И.Е. Иродов - Основные законы электромагнетизма, страница 6

Видно, что пале Е является в данном случае однородным. Получим етце одну полезную формулу. В соотношении (1.24) запишем правую часть как Е д( = Е, д(, где Ж= = !о1~ — элементарный путь; Е, — проекция вектора Е на перемещение д(. Отсюда Эквипотенциальные поверхности. Введем понятие э к в и потенциальной п о верх ноет и — поверхности, во всех точках которой потенциал гр имеет одно и то же значение. Убедимся в том, что вектор Е направлен в каждой точке по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения потенциала гр.

В самом деле, из формулы (1.32) следует, что проекция вектора Е на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. А это значит, что вектор Е нормален к данной поверхности, Далее, возьмем перемещение Л по нормали к поверхности в сторону уменьшения гр, тогда дгр(0 и согласно (!.32) Е, ) О, т. е. вектор Е направлен в сторону уменьшения гр, или в сторону, противоположную вектору зги. Эквипотенциальные поверхности наиболее целесообразно проводить так, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была бы одинаковой, Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно наглядно судить о значении напряженности поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще (ккруче потенциальный рельеф»), там напряженность поля больше.

Далее, ввиду того, что вектор Е всюду нормален к эквипотенциальной поверхности, линии вектора Е ортогональны этим поверхностям. На рис. 1.13 показана двухмерная картина электрического поля: пунктиром — эквипотенцналн, сплошными линиями — линии вектора И. Такое изображение придает болшпую наглядность. Сразу же видно, в какую сторону направлен 1 вектор Е, где напряженность больше, где меньше, где больше крутизна потенциального рельефа. С понашью таких картин можно полую' нить и качественные ответы на ряд - ф вопросов: куда начнет двигаться заряд при помещении его в ту или иную точку, где больше градиент потенциала (по модулю), в какой точке поля на заряд будет действо- вать большая сила и др. О преимуществах потенциала.

Ранее было отмечено, что электростатическое поле исчерпывающим образом характеризуется векторной функцией Е (г). Какая же польза от введения потенциала? Существует несколько весомых причин, убедительно свидетельствующих о том, что потенциал — понятие действительно весьма полезное, 28 и не случайно, что этим понятием широко пользуются не только в физике, но н в технике. !.

Зная потенциал ьь(т), можно предельно просто вычислить работу сил поля при перемещении точечного заряда д' из точки ! в точку 2: Ам = д'(~Р, — Рт), (!.33) где ьз, и у, — потенциалы в точках ! и 2. Значит, искомая работа равна у б ы л и потенциальной энергии заряда д' в поле при перемещении его из точки ! в точку 2. Расчет работы сил поля по формуле (!.33) оказывается не только проще, но в некоторых случаях и единственно возможным. Пример. Заряд д распределен по тонкому кольцу радиусом а. Найти работу сил поля при перемещении точечного заряди ц' из центра кольца ни бесконечность.

Так как неизвестно, как распределен заряд д по кольцу, то ничего нельзя сказать о напряженности Е поля этого зарядя. й это значит, что непосредственно вычислить работу как интеграл ~ д' Е д! здесь непросто. С помощью же потенциала эта задача решается элементарно. В самом деле, так как все элементы кольца находятся на одном и том же расстоянии и от центра кольца, то потенциал в этой точке вь = д/4пеьа. А потенциал на бесконечности ц = О. Следовательно, работа А = = ц'трь — — д'д/4пеои. 2. Во многих случаях оказывается, что для нахождения напряженности Е электрического поля легче сначала подсчитать потенциал тр и затем взять градиент от него, нежели вычислять Е непосредственно. Это весьма существенное преимушество потенциала. Действительно, для вычисления тр нужно взять од и н интеграл, а для вычисления Š— т р и (ведь это вектор).

