И.Е. Иродов - Основные законы электромагнетизма (1115516), страница 5
Текст из файла (страница 5)
$1.5. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА Е. ПОТЕНЦИАЛ $ Е г)1. ! (1.21) Этот интеграл берется по некоторой линии (пути), поэтому его называют л и н е й н ы м. Как мы сейчас покажем, из независимости линейного интеграла (!.21) от пути между двумя точками следует, что по произвольному замкнутому пути этот интеграл равен нулю. Интеграл (1.21) по замкнутому пути называют ц и рк ул я ц и е й вектора Е и обозначают $ Итак, мы утверждаем, что циркуляция вектора Е в любом электростатическом поле равна нулю, т. е.
'ьх г и = ьь. з(!.22) Это утверждение и называют т е о р е м о й о ц и ркул яц ни вектора Е. Теорема о циркуляции вектора Е. Из механики известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным, т. е. работа сил этого поля не зависит от пути, а зависит только от положения начальной и конечной точки. Именно таким свойством обладает электростатическое поле — поле, образованное системой неподвижных зарядов.
Если в качестве пробного заряда, переносимого из точки 1 заданного поля Е в точку 2, взять единичный п о л о ж и т е л ь н ы й заряд, то эле. ментарная работа сил поля на перемегцении с(1 равна Е д1, а вся работа снл поля на пути от точки 1 до точки 2 определяется как Для доказательства этой теоремы разобьем произвольный замкнутый путь на две части 1а2 и 2Ь1 (рис. 1.11). Так как линейный интеграл (1.21) — обозначим (а! его ~ — не зависит от пути между точками 1 и 2, то ~ = 12 12 (ь! (а! (2! (и = ~. С другой стороны, ясно, что 5 = — 5, где ~ — ин- 12 12 21 21 теграл по тому же участку Ь, но в обратном направлении. Поэтому (а! (Н (а! (М ~+$ =5-5 =О, 12 2! 12 12 что и требовалось доказать.
Поле, обладающее свойством !1.22), называют п от е н ц и а л ь н ы м. Значит, любое электростатическое поле является потенциальным. Теорема о циркуляции вектора В позволяет сделать ряд важных выводов, практически не прибегая к расчетам. Вот два примера. Пример 1. Линии электростатического поля Е не могут быть замкнутыми. В самом деле, если это не так и какая-то линия вектора Е замкнута, то взяв циркуляцию вектора Е вдоль этой линии, мы сразу же придем к противоречию с теоремой !1.22). Значит, действительно, в электростатическом поле замкнутых линий вектора Е не существует: линии начинаются на положительных зарядах и - - -а- --". (- удят в бесконечность).
-+ — -4— аа ау а * фаа. рис. 1.12? -.а- а а ! ! ь а ааааа. а а" ! Стрелки на контуре показывают направление обхода. При таком специальном выборе контура вклад в циркуляцию на вертикальных участках его равен нулю: здесь Е.) (11 и Е(11 = О; остаются два одинаковых по длине горизонтальных участка. Из рисунка сразу видно, что вклады в циркуляцию на этих участках противоположны по знаку, но не одинаковы по модулю !на верхнем участке больше, ибо линни гуще, а значит, 2Э Е больше).
Поэтому циркуляция оказывается отличной от нуля, что противоречит (1.22). Потенциал. До сих пор мы рассматривали описание электрического поля с помощью вектора Е. Существует, однако, и другой адекватный способ описания — с помощью потенциала гр (заметим сразу, что оба этн способа однозначно соответствуют друг другу). Как мы увидим, в~арой способ обладает рядом существенных преимуществ. Тот факт, что линейный интеграл (1.2!), представляющий собой работу сил поля прн перемещении единичного положительного заряда из точки ! в точку 2, не зависит от пути между этими точками, позволяет утверждать, что в электрическом поле существует некоторая скалярная функция координат г, у б ы л ь которой г 'Р~ Фь (1.23) где ~р, и ~ь, — значения функции ~р в точках ! и 2.
Так определенная величина ~р(г) называется п о т е н ц и ал о м и о л я. Из сопоставления выражения (1.23) с выражением для работы сил потенциального поля (которая равна убыли потенциальной энергии частицы в поле) можно сказать, что потенциал — это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля. Потенциалу какой-либо произвольной точки О поля можно условно приписать любое значение грь.
