И.Е. Иродов - Основные законы электромагнетизма (1115516), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Следовательно, задача сводится к нахождению поля Е вблизи проводящей плоскости. Методом изображений получаем, что в точке Р (рис. 2.12), находящейся на расстоянии г от точки О, поле вблизи плоскости: Е = 2Е, сое а = 2 ч 4ле,л" х Значит, д! в=— 2л (!' + г') где знак минус показывает, что индупнрованный заряд противоположен по знаку точечному заряду ф ! 6 ! ! А -ее 6 Рнс. 2 |4 Рес. 2.|3 ° 2.5. Точечный заряд д находится на расстоянии ! от безграничной проводящей плоскости. Найти работу, котороую совериеит электрическая сила, действующая на заряд д при его медленная удалении на очень больиюе расстояние от плоскости. Р е ш е н и е. По определению работа этой силы при элементарном перемещении бх (рис.
2.13) 6А = Р,ах=в цт йх, 4яео (2х) где выражение для силы получено с помощью метода изображений. Проинтегрировав это уравнение по х от ( до со, найдем еь г й ет А= — — ~ —, 16пьд ) х' 16ньь1 3 а м е ч а н и е. Попытка решить эту задачу другим способом — через потенциал — приводит к неверному результату (он вдвое отличается от полученного нами). Это связано с тем, что соотношение А = 4(цц — цт) справедливо только для потевциального поля. В системе же отсчета, связанной с проводящей плоскостью, электрическое поле индуцированных зарядов не потенциально: перемещение заряда д приводит к изменению распределения индуцированных зарядов, и их поле оказывается зависящим от времени. ° 2.6.
Тонкое проводящее кольцо радиусом й, имеющее заряд д, расположено параллельно проводящей безграничной плоскости на рисстоянии ! от нее, Найти: 1) поверхностную плотность заряда в точке плоскости, расположенной симметрично относительно кольца; 2) потенциал электрического поля в центре кольца. Р е ш е н и е.
Легко догадаться, что в соответствии с методом изображений фиктивный заряд — д должен быть расположен на таком же кольце, но по другую сторону проводящей плоскости (рис. 2.14). Действительно, только в этом случае потенциал на средней плоскости между этими кольцами равен нулю, т. е. совпадает с потенциалом проводящей плоскости. Теперь воспользуемся известными нам формулами. 1. Для нахождении о в точке О необходимо согласно (2.2) найти напряженность Е поля в этой точке (рис. 2.14).
Выраже. ние для Е от одного кольца на оси было получено в примере 1 (см. с. 1!), В нашем случае это выражение надо удвоить. В результате 2я (1(т + 1г) 2. Потенциал в центре кольца равен алгебраической сумме потенциалов в этой точке, создаваемых зарядами у и — у: е Ф= — ~ —— ,я- — -) ° 2.7. Три разноименных точечных заряда расположены так, как показано на рис. 2.15, а, где АО — прямой угол, образованный двумя пррводящими полуплоскостями.
Модуль каждого заряда равен- ~у), расстояния между ними указаны на рисунке. Найти: 1) суммарный заряд, индуцированный на проводящих полуплоскостях; 2) силу,. действующую на заряд — д. 58 е у т — — — — — т-у 1 а/2 л ' 0 )е ) , а/2 -- — 4у в 1. Ответ на этот вопрос мы уже получили: — д 2. Сведя систему к четырем точечным зарядам, легко найти и искомую силу как (см.
рис. 2.!5, б) 4пт 2ат ° 2.8. Емкость параллельных проводов. Два длинных прямых провода с одинаковым радиусом сечения расположены в воздухе пара лелька друг другу. Расстояние между осями проводов в т( раз больше радиуса сечения каждого провода. Найти емкость проводов на единицу их длины при условии, чта т) )) !. Р е ш е н и е.
Зарядим мысленно оба провода одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами так, чтобы на единицу длины приходился заряд ).. Тогда, по определению, искомая емкость См = Л/(/, (1) и все дальнейшее сводится к нахождению разности потенциалов между проводами. Из рис. 2.16, иа котором показаны графики зависимостей потенциалов ~+ и гр от положительно и отрицательно заряженных проводов, нетрудно понять, что искомая разность потенциалов (/ = (Ь~р„(+ )Лгр ) = 2 (Ь~р !. (2) Напряженность электрического поля, создаваемого одним из проводов на расстоянии х от его оси, можно легко найти с помощью теоремы Гаусса: Е = й/2яеех. Тогда Ь вЂ” а 2 ягь а 59 Решение. Полу- г плоскости, образующие ут — — 4 угол АОВ, уходят в бесконечность, поэтому нх потенциал ~р = О.