Кроме того, обычно интегралы для определения ьь проще, чем для Е„, Е„, Е,. Сразу же заметим, что это не касается сравнительно небольшого числа задач с достаточно хорошей симметрией. В этих случаях нахождение поля Е непосредственно или с помощью теоремы Гаусса часто оказывается значительно проще, $ К7. ЗЛЕКТРИЧЕСКИЯ ДИПОЛЬ Поле диполя. Электрический диполь — это система из двух одинаковых по модулю разноименных точечных зарядов + д и — д, находящихся на некотором 29 расстоянии 1 друг от друга.

Когда говорят о поле диполя, то предполагают сам диполь точечным, т. е. считают расстояния г от диполя до интересующих нас точек поля значительно больше 1. Поле диполя обладает осевой симметрией, поэтому картина поля в любой плоскости, проходящей через ось диполя, одна и та же и вектор Е лежит в этой плоскости. Найдем сначала потенциал поля диполя, а затем его напряженность. Согласно (!.25) потенциал поля диполя в точке Р (рис. !.(4, а) определяется как 1 г 4 д! 1 Ч(г — г,) ч 4лее (, г-, г / 4лез Так как г >) 1, то, как видно из рис. !.(4, а, г = 1 сов 6 и г 4г = г', где г — расстояние от точки Р до диполя (он точечный!). С учетом этого 1 рсоза Ч' = 4лез гз (1.34) где р=д1 — электрический момент ди пол я.

Этой величине сопоставляют вектор, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному: Р = 4), (!.35) где д ) О и ! — вектор, направленный в ту же сторону, что и р. Из формулы (!.34) видно, что поле диполя зависит от его электрического момента р. Как мы увидим далее, и поведение диполя во внешнем поле также зависит от р. Следовательно, р является важной характеристикой диполя. Следует также обратить внимание на то, что потенциал поля диполя убывает с расстоянием г быстрее, чем потенциал поля точечного заряда ( (/г' вместо (/г) .

Для нахождения поля диполя воспользуемся формулой (!.32), вычислив с помощью нее проекции вектора Е иа два взаимно перпендикулярных направления— вдольортове,ие (рис. !.(4,б): дя 1 2р созе ди ! р Млв Е, = — — = — —, Е~ = — — = — —, (1.36) дг 4лез гз ' гда 4лез гз Отсюда модуль вектора Е ~=Л зл= — ' (1.37) 4лез В частности, при О= О и О = и/2 мы получим выра- Рис. !.!4 жения для напряженности поля соответственно на оси диполя (е!) и перпендикулярно ей (е4): 1 2р ! р Е = — — Е 4иее гз ' е 4иео е" ' т. е. при одном и том же г напряженность Е! вдвое больше Е,.

Сила, действующая на диполь. Поместим диполь во внешнее неоднородное электрическое поле. Пусть Е+ и Š— напряженности внешнего поля в точках, где расположены положительный и отрицательный заряды дипо. ля. Тогда результирующая сила Г, действующая на диполь, равна (рис. !.!5, а): Г=де„— де =д!е„— е ). Разность Е4 — Š— это приращение ЬЕ вектора Е на отрезке, равном длине диполя !, в направлении вектора !. Вследствие малости этого отрезка можно записать ЛЕ дЕ ЛЕ= Š— Е = — != — !. д! После подстановки этого выражения в формулу для Г получим, что сила, действующая на диполь: Е::) Р=р —, дЕ д! ' (1.39) где р = д1 — электрический момент диполя.

Входящую в это выражение производную принято называть производной вектора по направлению. Знак частной производной подчеркивает, что эта производная берется по опре- 31 Г у е — --С== и Р !7 ~р р' ув— /Р Рис. !.!6 Рис. !.17 деленному направлению — направлению, совпадающему с вектором 1 или р. Простота формулы (!.39), к сожалению, обманчива: производная дЕ/д1 является довольно сложной математической операцией. Мы не будем останавливаться на этом более подробно, а обратим внимание на существо полученного результата.

