Golub, Ortega - Scientific Computing and Differential Equations, страница 11

(т) 24 (2.4.13) Т)!всгеС!заСЕоп Еггог Сче Сшп посч Со СЬе с(певС!оп оЕ СЬе сйясгейга(1оп еггог апс1, Еог вппр1!с!Су, сче в!П сопвЫег !и с1еСЫ1 оп1у СЬе Айашв-ВавИогСЬ шеСЬой (2.4.5). 1п а гпаппег апа!о8опв Со (2.2.23) Еог опе-яСер шеСЬойя, сче йейпе СЬе 1оса1 й!в- сгеС!га(!оп еггог аС х Ъу Ь ЬЕ(х, Ь) = у(х+ Ь) — у(х) — -[ЗЕ(х,у(х)) — Е(х — Ь,у(х — Ь))), (2.4.14) Ноге СЬаС СЫв гпеСЬой 1я епйге1у ехр1!сВ. Р!гяС а аргей!сСесГ ча1пе уД оЕ ув+г !я сошрпгес1 Ьу СЬе Ас1ыпв-ВавЬЕогСЬ Еогпш1а, СЬеп у), !в овей Со 8!че ап (в) арргохппаСе ча1пе оЕ Ев+г, счЫсЬ !в пвес1 ш СЬе Ас1апи-Моп!Соп Еогпш1а.

ТЬе Ас1апи-Моп1соп Еогпш1а "соггесся" СЬе арргохппаС!оп 8!чеп Ьу СЬе АйапиВввЬЕогСЬ Еогипйа. %е соп1й а1во СаЬе айй!С!опа! соггесСог вСерв ш (2.4.13), 1п Еасс, гереасей иве оЕ СЬе соггес(ог Еогпш!а г!чев ап !Сегас!че шеСЬос1 Со яо1че СЬе поп1шеаг ес!паС1оп (2.4.11).

%е счй1 геспгп Со СЬи Сор1с ш СЬарСег 5. 2А МШ,ТЕЯТЕР МЕТНУВ 49 иЬеге у(х) и СЬе ехасС во!пСюп оЕ СЬе д)йегепС!а) ег1паС!оп. й!псе у'(х) = Е(х, у(х)), СЬе Сепп ш ЬгасЬеСв !п (2.4.14) сап Ье ехрапдед 1п а Тау!ог вепев Зу'(х) — у'(х — Ь) = 2у'(х) + Ьу"(х) + 0(Ьг). СотЫп!и8 СЫя адСЬ у(х + Ь) — у(х) = Ьу'(х) + — у" (х) + 0(Ь ) 2 у!е1дв Е (х, Ь) = 0(Ь~).

(2.4.15) ТЬегеЕоге, аваигп!п8 СЬаС вшСаЫу Ь!КЬ-огдег дег!чаС)чев оЕ СЬе во1иСюп аге Ьоппдед, ие Ьаче СЬаС СЬе 1оса1 сйвсгеС1гаС1оп еггог Е (Ь) оп СЬе шСегча! [а, 5) яаг!вйев Т(Ь) = тах (Е(х, Ь)) = 0(Ь ), (2.4.16) а<я<в-е жЫсЬ вЬогов СЬаС СЬе теСЬос1 и весопд огдег. %ге сои1д дейпе СЬе !оса1 с1исгейгайоп еггог верагаСе1у Еог еасЬ оЕ СЬе оСЬег теСЬодя оЕ СЫв весСюп. Ногчечег, а11 оЕ СЬеве теСЬодв аге врес1а1 свеев оЕ жЬаС аге са11ед Ьпеат шиНьнСер теСЬодв оЕ СЬе Еопп т т уя+г ~ и!уй+1-г + Ь ~ Д.Ее+1-и (2,4.17) Сви еЬеге, ав папа!, Д = ~(хг, уу), апд гп 1в вогпе йхед !пСе8ег. ТЬе теСЬод 2.4.17) !я са11ед 1!пеаг а1псе уя~г и а 1шеаг сотЫпагюп оЕ СЬе у, апс1 Ег. 1Е Зо —— О, СЬе теС1юс1 и ехр1!с!С, апс1 !Е,Зо ф О, СЬеп СЬе теСЬод!в !тр1!с!С. 1п а11 оЕ СЬе Адапи теСЬодв аг — — 1 апд оа = О, Е ) 1; ш СЬе Адапи-ВаяЬЕогСЬ теСЬоде До = 0 апс1 Еог Адапи-Моийоп До вв О, гог СЬе 8епега! 1шеаг пш1Сигер теСЬод (2.4.17), ие дейпе СЬе 1оса1 сйв- ггеС!гаС!ои епог Е (х, Ь) аС х Ъу 1 П$ ФИ Ь(х, Ь) = — (у(х+ Ь) — ~~ оау(х — (Š— 1)Ь)) — ~ Яу'(х — (! — 1)Ь).

