И.Е. Иродов - Задачи по квантовой физике, страница 7

2Л Рис. 2.6 30 где к = ' 2т ( Ь;, — Е) 1'л, 1с = /2тЕ ~ Я ГЬ— гиперболический тангенс. а) Получить это уравнение. б) Найти интервал значений величины 1~11с, при которых в области Е < 11 не будет ни одного уровня; будет только один уровень. 2.78. Частица массы т находится в одномерном симметричном потенциальном поле (рис. 2.7).

Найти уравнение, определяющее возможные значения энергии Е частицы в области Е< 11 . Привести его к виду )с1= ил — 2 агс яп (Ы 1' ' 2т У'„), где )с= 12тЕ1'Ь, л — целое число. Показать с помощью графического решения этого уравнения, что возможные значения энергии Е частицы дискретны. 2.79. Воспользовавшись решением предыдущей задачи, найти значение величины 1 11с, прн котором: а) энергия основного состояния частицы Е=-11 1'2; б) появляется второй уровень, л-й уровень. Сколько дискретных уровней содержит данная яма, если 1'с1„=75л~1иу 2.80.

Частица массы т находи~ся в одномерной потенциальной яме (рис. 2.8). Найти энергию Е, основного состояния, если на краях ямы ф-функция вдвое меньше, чем в середине ямы. 2.81. Частица массы т находится в некотором одномерном потенциальном поле 11(х) в стационарном состоянии, для которого волновая функция имеет вид ф(х)=Аехр( — ах~), где А и и -заданные постоянные (а>0). Ймея в виду, что Цх)=0 при х=О, найти Цх) н энергию Е частицы. 2.82. То же, что в предыдущей задаче, но ф(х)=Ахе "' при х >О, ф=О прн х <0 и Г(х) — 0 при х- со.

2.83. Найти с помощью уравнения Шредингера энергию гармонического осциллятора с частотой сэ в стационарном состоянии: а) Ф(х)=Аехр( — а~хз); б) ф(х)=Вхехр( — а'х'), где А, В, а — постоянные, 2.84. Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора с частотой оз может быть приведено к виду ф~+(Х вЂ” ~з) ф= О, где с =ах, а — постоянная. Х вЂ” параметр. Имея в виду, что собственные значения параметра Х равны 2п+ ), где в=О, ), 2, ..., найти собственные значения энергии осцнллятора. 2.85. Вычислить нормировочные коэффициенты собственных функций (2.4) квантового гармонического осциллятора: а) Ав; б) А„в) А . з! 2.86. Найти наиболее вероятное значение координаты х квантового гармонического осциллятора в состоянии чгг(х).

Изобразить примерный график распределения плотности вероятности и (х) различных значений х в этом состоянии. 2.87. То же, что в предыдущей задаче, но для состояния Ф2(х) 2.88. Найти с помощью формул (2.4): а) среднеквадратичное значение координаты х в состоянии Фо ° б) среднее значение модуля х в состоянии ф,. 2.89. Частица находится в основном состоянии чг (х) = =Аехр( — илхл12) в одномерном потенциальном поле Цх)= = и ха,12. Найти: а) координату хо, соответствующую классической границе поля в этом состоянии; б) вероятность пребывания частицы вне классических ~раниц поля (воспользоваться значениями интегралов в Приложении). 2.90.

Зная собственные функции и собственные значения энергии квантового гармонического осциллятора, найти собственные значения энер~ ии частицы массы ла, движущейся в одномерном потенциальном поле Цх)=их'!2 при х > 0 н У=со при .к <О. 2.91. Частица массы т движется в трехмерном потенциальном поле бг(х, у, з)=(хг2)(ха+у'+ля), где и — постоянная. Найти: а) собственные значения энергии частицы; б) кратность вырождения и-го энергетического уровня.

Укалаииг. Воспояьооваться формулами для одномерного квангового осннлдя?ора. Прохождение частицы через барьер 2.92. Стационарный поток частиц, имеющих массу т и энергию Е, падает на абсолютно непроницаемую стенку (рис. 2.9): еу(х)=0 при х >0 и Цх) — оо при х <О. Определить распределение плотности вероятности местонахождения частиц и(х). Найти координаты ~очек, в которых и~(х)=макс. Изобразить примерный график зависимости и (х). 2.93. Частица массы т падве~ слева на прямоугольный потенциальный барьер высотой еУ (рис. 2.10).

