И.Е. Иродов - Основные законы электромагнетизма, страница 9

Возьмем замкнутую поверхность 5, которая охватывает полость и целиком находится в веществе проводника. Так как поле Е всюду в проводнике равно нулю, то и поток вектора Е через 5 тоже равен нулю. Отсюда согласно теореме Гаусса равен нулю и суммарный заряд внутри 5. Это, правда, не исключает ситуации, показанной на рис.

2.5, когда на поверхности самой полости имеются равные количества поло- жительного и отрицательного зарядов. Такое предположение, однако, запрещает другая теорема — теорема о циркуляции вектора Е. В самом деле, пусть контур Г пересекает полость по одной из линий вектора Е и замыкается в веществе проводника. Ясно, что линейный интеграл вектора Е вдоль этого контура не равен нулю, чего согласно теореме о циркуляции быть не может.

Теперь обратимся к случаю, когда полость не пустая, а в ней есть какой-то электрический заряд и (может быть и не один). Представим себе также, что все внешнее пространство заполнено проводящей средой. Поле в ней прн равновесии равно нулю, значит, среда электрически нейтральна и не содержит нигде избыточных зарядов. Рис.

2Д Рис. 2.6 Так как всюду в проводнике Е = О, то равным нулю будет и поток вектора Е сквозь замкнутую поверхность, окружающую полость. По теореме Гаусса это означает, что алгебраическая сумма зарядов внутри этой замкнутой поверхности также будет равна нулю. Таким образом, алгебраическая сумма индуцированных зарядов на поверхности полости равна по модулю и противоположна по знаку алгебраической сумме зарядов внутри этой полости. При равновесии заряды, нндуцированные иа поверхности полости, располагаются так, чтобы полностью скомпенсировать снаружи полости поле зарядов, находящихся внутри полости.

Поскольку проводящая среда внутри всюду электрически нейтральна, то она не оказывает никакого влияния на электрическое поле. Поэтому, если ее удалить, оставив только проводящую оболочку вокруг полости, от этого поле нигде не изменится и вне оболочки оно останется равным нулю. Таким образом, поле зарядов, окруженных проводящей оболочкой, и зарядов, индуцированных на поверхности полости (на внутренней поверхности оболочки), равно нулю во всем внешнем пространстве.

Мы приходим к следующему важному выводу: замкнутая проводящая оболочка разделяет все пространство на внутреннюю и внешнюю части, в электрическом отношении совершенно не зависящие друг от друга. Это надо понимать так: после любого перемещения зарядов внутри оболочки никаких изменений поля во внешнем пространстве не произойдет, а значит, распределение зарядов на внешней поверхности оболочки останется прежним.

То же относится и к полю внутри полости (если там есть заряды) и к распределению индуцированных на стенках полости зарядов — они также останутся неизменными в результате перемещения зарядов вне оболочки. Все сказанное справедливо, разумеется, только в рамках электростатики. Пример. Точечный заряд д находится внутри электрически нейтральной оболочки, наружной поверхностью которой является сфера (рнс. 2.6). Найти потенциал ч в точке Р, находящейся вне оболочки на расстоянии г от центра О наружной поверхности.

Поле в точке Р определяется только зарядами, индуцированными иа наружной поверхности оболочки — сфере, ибо, как было показано, поле точечного заряда д и зарядов, нндуиироваииых иа внутренней поверхности оболочки, равно всюду нулю вие полости. Далее, заряд на наружной оболочке вследствие ее симметрии распределяется равномерно, поэтому 1 д гр = 4печ г Частным случаем замкнутой проводящей оболочки является безграничная проводящая плоскость.

Все пространство с одной стороны такой плоскости в электрическом отношении независимо от пространства с другой стороны ее. Указанным свойством замкнутой проводящей оболочки мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. й 2.5. ОБЩАЯ ЗАДАЧА ЗЛЕКТРОСТАТИКИ. МЕТОД ИЗОБРАЖЕНИЙ Очень часто приходится встречаться с задачами, в которых распределение зарядов неизвестно, но заданы потенциалы проводников, их форма и относительгюе расположение.

И требуется определить потенциал р (г) 4В в любой точке поля между проводниками. Напомним, что, зная ~р(г), можно легко восстановить само ноле Е (г) и по значению Е непосредственно у поверхности проводников найти распределение поверхностных зарядов на них. Уравнения Пуассона и Лапласа. Найдем дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция гр — потенциал. Для этого подставим в левую часть (!.20) вместо Е его выражение через гр, т.

е. Е = — С' Ч. В результате получим общее дифференциальное уравнение для потенциала — у р а в и е н и е Г! у а с с о н а; (2.8) где ту ' — о п е р а т о р Л а п л а с а (л а п л а с и а и). В декартовых координатах он имеет вид гр г)г ср 2 ! )„ дхе ду' дзз т. е. представляет собой сиалярное произведение зу Хг (см (! )9) ) . Если между проводниками нет зарядов (р =- О), та уравнение (2.8) переходи г в более простое — у р а в и е и и е Л а и л а с а: (т73= 0. (2.9) Определение потенциала сводится к нахождению такой функции гр, которая во всем пространстве между проводниками удовлетворяет уравнениям (2.8) или (2.9), а на поверхностях самих проводников принимает заданные значения гв.