~=1 '=о Рог апу 8!чеп теСЬод, СЬаС !в, 1ог апу 8!ахеи сЬо!се оЕ т аид СЬе соивСапСв э, апд Д, опе сап сотрпСе СЬе 1оса1 дисгеС!гаС!ои еггог Ьу ехраие!оп оЕ у япд у' !и Тау1ог вепев аЬопС х. 1и рагС!сп!аг, ппдег вшСаЫе аявигпрС!опв оп -Ье д!СЕегепС!аЫ!!Су оЕ СЬе во1пгюи, опе сап еЬогт СЬаС СЬе Адате-ВааЬЕогСЬ .иеСЬодя (2.4.8) апд (2.4.9) аге СЫгд аид СоигСЬ огдег, геяресС!че!у, аЬегеае гЬе Адапи-Мои!Сои гпеСЬодв (2.4.10) апд (2.4.11) аге весопд апд ЕоцгСЬ огдег. ТЬе чег!йсаС!ои оЕ СЬеве вСаСегпепгв и 1ей Со Ехегс!ве 2.4,6. 50 СНАРТЕЯ 2 1ЕТТ1НО1Т РТУ: 11г1Т1А1 УА1Л1Е РНОВ1ЕМБ Опсе СЬе !оса1 д!всгеС!яаС!оп еггог гв )гпотгп, СЬеге гегпашв СЬе ргоЫеш о1 ЪоппсЬп8 СЬе 8!оЪа! д!всгеС!яаС!оп еггог, жЫсЬ 1в дейпед Ьу Е(а) = шахС)у(хя) — уя~): 1 < lс ( Х).

1п Кепега1, СЫв )в а ййсп1С ргоЫеш, ЬпС ппдег вшгаЫе вввпгарСюпя оп 1" апд СЬе во1пгюп р, !С сап Ье вЬогоп Еог а11 оГ СЬе гаеСЬодв о1 СЫв весСюп СЬаС Е(Ь) = 0(ао) йЬеп 1(Ь) = 0(У'). Мп)С!вСер гпеСЬодв сопяС!СпСе ап аССгасС!че а1СегпаСп е Со СЬе опе-егер шеСЬ- одя о1 Яесг!оп 2.2. Н!8Ь-огдег шеСЬодв сап Ье сопвггпсСед СЬаС гес)шге оп1у опе еча1паС!оп о1 1 аС еасЬ вСер, ЬпС аС СЬе рпсе СЬаС СЬе гпеСЬодв аге поС ве11-вСагС!п8.

1пдеес1, ЫКЬ-огдег Адашя шеСЬодв аге СЬе Ъвв)в о1 СЬе гповС ейс1епС сошрпСег содев ачадаЫе Содау (вее СЬе Барр!ешепгагу 1))вспвв!оп), Мпгпег!са1 Ехагпр1ев !Сипае -К авиа !20 х1~) !00 1- О) 20 ~о г!с) Г!Кше 2.10: Весоид-Огдег Наиде-Ки!Са аид Адагпя Ртед!с!ос-СотгесСот %е сопс!пде СЫв весгюп Ъу геСпгпш8 Со СЬе вашр1е ргоЫешв о1 ЯесС!оп 2.1. 1п Р!8пге 2.8 (ЯесС!оп 2.2) же Каое ап арргохппаСе яо1пСюп о1 СЬе ргедаСогргеу ес)паС!опв (2.2.34), (2.2.35) оЪСа!пед Ьу СЬе весопд-огдег Нпп8е-КпССа 2А МШ Т1$ТЕР МЕТНОР$ 51 шеСЬод. 1п Г)аиге 2.10 хте вирегппрозе оп Г)аиге 2.8 ап арргохппаСе во1иС1оп оЪСашег) Ьу а весопс)-огдег Аг)ашв-ВавЫогСЬ/Ас)агпв-Мои1Соп ргег))сСогсоггесСог шеСЬог), жЫсЬ Ся Ьяяей оп (2.4.5) апд (2.4.10) апг) а)чеп ехр11с111у ш Ехегс1ве 2.4.5. 14оге СЬаС СЬе Свто шеСЬос)в 1п Г)аиге 2.10 аге ш еггог Ьу а сошрагаЫе апюипС, а!СЬоихЬ опе арргохипаге во1игюп яр)га1в ш 1гош СЬе ехасС во1иС)оп а Ьегеая СЬе оСЬег вр)га!в оиС.