Энергия частицы равна Е, причем Е < У . Найтй эффективную глубину х, проникновения частицы под барьер, т. е, расстояние от границы барьера до точки, в которой плотность вероятности и нахождения частицы уменьшается в е раз. Вычислить х, для электрона, если У вЂ” Е=1,0эВ. 2.94. Воспользовавшись условием предыдущей задачи: зз х 0 4' О Рис. 2.9 Рис. 2.10 Рис. 2.11 а) показать, что прн Е< Г коэффициент отражения А барьера равен единице; б) найти распределение плотности вероятности и !'х) местонахождения частицы для случая Е= 1! !'2. Изооразить примерный график функции в1х). 2.95, Частица массы л! падает на прямоугольный потенциальный барьер высотой 1.!с !рис. 2.11). Энергия частицы равна Е, причем Е > И„. Найти коэффициент отражения Я и коэффициент прозрачности .0 этого барьера. Убедиться, что значения этих коэффициентов не зависят от направления падающей частицы !слева направо или справа налево).

2.96. Исходя из условия предыдущей задачи, найти распределение плотности вероятности ж1х) местоположения частицы для случая Е=400!'3. Изобразить примерный ~рафик зависимости и (х). 2.97. Частица массы !и движется слева направо в потенциальном поле !рис. 2.!2), которое в точке х=О испытывает скачок 1,' . Слева от точки к=О энергия частицы равна Е. Найти коэффициент отражения Я для случаев: а) Е « С'9; б) Е ли С' .

2.98. Частица массы л! падает на прямоугольную потенциальную яму шириной 1 и глубиной 1Уи 1рис. 2.13). Энергия частицы вне ямы равна Е. Найти: а) коэффициент прозрачности 21 ямы для данной частицы; б) значение 22 для электрона при Е= 12„= 1,0 зВ, если 1=0,!0 нм. 2.99. Воспользовавшись условием и решением предыдушей задачи, найти значения Е, при которых частица будет Рис. 2.12 Рис. 2.! 3 2 — 1279 33 беспрепятственно проходить через яму (см.

рис. 2.13). Убедиться, что это будет происходить при условии, что ширина ямы У равна целому числу дебройлевскнх полуволп частицы внутри ямы. Вычислить Е„„„для электрона в случае (Ус=10 эВ и 1=0,25 нм. 2.100. Исходя из условия задачи 2.98 (см. рис, 2.13) и зная выражение для коэффициента прозрачности У) в данном случае, найти длину У ямы, нри которой коэффициент отражения Я максимален.

Величины Е и (У предполагаются заданными. 2.101. Частица массы и падает на прямоугольный потенциальный барьер (рис. 2.14), причем ее энергия Е > (Ур. Найти: а) коэффициент прозрачности Уу барьера в данном случае и выражение для Уу при Е- (Ур,' б) первые два значения Е, при которых электрон будет беспрепятственно проходить через ~акой барьер, если (У = 10,0 эВ и У= — 0,50 нм.

2.102. Частица массы и падает на прямоугольный потенциальный барьер (рис. 2.15), причем ее энергия Е< (Ур. Найти: а) коэффициент прозрачности У2 барьера; б) упростить полученное выражение для Ь в случае УУ ~ 1; в) вероятность прохождения электрона и протона с Е=5,0 эВ сквозь этот барьер, если !Ур=!0,0 эВ и У=О,!О им.

2.103. Исходя из условия предылуй!ей задачи и считая, что частицы падают на барьер слева (см. рис, 2.!5): а) изобразить примерный график распределения плотности вероятности и (х) местонахождения частиц; б) найти отношение плотностей вероятности и (0)Уи (!) местонахождения частиц в точках х=О и У для случая Е=(У /2. Рис. 2.!6 Рис. 2.!7 Вычислить это отношение для электрона, . если (=О,! О нм и 6' =10 эй. 2.104. Найти с помощью формулы (2.5) вероятность прохождения частицы массы лт с энергией Е сквозь потенциальный барьер, показанный на рис.

