И.Е. Иродов - Основные законы электромагнетизма, страница 7

Нетрудно сообразить (рис. 1.19), что ! о ах йЕ„= — — „сое О. (!) 4пее ге Рис. 1.20 Рис. !.!9 34 В данном случае д5 соз 6/т = й (2 — телесный угол, под которым площадка й5 видна из точки А, и выражение (1) можно переписать так: ! йЕ = о 41). 4пв Отсюда искомая величина 1 Е = — ег), 4пв Заметим, что на больших расстояниях от диска й = 5/т, где 5 — площадь диска, и Е = д/4пеот — как поле точечного заряда д = о5.

В непосредственной же близости от точки О телесный угол й = 2п и Е = о/2ео. ° 1.2. Тонкое непроводящее кольцо ридиусом й заряжено с линейной плотностью Л = Ло сов цо, где Ло — положительная постоянная, ео — аэимутальный угол. Найти напряженность Е электрического поля в центре кольца. Р е ш е н и е. Заданное распределение заряда показано на рис. !.20. Из симметрии этого распределения ясно, что вектор Е в точке О направлен вправо и модуль этого вектора равен сумме проекций на направление Е векторов йŠ— от элементарных зарядов йд. Проекция вектора йЕ на вектор Е есть йЕ сов и = — —,сов и, 44 (1) 4пво где ду = Мйоэ = Ль)(соз грдцх Проинтегрировав (1) по ср от О до 2п, найдем модуль вектора Е: Л эо Л Е = — ~ сов хова = —.

в Г, о 4вой о Заметим, что этот интеграл проще всего вычислить, зная, что гх Рис. 1.21 Рис. 1.22 (соз ~р) = '/2. Тогда 2» соз ц> Игр= (соз гр) 2л = и. о ° 1.3. |толубесконечная прямая равномерно заряженная нить имеет заряд Х на единицу длины. Найти модуль и направление напряженности поля в точке, которая отстоит от нити на расстоянии у и находится на перпендикулнре к нити, проходящем через ее конец. Р е ш е н и е.

Задача сводится к нахождению Е, и ń— проекций вектора Е (рис. !.2|, где предполагаетск ). ) О). Начнем с Ех Элемент заряда на участке йх нити дает следуюшнй вклад в Е;. Лйх йЕ. — —,ып а. 4лео т' (|) Приведем это выражение к виду, удобному для интегрирования. В нашем случае бх = г ба/соз а, г = у/соз а. Тогда х йЕ, = — з|п а йа. 4ле у Проинтегрировав это выражение по а от О до я/2, найдем Е, = Х/4яеоу. Лля нахождения проекции Е„достаточно обратить внимание на то, что йЕг отличается от йЕ, просто заменой з|п а в (1) на соз а. Тогда йЕ„= Х соз а йа/4пеоу и Ее = А/4пеоу.

Мы получили интересный результат: Е, = Е„независимо от у, т. е. вектор Е ориентирован под углом 45' к нити. Модуль вектора Е Е= Х/Е~+ Е ХЪ2/4пеоУ, ° 1.4. Теорема Гаусса. Напряженность электрического поля зависит только от координат х и у как Е = а(х|+ у))/(х'+ уе) где а — постоянная; ! и ) — орты осей Х и г'. Нийти заряд внутри сферы радиусом К с центром в начале координат. Р е ш е н и е. Искомый заряд равен согласно теореме Гаусса потоку вектора Е через указанную сферу, деленному на ео.

В данном случае для определения потока можно поступить так„ Заметив, что поле Е является осесимметричным (полем заряженной равномерно нити), приходим к выводу, что поток через сферу радиусом )! равен потоку через боковую оверхность цилиндра того же радиуса и высотой 2гс, расла. ч~женного, как показано на рис. 1.22. Тогда у = оо ~> Е дЬ = воЕ 5 ,де Е, = а/)г и 5 = 2п)с ° 2гс = 4пй~.

И окончательно, д = 4пеоай. Е 4пг = — + — ~ — 4ш Вг. о 1гп оо го г я Проинтегрировав, преобразуем предыдущее уравнение к виду Е 4пг = (д — 2яа)с )/го + 4яагэ/2оо. Напряженность Е не зависит от г при выражение в скобках равно нулю. Отсюда у = 2лар и Е = сс/2го. условии, когда ° 1.6. Найти напряженность Е электрического поля в облас ти пересечения двух шаров, равномерно зиряженных разноименными по знаку зарядими с объемной плотностью р и — р, если расстояние между центрами шаров определяешься вектором 1 (рис, 1.23).

Р е ш е н и е. С помощью теоремы Гаусса нетрудно показать, что напряженность электрического поля внутри равномерно заряженного шара Е=(р/Зо ) г, где г — радиус-вектор относительно центра шара. Поле в области пересечения шаров можно рассматривать как суперпозицию полей двух равномерно заряженных поврав. Тогда в произвольной точке А (рис. 1.24) этой области Е= Еэ+ Е =р(гт — г )/Зоо — — р1/Зео. Таким образом, поле в области пересечения таких шаров является однородным.

Этот вывод справедлив независимо от соотношения радиусов шаров и расстояния между их центрами. Он справедлив, в частности, н тогда, кэтда 37 ° 1.5. Система состоит из равномерно заряженной сферы радиусом гг и окружающей средьи заполненной зарядом с объемной плотностью р = а/г, где а — положительния постоянная, г — расстояние от центра сферы. Найти заряд сферы, при котором напряженность Е электрического поля вне сферы не будет зависеть от г.