ТЬе егер в)зе изей 1ог ЬоСЬ шеСЬойв тая Ь = 1. ВоСЬ о1СЬезе шеСЬог)я гес)и)ге Схго еаза)иаС)опз о11 рег вСер. Нотчечег, сЬе соггевропйпа 1оигСЬ-огйег ргегВсгог-соггессог шесЬос) вС111 гес)шгев оп!у Съо еча1иаСюпв о11, хгЬегеав СЬе 1оигСЬ-оп1ег Нипде-КиССа шеСЬой гегушев Еоиг.

* 12 хО) йашв-ВявЛ1огСЬ 20 УО) : ) оиге 2.11: $есопа-Отает АЫатв-Ваяй~от)й ап4 Адата Ртей сват-Соттесвот Г)аиге 2.11 согпрагея СЬе весопс1-огс1ег ргесВсСог-соггесСог шеСЬод оЕ Г1а- -е 2.10 ииСЬ СЬе весопс)-оп1ег Аг)ашв-ВязЬ1огСЬ шеСЬог). ХоСе СЬе вСгопх =аесС СЬаС СЬе соггесгюп вСер Ьав оп СЬе Аг)ашв-ВяяИогСЬ шеСЬод; СЬе ас- .тасу 1в Сшргоче) вогпевтЬаС ЬиС, пюге поС)сеаЫу, СЬе арргохппаге во1иНоп гл яр)га)я ш гаСЬег СЬап оиС. АКаш, СЬе вСер в1ке 1ог ЬоСЬ шеСЬо<)з хтвз = 1. 52 СНАРТЕК 2 йЕТТ1МС 1Т РГХг 1Х1Т1АГ, ЪА1ХЕ РЯОВЕЕМБ %е пои арр1у !Ье яесопг(-огг)ег Айашв ргейсяог-соггес!ог ше!Ьог( !о !Ье !га!ес!огу ргоЫеш йясивяег) ш Бес!!оп 2.1.

ТЬе вув!еш оГ огйпагу <ИГегеп!!а1 ес!иа!!опв ивег) Гог !Ье рго)ес!!1е ргоЫеш !в 8!реп Ьу (2.1.15), (2.1.17), апс1 (2.1.18) ъч!!Ь Т = 0 апд тп = 0: х = с сову, у = ся!пд, (2.4.18) 1 0 = — — сряе — двшд, 2т д = — -совд, д Ю в!!Ь !и!!!а) сопЖ!опв х(0) = О, у(0) = 0 с(0) = со д(0) = до (2 4 19) Ча1иея Гог !Ье рагап1е!егя ш (2.4.20) аге т = 15 ЬВ, с = 0.2, р = 1.29 ЬВ/ш, я = 0.25 шв, апг( д = 9.81 ш/яв.

ТЬе !и!г!а! ча1ие Гог и !в са = 50 шГ'в, апг1 стао ЙГГегеп! !и!!!а) ап81ев ягеге ивег): до = 0.6 апг( 1.2 гяг)!апв. Р18иге 2.12 !в а р1о! оГ !Ье Ье!фй чегвив гап8е оГ гЬе рго1есп1е. а е 50 яя гв Оо =0,6 50 100 Кяпяе (шегегя) !50 200 Р!Виге 2.12: Аг(атз Ртейс!ог-Соттесйог МеГЬогГ (2.4.18), (2.4.19) АррБехГ Хо !Ье Туа2ес!осу Ртоу(ет яай Рфегеп! Ьи!!а1 Апд1ев Бирр(егпепгагу 0(всияв(оп апг( йеГегепсея: 2.4 ТЬе Ас)ыпя ше!Ьос1я !опп !Ье Ъав1в Гог а пишЬег оГ ЫВЫу ворЫв!!сасес! сотри!ег сойея.

1п !Ьеве сойев яЬе Аг!ашя шегЬог)в вхе !шр1ешеп!ей илгЬ !Ье сараЬШгу оГ сЬап8!п8 по! оп1у гЬе егер в!яе — ав яге йясивяег1 Гог гЬе йип8еКи!1а шеФЬог)в — Ьи! а)во !Ье огг)ег ойЬе ше!Ьги(. Рог йе!аПз оп опе раг!!си!ах со11ес!!оп оГ сог)ев — ОГ)ЕРАСК вЂ” вес Н!пйшяхвЬ [1983].

