И.Е. Иродов - Основные законы электромагнетизма, страница 8

40 Более того, для решения макроскопических задач такое поле и вовсе не нужно. Для многих целей достаточно более простое и несравненно более грубое описание, которым мы и будем пользоваться в дальнейшем. Под электрическим полем Е в веществе — его называют м а к р о п о л е м — мы будем понимать пространственно усредненное микрополе (после пространственного усреднения временное усреднение уже не требуется). Зто усреднение проводится по так называемому ф и з и ч е ски бесконечно малому объему — объему, содержащему большое число атомов, но имеющему раз. меры во много раз меньше, чем те расстояния, на которых макрополе меняется заметно. Усреднение по таким объемам сглаживает все нерегулярные и быстро меняющиеся вариации микрополя на расстояниях порядка атомных, но сохраняет плавные изменения макрополя иа макроскопических расстояниях.

Итак, поле в веществе Е = Е„„, = (Е,ч,). (2л) Влияние вещества на поле. При внесении любого вещества в электрическое поле в веществе происходит смешение положительных и отрицательных зарядов (ядер и электронов). что в свою очередь прнвол,ит к частичному разделению этих зарядов. В тех или иных местах вещества появляются нескомпенсированные заряды различного знака. Это явление называют э л е к т р остатической индукцией, а появившиеся в результате разделения заряды — н н д у ц и р о в а иными зарядами.

Индуцированные заряды создают дополнительное электрическое поле, которое вместе с исходным (внешним) электрическим полем образует результирующее поле. Зная внешнее поле и распределение индуцированных зарядов, можно при нахождении результирующего поля уже не обращать внимание на наличие самого вещества — его роль уже учтена с помощью индуцированных зарядов. Таким образом, результирующее поле при наличии вещества определяется просто как суперпозиция внешнего поля и поля индуцированиых зарядов. Однако во многих случаях дело усложняется тем, что мы заранее не знаем, как распределяются в пространстве все эти заряды— задача оказывается далеко не такой простой, как могло бы показаться вначале.

Как мы увидим далее, распределение индуцированных зарядов в решающей степени за- висит от свойств самого вещества — от его физической природы и формы тел. С этими вопросами нам и предстоит ознакомиться более подробно. й 2,2, ПОЛЕ ВНУТРИ И СНАРУЖИ ПРОВОДНИКА Внутри проводника Е = О. Поместим металлический проводник во внешнее электростатическое поле или сообщим ему какой-нибудь заряд.

В обоих случаях на все заряды проводника будет действовать электрическое поле, в результате чего все отрицательные заряды (электроны) сместятся против поля. Такое перемещение зарядов (ток) будет продолжаться до тех пор (практически это происходит в течение малой доли секунды), пока не установится определенное распределение зарядов, при котором электрическое поле во всех точках внутри проводника обратится в нуль. Таким образом, в статическом случае электрическое поле внутри проводника отсутствует(Е=О). Далее, поскольку в проводнике всюду Е = О, то плотность избыточных (нескомпенсированных) зарядов внутри проводника также всюду равна нулю (р = О). Это легко понять с помощью теоремы Гаусса. Действительно, так как внутри проводника Е = О, то и поток вектора Е сквозь любую замкнутую поверхность внутри проводника также равен нулю.

А это и значит, что внутри проводника избыточных зарядов нет. Избыточные заряды появляются лишь на поверхности проводника с некоторой плотностью о, вообще говоря, различной в разных точках его поверхности, Заметим, что избыточный поверхностный заряд находится в очень тонком поверхностном слое (его толщина около одного- двух межатомных расстояний). Отсутствие поля внутри проводника означает согласно (1.3!), что потенциал Ч, в проводнике одинаков во всех его точках, т. е. любой проводник в электростатическом поле представляет собой э к в и п о т е н ц и а л ьн у ю о б л а с т ь и его поверхность является э к в и- потенциальной. Из того факта, что поверхность проводника эквипотенциальна, следует, что непосредственно у этой по.

верхности поле Е направлено по нормали к ней в каждой точке. Если бы это было не так, то под действием касательной составляющей Е заряды пришли бы в движение по поверхности проводника, т. е. равновесие зарядов было бы невозможным. Я2 Пример. Найти потенциал незаряженного нроеодясцего шара, на расстоянии г от центра которого раслоложен точечный заряд и (рис.

