И.Е. Иродов - Основные законы электромагнетизма, страница 3

Кроме того, этим линиям приписывают направление, совпадающее с направлением вектора Е. По полученной картине можно легко судить о конфигурации данного электрического поля — о направлении и модуле вектора Е в разных точках поля, 12 $1ЗЬ ТЕОРЕМА ГАУССА Поток вектора Е. Для большей наглядности воспользуемся геометрической картиной описания электрического поля (с помощью линий вектора Е) и еще, для упрощения рассуждений, будем считать, что густота линий Е равна модулю вектора Е.

Тогда число линий, пронизывающих элементарную плошадку 65, нормаль п которой составляет угол а с вектором Е, определяется согласно рис. 1.3 как Е 65 соз а. Эта величина и есть поток 6Ф вектора Е сквозь л площадку 65. В более компактной форме 6Ф= Е„65= Е6$, где Е„ — проекция вектора Е на нормаль п к площадке 65; бае†Рис. 1.3 вектор, модуль которого равен 65, а направление совпадает с нормалью и к площадке.

Заметим, что выбор направления вектора и (а следовательно, и 6$) условен, его можно было бы направить и в противоположную сторону. Если имеется некоторая произвольная поверхность 5, то поток вектора Е сквозь нее Ф=~ Е6$. (1.в) Эта величина алгебраическая: она зависит не только от конфигурации поля Е, но и от выбора направления нормали. В случае замкнутых поверхностей принято нормаль п брать н а р у ж у области, охватываемой этими поверх- Об общих свойствах поля Е. Определенное выше поле Е обладает, как выяснилось, двумя чрезвычайно важными свойствами, знание которых помогло глубже проникнуть в суть самого понятия поля и сформулировать его законы, а также открыло возможность решить ряд вопросов весьма просто и изящно.

Эти свойства — так называемые теорема Гаусса и теорема о циркуляции вектора Š— связаны с двумя важнейшими математическими характеристиками всех векторных полей: и о т о к о м и ц и р к у л я ц и ей. Как мы увидим, пользуясь только этими двумя понятиями, можно описать все законы не только электричества, но и магнетизма. Перейдем к последовательному рассмотрению этих свойств. настями, т. е.

выбирать в н е ш н ю ю нормаль, что в дальнейшем будет всегда и подразумеваться. Хотя здесь речь шла о потоке вектора Е, понятие потока в равной степени относится к любому векторному полю. Теорема Гаусса. Поток вектора Е сквозь произвольную замкнутую поверхность 5 обладает удивительным и замечательным свойством: он зависит только от алгебраической суммы зарядов, охватываемых этой поверхностью. А именно (1.7) где кружок у интеграла означает, что интегрирование проводится по замкнутой поверхности.

Это выражение и составляет суть т е о р е м ы Га у се а: поток вектора Е сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на ее Доказательство теоремы. Сначала рассмотрим поле одного точечного заряда а. Окружим этот заряд произвольной замкнутой поверхностью 5 (рис. !.4) и найдем поток вектора Е сквозь элемент бЬ: орп = Е 45 = Е 45 сор л= — —,45 сора= — 41), (18) 1 д Ч 4лср 4лрс где б(1 — телесный угол, опираюшийся на элемент по- Рис.

1.4 Рис. 1,5 верхности б5, с вершиной в точке расположения заряда р7. Интегрирование этого выражения по всей поверхности о эквивалентно интегрированию по всему телесному углу„ т. е. замене дй на 4п, и мы получим Ф = о/е„как и требует формула (1.7). Заметим, что при более сложной форме замкнутой по- 14 верхности углы а могут быть больше и/2, а значит, соз а и Ю в (1.8) принимает, вообще говоря, как положительные, так и отрицательные значения. Итак, 61) — величина алгебраическая: если 60 опирается на внутреннюю сторону поверхности 5, то 6Р ) О, если же на внешнюю сторону, то 6!) (О.

Отсюда, в частности, следует: если заряд д расположен вне замкнутой поверхности 5, то поток вектора Е через нее равен нулю. Для этого достаточно провести из заряда д коническую поверхность так, чтобы она оказалась касательной к замкнутой поверхности 5. Тогда интегрирование выражения (1.8) по поверхности 5 эквивалентно интегрированию по 0 (рис. !.8): внешняя сторона поверхности 5 будет видна из точки д под углом () ) О, а внутренняя под углом — 1! (оба угла по модулю равны). В сумме получим нуль, и Ф = О, что также совпадает с утверждением (1.7).