Тогда потенциалы всех других точек поля определяются согласно (1.23) однозначно. Если изменить ~рь на некоторую величину Л~, то на такую же величину изменятся н потенциалы во всех других точках поля. Таким образом, потенциал гр определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Значение этой постоянной не играет роли, так как все электрические явления зависят только от напряженности электрического поля.
Последняя же определяется, как мы увидим, не самим потенциалом в данной точке поля, а разностью потенциалов в соседних точках поля. Единицей потенциала является в ол ь т (В). Потенциал поля точечного заряда. Формула (1.23) содержит не только определение потенциала ~, но н способ нахождения этой функции.
Для этого достаточно вычислить интеграл ~ Е д( по любому пути между двумя где г, — расстояние от точечного заряда д, до интересующей нас точки поля. Здесь также произвольная постоянная опущена. Это полностью соответствует тому факту, что всякая реальная система зарядов ограничена в пространстве, поэтому ее потенциал на бесконечности можно принять равным нулю. Если заряды, образующие систему, распределены непрерывно, то, как обычно, мы считаем, что каждый элементарный объем д)г содержит «точечный» заряд р д)г, где р — объемная плотность заряда в месте нахождения объема дУ. С учетом этого формуле (1.26) можно придать иной вид: где интегрирование проводится нли по всему пространству, или по той его части, которая содержит заряды. Если заряды расположены только на поверхности 5, то ! голл (квв) 4в~о где а — поверхностная плотность заряда; Й5 — элемент поверхности 5.
Аналогичное выражение будет и в том случае, когда заряды распределены линейно. Итак, зная распределение зарядов (дискретное, непрерывное),мы можем в принципе найти потенциал поля любой системы. $ ьв. связь мвждх потвицидлом и виктором и Электрическое поле, как известно, полностью описывается векторной функцией Е (г). Зная ее, мы можем найти силу, действующую на интересуюший нас заряд в любой точке поля, вычислить работу сил поля при каком угодно перемещении заряда н др.
А что дает введение потенциала? Прежде всего, оказывается, зная потенциал гг(г) данного электрического поля, можно достаточно просто восстановить и само поле Е (г). Рассмотрим этот вопрос более подробно. Связь между ч~ и Е можно установить с помощью уравнения (!.24). Пусть перемещение д! параллельно оси Х, тогда д! = ! дх, где ! — орт оси Х; дх — приращение координаты х. В этом случае Ед! =Е(дх=Е,дх, где Е, — проекция вектора Е на орт 1 (а не на перемеще- ние д(!). Сопоставив последнее выражение с формулой (1.24), получим Е„= — д~р/дх, (1.29) где символ частной производной подчеркивает, что функцию ~р(х, у, х) надо дифференцировать только по х, считая у и х при этом постоянными.
Рассуждая аналогично, можно получить соответствующие выражения для проекций Е„и Е,. А определив Е„, Е„, Е,, легко найти и сам вектор Е: Е = — ( — 1+ — ! + — к). l де дт де (, дх ду дх )' (1.30) Величина, стоящая в скобках, есть не что иное, как градиент потенциала ~р(дгадср или ктср). Мы будем пользоваться вторым, более удобным обозначением и рассматривать формально ~тр как произведение символического вектора х7на скаляр ср.
Тогда уравнение (1.30) можно представить в более компактной форме: 1е=: т~~ (1.31) т. е. напряженность Е поля равна со знаком минус гра- диенту потенциала. Это и есть та формула, с помощью которой можно восстановить поле Е, зная функцию ~р (г). Е, = — д~р/д1, (1.32) т. е. проекция вектора Е на направление перемещения д1 равна со знаком минус производной потенциала по дан- ному направлению (это подчеркнуто символом частной производной).
Пример. Найти напряженность Е поля, потенциал которого имеет вид: 1) Ч~(х, у) = — аху, а — пос~оянная, 2) ф(т) = — ат, а — постоянный вектор, т — риднус-вектор интересующей нас точки поля. 1. Воспользовавшись формулой (1.30), получим Е = = а(у1+ х1). 2. Представим сначала функцию Ч~ как Ч~ = — а„х — а„у— — а,г, где а„, а„, а, — постоянные. После этого с помощью формулы (1.30) найдем Е= а„1+ а„)+ а,й = а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