Прежде всего отметим, что в однородном поле дЕ/д1= 0, поэтому и Г= О. Значит, сила действует на диполь, вообще говоря, только в неоднородном поле. Далее, направление вектора Г в общем случае не совпадает ни с вектором Е, ни с вектором р. Вектор Г совпадает по направлению лишь с элементарным приращением вектора Е, взятым в направлении вектора 1 или р (рис. 1.!5, б). На рис. ! !6 показаны направления силы Р, действующей на диполь в поле положительного точечного заряда д, при трех разных рас.

положениях диполн. Убедиться самостоятельно, что эта действительна так. Если нас интересует проекция силы Г на некоторое направление Х, то достаточно записать равенство 11,39) в проекциях на это направление, и мы получим дЕ„ г" =р — *, д! ' 11лв) где дЕ,/д! — производная соответствующей проекции вектора Е опять же по направлению вектора ! или р. Пусть диполь с моментом р расположен вдоль оси симметрии некоторого неоднородного поля Е.

Возьмем положительное направление оси Х, например, как показано на рис. 1.17. Так как в направлении вектора р при- ращение проекции Е, будет отрицательным, то Г, ( О, а значит, вектор Г направлен влево — в сторону, где напряженность поля больше. Если же вектор р на этом рисунке повернуть на 90' так, чтобы центр диполя совпадал с осью симметрии поля, то нетрудно сообразить, что в таком положении Г, = О. Момент сил, действующих на диполь. Рассмотрим, как ведет себя диполь во внешнем электрическом поле в своей системе центра масс — будет он поворачиваться или нет. Для этого мы должны найти момент внешних сил относительно центра масс диполя*. По определению момент сил Гт= дЕе и Г = — дЕ относительно центра масс С (рис.

1.!8) равен М = [ с+Ге] + [ г Г [ = [ г+, дЕ„[ — [ г, дЕ [, где гч и г — радиусы-векторы зарядов + д и — д относительно точки С. При достаточно малом расстоянии между зарядами диполя Е+ - Е и М = [г+ — г, дЕ~. Остается учесть, что г+ — г =! и 41 = р, тогда М = [рЕ). (1.41) Этот момент сил стремится повернуть диполь так, чтобы его электрический момент р установился по направлению г, Г, внешнего поля Е. Такое г положение диполя явля- и.

ется устойчивым. Ч Итак, в неоднородном ис. электрическом поле диполь будет вести себя следующим образом: под действием момента сил (1.41) диполь будет стремиться установиться по полю (р)) Е), а под действием результирующей силы (!.39) — переместится в направлении, где Е по модулю больше. Оба движения будут совершаться одновременно. Энергия диполя в поле. Мы знаем, что энергия точечного заряда д во внешнем поле равна )Г = астр, где тр— потенциал поля в точке нахождения заряда д. Диполь— это система из двух зарядов, поэтому его энергия во е Относительно центра масс, чтобы иснлючнть момент сил инер- ции.

2 — 20 33 внешнем поле йх=й+Г.с+4 и =4(9+ — 9 ), гДе 9 ь и сг — потенциал внешнего полЯ в точках Расположения зарядов + д и — д. С точностью до величины второго порядка малости дв — т = — 1, + — д! где дср/д! — производная потенциала по направлению вектора 1. Согласно (!.32) дср/д! = — Еь поэтому р +— — ер = — Е1= — Е!и (1.42) Из этой формулы следует, что минимальную энергию (В'„„„= — рЕ) диполь имеет в положении р)у Е (положение устойчивого равновесия). При отклонении из этого положения возникает момент внешних сил, возврашаюший диполь к положению равновесия.

Задачи ° !.1. Очень тонкий диск равномерно заряжен с поверхностной плотностью о) О. Найти напряженность Е электрического поля на оси этого диска в точке, иэ которой диск виден под телесным углом 4!. Р е ш е н и е. Из соображений симметрии ясно, что вектор Е иа оси диска должен совпадать с направлением этой оси (рис. 1.!9). Поэтому достаточно найти составляющую йЕ, в точке А от элемента заряда на площади Й5 и затем проинтегрировать полученное выражение по всей поверхности диска.