На языке линий вектора Е это означает, что сколько линий входит в объем, ограниченный поверхностью 5, столько и выходит. Теперь обратимся к случаю, когда электрическое поле создается системой точечных зарядов дь дэ и т. д. В этом случае согласно принципу суперпозиции Е = Е,+ + Е, + ..., где Е, — поле, создаваемое зарядом д ь и т. д. Тогда поток вектора Е можно записать так: ~1 Е6$=с)1(Е,+Ее+,.,) 69=1)> Е,68+1)1 Е 68+...=Ф,+Ф2+ .. Согласно предыдущему каждый интеграл в правой части равен д,/еь, если заряд а, находится внутри замкнутой поверхности 5, и нулю, если снаружи поверхности 5. Поэтому в правой части останется алгебраическая сумма только тех зарядов, которые находятся внутри поверхности 5. Для завершения доказательства теоремы остается учесть случай, когда заряды распределены непрерывно с объемной плотностью, зависящей от координат.

В этом случае можно считать, что каждый элементарный объем 6Г содержит «точечный» заряд р 6Р. Тогда в правой части (!.7) (1.9) где интегрирование проводится только по объему, заключенному внутри замкнутой поверхности 5. Необходимо обратить внимание на следующее важное обстоятельство: в то время как само поле Е зависит от 1В конфигурации в с е х зарядов, поток вектора Е сквозь произвольную замкнутую поверхность 5 определяется только алгебраической суммой зарядов в н у т р и поверхности 5. Это значит, что если передвинуть заряды, то поле Е изменится всюду, в частности, и на поверхности 5, изменится, вообще говоря, и поток вектора Е через 5. Однако если передвижка зарядов произошла без пересечения поверхности 5, поток вектора Е через эту поверхность останется п р е ж н и м, хотя, повторяем, само поле Е может измениться, причем весьма существенно, Удивительное свойство электрического поля! й 1.3.

ПРИМЕНЕНИЯ 1ЕОРЕМЫ ГАУССА Поскольку поле Е зависит от конфигурации в с е х зарядов, теорема Гаусса, вообще говоря, не дает возможности найти это поле. Однако в ряде случаев теорема Гаусса оказывается весьма эффективным аналитическим инструментом: она позволяет получить ответы на некоторые принципиальные вопросы, не решая задачи, а также находить и само поле Е, причем чрезвычайно простым путем. Рассмотрим несколько примеров, а затем сформулируем некоторые общие выводы о том, в каких случаях применение теоремы Гаусса оказывается наиболее целесообразным.

Пример 1. О невозможности устойчивого равновесия заряда в электрическом поле. Пусть в вакууме имеется система неподвижных точечных зарядов, находящихен в равновесии. Рассмотрим один из этих зарядов — заряд д. Может ли состояние его равнове- 3 сия бгнть устойчивым? Чтобы ответить иа этот вопрос, ок° ружим заряд д небольшой замкнутой поверхностью 5 (рис. !.6). Допустим, для определенности, что у ) О.

Тогда для того чтобы равновесие заряда д было устойчивым, необходимо, чтобы во Рис 1.б всех точках поверхности 5 поле Е, абра. зованное всеми о с т а л ь вы м и зарядами системы, было направлено к заряду д: только в этом случае прн любом малом смещении заряда у из положения равновесия на него будет действовать в о з в р а щ а ю щ а я сила, и положение равновесия действительно будет устойчивым, Но такая конфигурация поля Е вокруг заряда у противоречит теореме Гаусса; поток вектора Е сквозь поверхность 5 отрицателен, согласно же теореме Гаусса он должен быть равным нулю, поскольку этот поток создается зарядами, расположенными в н е поверхности 5.

А равенство потока вектора Е нулю оэна- чает, что в каких-то точках поверхности 5 вектор Е направлен внутрь, а в каких-то обязательно наружу. Отсюда и следует, что устойчивое равновесие заряда в любом электростатическом поле невозможно. Пример 2. Поле равномерно зарнженной плоскости.

Пусть поверхностная плотность заряда равна о. Из симметрнн задачи очевидно, что вектор Е может быть только перпендикулярным заряженной плоскостн. Кроме того, ясно, что в симметричных относительно этой плоскости точках вектор Е одинаков по модулю н противоположен по направлению. Такая конфигурация поля подсказывает, что в начестве замкнутой поверхности следует вгкбрать прямой цилиндр, расположенный, как на рнс. 1.7, где предполагается и ) О. Поток сквозь боковую поверхность этого цилиндра равен нулю, и поэтому полный поток через всю поверхность цилиндра будет 2ЕЛ5, где Л5 — площадь каждого торца. Внутрн цилиндра заключен заряд оЛ5. Согласно теореме Гаусса 2ЕЛ5 = = оЛ5/ею откуда Е = о/2ею Точнее это выражение следует записать так: Е„ = о/2ее, (!.10) где ń— проекция вектора Е на нормаль п к заряженной плоскости, причем вектор п направлен от этой плоскости.