Рог пюге гГ!ясивя!оп 34 СНАРТЕЯ 2 ЕЕТТ1Хдд дТ Р1ХС дд(1Т1А7. ЪАй()Е РВОВ ЕМЯ ЕХЕЯС)5Е5 2.4 2.4.1. Уег!Гу СЬад рд оГ (2.4.4) !в СЬе 1шеаг !пдегро1аСш8 ро!упоппа1 (ог (хя, уя) апс1 (хя д, ув д), апй СЬад (2.4.8) Ео11одчв Егот (2.4.3) 1ог СЫв рд. Б!т11аг!у, чег1(у СЬад (2.4.6) 1в СЬе СС«айда!!с Спдегро1аВп8 ро1упопиа1 Гог (хя,,дя), (хя д, уя-д), апй (хв д,уя д). ТЬеп саггу оид СЬе шде8гад1оп о1 рд Со чеП?у СЬе (огпш!а (2.4.7).

Р!па!!у, 81че СЬе спЫс шСегро1аИп8 ро!упоппа! ря Ьу аййпщ СЬе арргорпаСе спЬСс Сепп (вее (2.3.13)) Со рд. ТЬеп 1иде8гаде рз 1и (2.4.3) Со оЬСа1п СЬе Гогпш1а (2.4.9). 2.4.2. ССдг1де а сотрпдег рго8гади Со сапу от СЬе весопй-огйег Айапдя-ВавМогСЬ пдеСЬой (2.4.3). 1?яе СЬе весопй-огйег Вли8е-Касса теСЬой Со вирр!у СЬе т!вя!и8 вдагдш8 ча1«е уд. Арр1у уопг рго8гапд со СЬе ргоЬ1етв оЕ Ехегс!вев 2.2.2 апй 2.2.8 аий сотраге уопг гевп!ся «ЬЬ СЬе Еп!ег апй Не«и теСЬойв.

2.4.4. Саггу оп!!п йеса11 СЬе йепчаС1ои оЕ сЬе Айапдя-Мои!доп теСЬой (2.4.10). Х)о СЬе вадпе Гог СЬе диеСЬой (2.4.11). 2.4.8. 1)ве вв пшсЬ вя рова!Ые о?уопг рго8гат оЕ Ехегс1ве 2 4 2 Со дчг!Се а сотрпдег рго8гат Со саггу опд СЬе ргегВссог-соггессог дпеСЬой Ь д, + -(3У, — У,,), ~(хя.дд,у„' д), 00 2 00 уяед ддяд д/с+1 Ус дд Арр1у сЬдв со СЬе ргоЫепд у' = -у, у(0) = 1 апй сотраге уопг гевп!св дч!сЬ СЬе дпеСЬойв о!Ехегс1ве 2.4.2. 8!т11аг!у, «дг!Се а рго8гат со сапу опд (2.4.13). 2.4.6.

Содирпде СЬе 1оса! й1яегед!гад!оп еггогв 1ог СЬе Айапдя-ВавЫогСЬ теСЬойя (2.4.8) апй (2.4.9) апй вЬочг СЬаС СЬеу аге СЫгй аий (опгСЬ огйег, .гевресС1че1у. (Аввшие СЬаС СЬе яо1цд1оп 1в впйс1еис1у й!0егеид1аЫе.) Во СЬе вате (ог СЬе Айагпв-Моп1дои теСЬойв (2.4.10) аий (2.4.11) ап1 чег!Гу СЬад СЬеу аге весопй апй ГопгСЬ огйег, геяресд!че1у. 2.4.7. 61че СЬе соейс1епдв од апй Д ш СЬе Впеаг пш111вдер 1огтп1ад!оп (2.4.17) 1ог СЬе Айатя-ВввМогСЬ апй Айатв-Мои!сои тесЬойв оГ весопй, СЬдгй, апй 1опгСЬ огйег.

2.4.8. Сопя!йег СЬе пдеСЬой уяед — Дв-д + я (~я<.д + 2~я + ~я д) а. гшй СЬе огйег оГСЬе дпеСЬой. Ь. Ейвспяя Ьодч со арр1у СЫя пдеСЬой Со СЬе вуядет о(еддиад1опв у' = С(х, у). %Ьад й!шеи!С1ев йо уоп ехресс Со епсоппдег 1п саггу!п8 оид СЬе теСЬой? 2.4.3. Вереас Ехегс1ве 2.4.2 овш8 СЬе 1оигСЬ-огйег Айапдя-ВавЫогСЬ теСЬой (2.4.9).