Ч, и т. д. В теории доказывается, что эта задача имеет единственное решение. Это утверждение называют т е о р е м о й е д и н с т в е н н о с т и. С физической точки зрения этот вывод довольно очевиден: если решение не одно, то будет не один потенциальный «рельеф», следовательно, в каждой точке поле Е, вообше говоря, не однозначно — мы пришли к физическому абсурду.

По теореме единственности можно также утверждать, что заряд на поверхности проводника в статическом случае распределяется тоже единственным образом. Действительно, между зарядами на проводнике и электрическим полем вблизи его поверхности имеется однозначная связь (2.2): о = е вЕ„. Отсюда сразу и следует, что единственность поля Е определяет и единственность распределения заряда на поверхности проводника. Решение уравнений (2.8) и (2.9) в обшем случае — задача сложная и кропотливая, Аналитические решения этих уравнений получены лишь для немногих частных случаев. Использование же теоремы единственности весьма облегчает решение ряда электростатических задач. Если решение задачи удовлетворяет уравнению Лапласа (или Пуассона) и граничным условиям, то можно утверждать, что оно является правильным и единственным, иаким бы способом (хотя бы путем дотации) мы ни нашли его.

49 Пример. 77окаватгь нто поле в пустел полости проводника отсутствует. Г(отенциал е в полости должен удовлетворять уравнению Лапласа (2,9) н на стенках полости принимать какое-то зив. ченне сре. Решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее этому условию, можно угадать сразу: Ч~ = <ре. Согласно теореме единственности других решений быть не может. Поэтому Е= — Хтр=о. Метод изображений. Это искусственный метод, позволяющий в ряде случаев (к сожалению, немногих) рассчитать электрическое поле достаточно просто.

Рассмотрим идею этого метода на самом простом примере, когда точечный заряд в находится около безграничной проводящей плоскости (рис. 2.7, а). е) Рес. 2.7 Идея метода заключается в том, что мы должны найти другую задачу, которая решается просто и решение которой или часть его может быть использовано. В нашем случае такой простой задачей является задача с двумя зарядами д и — д.

Поле этой системы известно (его зквипотенциали и линии вектора Е показаны иа рис. 2.7, б) . Совместим со средней эквипотенциальной поверхностью (ее потенциал р = 0) проводящую плоскость и уберем заряд — д. Согласно теореме единственности поле в верхнем полупростраистве останется прежним. Действительно, на проводящей плоскости и всюду в бесконечности ~е = О, точечный же заряд в можно рассматривать как предельный случай малого сферического проводника, радиус которого стремится к нулю, а потенциал — к бесконечности.

Таким образом, в верхнем полу- пространстве граничные условия для потенциала остались теми же, стало быть, тем жеЬсталось и поле в этой области (рис. 2.7, в) Заметим, что к этому выводу можно прийти, исходя и в) б) 1 нз свойств замкнутой проводящей оболочки (см. $2.4), поскольку оба полупространства, разделенные проводящей плоскостью, в электрическом отношении независимы друг от друга, удаление заряда — о никак не скажется на поле в верхнем полупространстве, оно останется прежним.

Итак, в рассматриваемом случае поле отлично от нуля только в верхнем полупространстве, и для вычисления этого поля достаточно ввести фиктивный заряд-изображение д' = — д, противоположный по знаку заряду д, поместив его по другую сторону проводящей плоскости на таком же расстоянии от нее, что и заряд д. Фиктивный заряд д' создает в верхнем полупространстве точно такое же поле, как и индуцированные заряды на плоскости. Именно это подразумевают, когда говорят, что фиктивный заряд заменяет собой «действие» всех индуцированных зарядов. Надо только иметь в виду, что «действие» фиктивного заряда распространяется лишь на то полупространство, в котором находится действительный заряд д. В другом полупространстве поле отсутствует, Резюмируя, можно сказать, что метод изображений по существу основан на подгонке потенциала под граничные условия: мы стараемся найти другую задачу (конфигурацию зарядов), у которой конфигурация поля в интересуюшей нас части пространства была бы той же, Если это удается сделать с 1 помощью достаточно простых конфигураций, то метод изображений оказывается ! весьма эффективным.

Рассмотрим еше один пример. 1 1 Пример. Точечный заряд о 1 на~одится между двумя прово- дяисими взаимно перпендикуР«. лярными полуплоскостями (рис. 2.8, а). Найти расположение точечных фиктивных зарядов, действие которых на заряд д будет эквивалентно действию всех индучирооанных зарядов на данных полуплоскостях. Нужно найти систему из точечных зарядов, у которой эквиаотенциальные поверхности с и = 0 совпадали бы с проводящими полуплоскостями. Одним и двумя фиктивными зарядами здесь не обойтись, таких зарядов должно быть три (рнс.