2.1). Потенциал ст всех точек шара одинаков. Раз так, вычислим его и центре шара О, ибо только для этой точки расчет оказывается наиболее простым: 1 д 'р= — — + ~' 4иео где первое слагаемое — это потенциал от заряда о, а второе— потенциал от зарядов, нндуцированных на поверхности шара. Но так как все нндуцнроваииые заряды находятся на одном н том же расстоянии а от точки О н суммарный иидуцированный заряд равен нулю, то ~р' = О. Таким образом, в данном случае потенциал шара будет определяться только первым слагаемым в (! ) . На рис. 2.2 изображено поле и распределение зарядов для системы, состоящей из двух проводящих шаров, один из которых (левый) заряжен.

Вследствие электрической Рис. 2.2 Рис. 2.1 индукции на поверхности правого незаряженного шара появились заряды противоположного знака. Поле этих зарядов в свою очередь вызовет некоторое перераспределение зарядов на поверхности левого шара — их распределение по поверхности станет неравномерным. Сплошными линиями на рисунке показаны линии вектора Е, пунктирными — пересечения эквипотенциальных поверхностей с плоскостью рисунка. По мере удаления от этой системы эквипотенциальные поверхности становятся все более близкими к сферическим, а линии вектора Е приближаются к радиальным, и само поле становится все более близким к полю точечного заряда о — полному заряду данной системы. 43 системы в месте нахождения заряда аб5.

Сразу же заметим, что Е, не равно напряженности Е поля вблизи данного элемента поверхности проводника, однако между ними имеется простая связь. Найдем ее, т. е. выразим Е, через Е. Е=2Ец Пусть Е, — напряженность и поля, создаваемого зарядом на плошадке /х5 в точках, очень близких к этой площадке— здесь она ведет себя как бесконечная равномерно заряженная плоскость. Тогда согласно (1.10) Е,= а/2е . Рез льти ю ее поле как Ео= Е/2 и уравнение (2,3) примет вид ЛГ = '/еаЛ5 ° Е. (2.5) Разделив обе части этого уравнения на Л5, получим выражение для силы, действующей на единицу поверхности проводника: (2.4) Г„„= '/еаЕ.

(2.6) Это выражение можно переписать и в другой форме, ибо входящие в него величины а и Е являются взаимно связанными. Действительно согласно (2.2) Е„= а/е, или Е = (а/ее) п, где п — внешняя нормаль к элементу по- верхности в данной точке проводника. Поэтому ееб' Г = —,п= — и, 2 ее 2 (2.7) где учтено, что а = е,Е„и Е'„= Е'. Величину Г„назы- вают поверхностной плотностью сил.

Не- Е=й У РУ пт внутри, так и вне проводника (вблизи площадки Л5) являетРис. 2Л ся суперпозицией полей Е, и Е,. По разные стороны площадки Л5 поле Е, практически одинаково, поле же Е, имеет противоположные направления (рис, 2.4, где для определенности взято а) 0).

Из условия Е = 0 в проводнике следует, что Е„= Е,, тогда снаружи проводника у его поверхности Е = Ее+ Е,= 2Е,. Итак, зависимо от знака о, а значит, и направления Е,сила Г„ всегда направлена, как видно из (2.7), наружу проводника, стремясь его растянуть, Пример. Найти выражение для электрической силы, действуюи4ей в вакууме на проводник в целом, полагая, что известна напряженность Е поля во всех точках у поверхности проводника. Умножив (2.7) на 65, получим выражение для силы йр, действующей на элемент поверхности й5: аг = /геена где д5= пд5.

Результирующая сила, действующая на весь проводник, определяется интегрированием этого уравнения по всей поверхности проводника: 4 ЗЛ. СВОЙСТВА ЗАМКНУТОЙ ПРОВОДЯЩЕЙ ОБОЛОЧКИ Мы выяснили, что в состоянии равновесия избыточных зарядов внутри проводника нет — вещество внутри проводника электрически нейтрально, А поэтому удаление вещества из некоторого объема внутри проводника (создание замкнутой полости) поля нигде не изменит, т. е.

никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Это значит, что избыточный заряд распределяется на проводнике с полостью так же, как н на сплошном — по его наружной поверхности. Таким образом, если в полости нет электрических зарядов, электрическое поле в ней равно нулю, Внешние заряды, в частности заряды на наружной поверхности проводника, не создают в полости внутри проводника никакого электрического поля. Именно на этом основана эл е к трос т а т и ч ес к а я з а шит а — экранирование тел, например измерительных приборов, от влияния внешних электростатических полей. Практически сплошной проводник-оболочка может быть заменен достаточно густой металлической сеткой. Доказать отсутствие электрического поля в пустой полости можно и иначе.