — —,", )+ 1 )о . рло! о о Для определения спектральной плотности 5(Г(о)— — (Р),оо] на частотах в — у и меньше можно вычислять Фурье-преобразование от выражения (132). Область малых значений т, где последнее несправедливо, существенно будет сказываться лишь при высоких частотах о-1Я;С. Преобразование Фурье от (131) найдем при помощи очевидного соотношения = 2йе ) е [ - — 1) ой, (р=1те) о 2оо и формулы (б.9) справочника (ИЦ, которая дает — рт р'1 — о он е о р! = — ) е ', =- — В! ~, — ). (9.134) 21,) )/1 о — ~ 21 121 ' 2 /' о Сопоставляя последние равенства, имеем ) е "' ~, — 1~ !( = = — йе (В 1 2, 2 ) — —,.