2.16. 2.105. То же, что в предыдущей задаче, но потенциальный барьер имеет вид, как на рис. 2.17, где Цх)=(зо(1 — хт(ут). 3. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ (3.2) (34) (3.6) гдс Й- опсратор полной энергии (гамильтоииан). Е Производная по времени от оператора А: дА дА — = — ь- (Й, А), д! д! д (зл) гдс (Й, А) — комму~а~ор операторов, Й вЂ” гамильгоннан. ° Опсрагоры проскдии и квалрата импульса: (йс(д рз "3, 3 ! Вз Язцт гдс Рз — опсратор Лапласа. ° Оператор полной энергии (гамнльтониан): )зз я' й= — З-и= — — рз~-и. 2гл 2лг ° Операторы проекций и квадрата момснга импульса: д уз=у Є— тР, !.

=тР— хР,, (ч=хР— УР„= — И— Йз 2 3 (з Йз ятр1 гдс 521 ч — угловая часть опсратора Лапласа. (34) (3.9) (3. ! О) 35 Ф Опсрагор А линейный, если А(с,ф, ъс,ф,)=с, А ф, фс,А фт, гдс с, и с --.постоянные, фз и ф,— произвольвыс функции. ° Опсрагоры А и В коммутативны, если ик коммугагор (А, В1=А — В.4=0. ° Опсрагор А эрмнтов (самосопряжснный), если )ф)Аф ах=)ф А'ф)дх гдс ф, н ф - †произвольн функции. ° Разложсинс функции ф по собственным функциям ф„ дискрстного спсктра некоторого опсратора: ф(х)=2 с„ф„(х), с„=) фф'„дх.

° Орсднсс значение физической величины А в состоянии ф: <А>=)ф Афди. (3.5) гдс А — -соотвстсзвуюглнй оператор, ф — нормированная волновая функция, д И вЂ” элсмент объема, ° Урависнис Шредингера в опсрагорной форме: И дЧ',гдг=ЙЧ', ° Оператор Лапласа в сферических координатах; д' 2д 3 7'= —,,'-- — +-т 7'.„ 9, г г'.гз г дг гз (3.1!) дГ д'1 т,з, = —. — ~нп9 — ) -г мп9 д9 (х д9) пп'9 дахре ° Собственные значения и собственные функции оператора Х'. те=1(1+1)аз, )=О,1,2, ... (3.12) ум(9, <р)=оц„<(9)ехр()егер), лг=о, -г1, гг, ..., х1. (3.13) Функции О(9) для е, р- и Ы-состояний приведены в табл.

3.1 (с гочностью до нормировочного множителя). ° Уравнение Шредингера для радиальной части волновой функции Я(г) в центрально-симметричном поле 11(г); дзЯ 2 дд 2ги / б' — „, +- — + —, ~е- и- — —,~ а=о. д' д д'(, 2") Функции Я(г) для водородоподобных систем приведены в табл. 3.2 (с точностью до нормировочного множителя). тж юа 3.2 таблнца 3.1 Квантово-механические операторы ЗЛ. Проверить следующие операторные равенства: г) <1 а) — х=1+х —; дх Йх ,<11 й б).

х — — =х — — 1; Йхх дх в) !+ — ) =1+2 — + —,; д А д Я' )з г) х+ — ~ =1+хз+2х — + — „' йх) дх г)х 1Ддзгд д) ~ — — х.~ = —,ч- — —; (,хдх -.,1 дхя хдх тв 3б / д 7 2 32 д2 д2 ( дх ду) дх' дхду ду' 3.2. Найман результат действия операторов †,х и ( — х на функции: дх' ( дх а) созх; 6) е". 3.3. Найти собственное значение оператора А, принадлежащее собственной функции 2)7„, если: ,12 а) А = — —, 2)2х = ып 2х; дх' 12 6) А= — —, +хх, 2)2х — — ехр( — х 1'2); д2 2 д илах в) А = —, + — —, 2)7„= - —. дх' х дх' " х 3.4. Найти собственные функции 2)7 и собственные значения следующих операторов: д а) — 1 —, если 2)7(х)=2)2(х+а), а — постоянная; дх д2 6) — —, если 2)2=0 при х=О и дх2' 3.5. Показать, что если операторы А и В линейные, то операторы А+В и АВ также линейные. 3.6.