Чему равно Е? Р е ш е н и е. Пусть искомый заряд сферы равен д, тогда, воспользовавшись теоремой Гаусса, запишем для сферической поверхности радиусом г (снаружи сферы с зарядом у); один шар находится целиком внутри другого, или, другими словами, когда в шаре имеется сферическая полость (рис. 1.25) . ° 12Е Воспользовившись решением предьгдущей задачи, найти нипряженность Е поля внутри сферы, по которой распределен заряд с поверхностной плотностью в = весов б, где вь — постоянная, б — полярный угол. тт Рис. !.23 Рвс.

!.24 Р е ш е н и е. Рассмотрим два шара одинакового радиуса, имеющих равномерно распределенные по объему зариды с плотностями р и — р. Пусть центры шаров смещены относительно друг друга на расстояние 1 (рис. 1.26). Тогда согласно решению предыдущей задачи поле в области пересечения этих шаров будет однородным: Е = (р/Зео) 1. (1) В нашем случае объемный заряд отличается от нуля только в поверхностном слое.

При очень малом 1 мы придем к представлению о поверхностной плотности заряда на сфере. Толщина заряженного слоя в точках, определяемых углом б (рис. 1.26), равна 1соз О. Значит, па единицу площади в этом месте приходится заряд в = р1 сов б = оь соз б, где оь — — р!, и выражение (1) можно представить как (оь/Зеь)" где (с — орт оси У, от которой отсчитывается угол О.

° 1.8. Потенциал. Потенциал некоторого электрического поля имеет вид ср = а(ху — г ). Найти проекнию вектора Е 2 на направление вектора а = 1+ З(4 в точке М (2, 1, — 3). Р е ш е н и е. Сначала найдем вектор Е; Е = — Стгр = — а (у1 + х) — 2гй). Искомая проекция — Ь .~. Ч вЂ” 28~) ° й.~- Ч -л!у — 6) -уг! + 3 Йб 38 В точке М вЂ” а(1+ 18) !9 Е,= = — = Я. хГ!О ЙО ° 1.9. Найти потенциал гр на краю тонкого диска, по одной стороне которого равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью о.

Радиус диска ривен )1. Р е ш е н и е. По определению потенциал в случае поверхностного распределения заряда дается интегралом (1.28). Для упрощения интегрирования выберем в качестве площадки 65 часть кольца радиусом г и шириной 6г (рис. !.27). Тогда Рис. 1.26 Рис. 1.27 Рис. 1.28 65 = 29гдг, г = 2гг соз 9, 6г = — 2гг з!п 969, После подстановки зтих выражений в интеграл (!.28) получим для гр в точке Ец о ой 9 = — — ~ б 5!и д 69. кеь гз Интегрирование проводим по частям, обозначив 0 = и, сйпб 69 = 6о; ~ 9 ып 0 69 = — 9 соз б+ ~ соз б 69 = — 9 соз 9+ з)п 9, что дает после подстановки пределов интегрирования — 1.

В результате ф = о)г/пеь. ° 1.1О. Потенциал поля внутри заряженного шара зависит только от расстояния г до его центра по закону гь = ага -1- -(- Ь, где а и Ь вЂ” постоянные. Найти распределение объемного заряда р (г) внутри шара. Р е ш е и и е. Сначала найдем напряженность поля. Согласно (1.32) Е, = — дф/дг = — 2аг. (1) Затем воспользуемся теоремой Гаусса: 4пгзЕ, = д/еь. Дифференциал итого выражения 4п 6 (гхЕ,) = — 69 = — р ° 4пгз 6г, 1 ть еь где дд — заряд между сферами, радиусы которых г и г+ дг. Отсюда ! г дЕ, 2 г дЕ, + 2гЕ, дг= — рг дг, — '+ — Е,= —. е, еь Подставив (1) в последнее уравнение, получим р = — бера, т.

е. заряд внутри шара распределен равномерно. е 1.11. Диполь. Найти силу взаимодействия двук точечных диполей с моментами р, и рг, если векторьь р, и рг направлены вдоль прямой, соединяющей диполи, и расстояние между последними ривно 1. Р е ш е н и е. Согласно (1.39) Р = р, )дЕ/д(~! ~де Š— напряженность поля диполя рг, определяемая первой пз формул (1.38); 2р, Е=— гпе 1з Взяв производную последнего выражения по 1 и подставив ее в фсрмулу для Г, получим ! р~рг у=в 4яео Замесим, что диполи будут притягиваться, если р, 11 рг, и отталкиваться, если р, (! рг.

Глава 2 ПРОВОДНИК В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ 4 2.1. ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ Микро- н макрополе. Истинное электрическое поле в любом веществе — его называют м и к р о п о л е м— меняется весьма резко как в пространстве, так и во времени. Оно различно в разных точках атомов и промежутках между ними. Чтобы найти напряженность Е истинного поля в некоторой точке в данный момент, нужно было бы сложить напряженности полей всех отдельных заряженных частиц вещества — электронов н ядер. Решение этой задачи, очевидно, является совершенно нереальным. Да и сам результат оказался бы настолько сложным, что его просто нельзя было бы использовать.