Нетруд. но сообразить, что системой, у которой эквипотевциальные поверхности с гр = О совпадают с провов/ е) дящими полуплоскостями, является та, которая па- рис. 2.15 казана на рис. 2.15, б. Поэтому действие зарядов, индуцированных на проводящих полуплоскостях, эквивалентно действию фиктивного точечного заряда — д, помещенного в нижний левый угол пунктирного квадрата. где а — радиус сечения провода; Ь вЂ” расстояние между осями проводов. Из (1), (2) и (3) следует, что 5)п и, здесь учтено, что Ь » а. ° 2.9. Четыре одинаковые металлические пластины распо- ложены в воздухе на одинаковом расстоянии Ь друг от друга, причем наружные пластины соединены между собой проводни- 5 2 Рис 2.16 Рнс.
2.17 ком. Площадь каждой пластины 5. Пайти емкость этой системы (между точками 1 и 2, рис. 2ЛУ). Р е ш е н и е. Сообщим пластинам 1 и 2 соответственно заряды дь и — дь. Под действием возникшего между этими пластинами поля рассеяния (краевой эффект) произойдет перемещение заряда в замыкающем проводнике, после чего пластина А зарядится отрицательно, а пластина  — положительно. В пространстве между всеми пластинами возникает электрическое иоле и соответствующее распределение потенциала ~р (рис.
2.18). Заметим, что из симметрии системы следует, что потенциалы в ее середине, а также на наружных пластинах равны нулю. По определению емкость системы в данном случае с= е,115, (1) где (5 — разность потенцкалов между тачками ! к 2, ее н надо найти. Из рис. 2.18 видно, что разность потенциалов между средними пластинами, т. е. (5, вдвое больше разности потенциалов между крайней парой пластин (как слева, так и справа). Это же относится и к напряженности поля: Е = 2Е'. (2) А так как Е ся о, то мы можем утверждать, что в соответствии с (2) заряд уь на пластине 1 делится на две части: '/э де— на левой стороне пластины ! и '/з у — на правой стороне. Поэтому У = Ей оа/е, = 29 а/Зтс5, н емкость системы (между точками ! и 2) равна Зс„5 С = —.
28 а) й) Рпс. 2.!9 Рис. 2.!8 ° 2.10. Распределение индуцированного заряда. Точечный заряд д находится между двумя большими параллельными про. водящими пластинами ! и 2, отстоящими друг от друга на расстоянии 1. Найти полные заряды д! и ут, наведенные на каждой иэ пластин, если пластины соединены проводом и заряд д расположен на расстоянии 1, от левой пластины ! (рис.
2.19. а). Р е ш е н и е. Воспользуемся принципом суперпозиции. Поместим мысленно на плоскости Р где-то еше такой же заряд д. Ясно, что это удвоит поверхностный заряд иа каждой пластине. Если же на поверхности Р равномерно распределит~ некоторый заряд с поверхностной плотностью а, то электрическое поле станет простым для расчета (рнс. 2.!9, 6) Пластины соединены проводом, поэтому разность потенциалов между ними равна нулю. Отсюда е,„1, + е,.( ! 1,) = о, где Е,„и Ет„— проекции вектора Е на ось Х слева и справа от плоскости Р (рнс. 2.!9, 6). С другой стороны, очевидно, что о= — (о, + о,), где согласно (2.2) а, = есЕьч = есЕ,„и о, = е„Е „= — еьЕ „ (знак минус, так как нормаль п противоположна орту оги Х) Исключив Е„н Е „из этих уравнений, получим е, = — о(! — 1,)/1, о = — а1,/!.
Аналогичный вид имеют и формулы для искомых зарядов у! и дт через заряд д. Решение же этой задачи с помощью метода изображениь весьма затруднительно: необходим бесконечный ряд фиктивных зарядов, располагающихся па обе стороны ат нашего заряда д, и нахождение поля такой системы оказывается слож. иой задачей.
Глава 3 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ ~ ЗЛ. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКА Диэле «трики. Д и э л е к т р н к а м и (или изоляторами) называют вещества, практически не проводящие электрического тока. Это значит, что в диэлектриках в отличие, например, от проводников нет зарядов, способных перемещаться на значительные расстояния, создавая ток. При внесении даже нейтрального диэлектрика во внешнее электрическое поле обнаруживаются существенные изменения как в поле, так и в самом диэлектрике; последнее следует хотя бы из того, что на диэлектрик начинает действовать сила, увеличивается емкость конденсатора при заполнении его диэлектриком и др. Чтобы понять, почему это происходит, надо прежде всего учесть, что диэлектрики состоят либо из нейтральных молекул, либо из заряженных ионов, находящихся в узлах кристаллической решетки (ионные кристаллы, например, типа )ЧаС!).
Сами же молекулы могут быть полярными и неполярнымн. У полярных молекул центр «тяжести» отрицательного заряда сдвинут относительно центра тяжести положительных зарядов, в результате чего они обладают собственным дипольным моментом р. Неполярные же молекулы собственным дипольным моментом не обладают: у них центры тяжести положительного и отрицательного зарядов совпадают. Поляризация.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
