И.Е. Иродов - Задачи по квантовой физике, страница 9

Преобразование инверсии заключается в одновременном изменении знака всех декартовых координат: х- — х', у- — у', -- — -'. Записать преобразование инверсии в цилиндрической и сферической системах координат. 3.65. Найман собственные значения оператора инверсии Р, действие которого на функцию заключается, как известно, в изменении знака всех декартовых координат. 3.66. Доказать, что оператор инверсии Р коммутирует с операторами момента импульса Х,„Х„у„и Хз. 3.67. Показать, что четность состоянйя частицы в центрально-симметричном поле определяется четностью орбитального квантового числа (, а именно Р=( — !)з.

Указание: иметь в виду, что при замене 9 на и — 9 в функции У(9, ф)=О(9) Ф(ф) функция О(9) О(я — 9)=( — !)' "О(9). 3.68. Показать, что четность состояния системы невзаимодействующих частиц в центрально-симметричном поле Р= — !)~', где (,— орбитальные квантовые числа частиц.

.69. Показать. что гамильтониан Й для центрально-симметричного поля при инверсии координат не меняешься, т. е. оператор инверсии Р и гамильтониан О коммутируют между собой. 3.70. Частица находится в центрально-симмет ичном поле в состоянии, описываемом волновой функцией Ч'(г, г), которая удовлетворяет общему уравнению Шредингера.

Показать, что если в момент г функция Ч'(г, г) была четной, то четность ее сохраняется и в последующие моменты времени. 3.71. Доказать, что закон сохранения четности является следствием инвариантности гамильтониана Й по отношению к преобразованию инверсии. 3.72. Атом находится в четном состоянии с 1.=0. Пусть энергетически возможен распад этого атома на свободный электрон и ион, остающийся в нечетном состоянии с тем же значением А=О. Показать, что закон сохранения четности запрещает такой процесс.

3.73. Можно ли утверждать, что закон сохранения четности вытекает из закона сохранения момента импульса? 3.74. Рассмотреть вопрос сохранения четности состояния частицы в полях, приведенных в задаче 3.62. Центрально-симметричное поле. Атом водорода 3.75.

Преобразовать оператор полной энергии для частицы в центрально-симметричном поле (у'(г) к виду Рз Й=К„+. ' —,+(/(г). 2снгз Какой вид имеет оператор К„? чз 3.7б. Частица массы 1г движется в центрально-симметричном потенциальном поле ЕЕ(г). Найти: а) уравнения Шредингера для угловой и радиальной частей волновой функции ф(г, Э, ~р)=А(г) г'(Э, <р), Считая собственные значения оператора Е~ известными, привести уравнение для функции А(г) к виду (3.14); б) зависимость волновой функции от азимутального угла <р, 3.77. Частица находится в центрально-симметричном потенциальном поле в состоянии ф)г, Э, <р)=А,(г) У, (Э, <р).

Каков физический смысл функции ~ У, ~ 7 Воспользовавшись табл. 33, вычислить нормировочные коэффициенты функций: а) Гьа' б) 1;,. 3.78. Частица массы т находится в сфернчески-симметричной потенциальной яме, где ЕЕ(~= 0 при г<гв и ЕЕ= со при г=гв, где гв — радиус ямы. Нанти: а) возможные значения энергии и нормированные собственные функции частицы в з-состояниях (Е=О), где ф-функция зависит только от г. При решении уравнения Шредингера воспользоваться подстановкой ф=-кЕг; б) наиболее вероятное значение г„и вероятность в нахождения частицы в области г < г„в основном состоянии. Изобразить примерные графики функций ф'(г) и гзфз(г) в этом состоянии.

3.79. Воспользовавшись решением предыдугцей задачи, найти средние значения (г), (гз) и среднего квадратического отклонения ((г — (г))з) для частицы, находящейся на и-м х-уровне (Е= 0). 3.80. Частица массы т находится в сферическн-симметричной потенциальной яме, где ЕЕ(г)=0 при г<гв и ЕЕ= ж при г=гв, где гв — радиус ямы. Воспользовавшись решением задачи 3.78, найти: а) радиальную часть ф-функции. А, (г), описывающей рсостояние частицы (1=1).

Для этого продифференцировать уравнение (3.14), определяющее функции Ав (г) к-состояний, и полученное выражение сравнить с уравнением, определяющем функцию А,(г); б) энергию первого р-уровня, сравнить ее с энергией основного состояния. 3.81., Частица массы т находится в сферически-симметричной потенциальной яме, где ЕЕ(г) =0 при г< ге и Цг) = Ц, прн г>гв. а) Найти с помощью подстановки ф(г)=1Е(г)Ег уравнение, определяющее собственные значения энергии частицы в зсостояниях (1=0) в области Е< ЕЕв; привести это уравнение к виду з1п Егго = ~ Егго ~' й Е 2гпг о ЕЕо б) Убедиться, что данная яма не всегда имеет дискретные уровни (связанные состояния).

Определить интервал значений величины г~в14, при которых яма содержит только один з-уровень. в) Полагая г„'~/в=8я~й'!27т, вычислить наиболее вероятное значение г„,„ для частицы в х-состоянии, а также вероятность нахождения ее в области г>гв. 3.82. Привести уравнение (3.14), определяющее радиальную часть волновой функции электрона в кулоновском поле ядра У, к безразмерному виду. В качестве единиц измерения взять атомную единицу длины (первый боровский радиус) и атомную единицу энергии (энергию связи электрона в атоме водорода).

3.83. Используя подстановку 11(г)=к(г)1г, найти асимптотический вид радиальной части волновои функции Я(г) для связанных состояний электрона в кулоновском поле ядра: а) на больших и б) на малых расстояниях от ядра. 3.84. Электрон в атоме водорода находится в основном состоянии, описываемом волновой функцией ф=Аехр( — г1г,). Найти: а) нормировочный коэффициентА; б) энергию Е электрона и г, (с помощью уравнения Шредингера). 3.85. Электрон в атоме водорода находится в состоянии, описываемом волновой функцией ф = А (1+иг) е'", где А, и, п — постоянные. Найти: а) постоянные и, и и энергию Е электрона (с помощью уравнения Шредингера); б) нормировочный коэффициент А.

3.86. Найти для 1х-электрона атома водорода: а) наиболее вероятное расстояние его от ядра г„, и вероятность нахождения электрона в области г(г„„ б) вероятность нахождения его вне классических границ поля. 3.87. Определить для 1х-электрона в атоме водорода средние значения его расстояния от ядра (г), (г~) и ((г — (г))~), 3.88.

Найти для основного состояния атома водорода средние значения следующих величин: а) модуля силы взаимодействия между электроном и ядром; б) потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром. 3.89. Определить среднее значение кинетической энергии и средней квадратической скорости электрона в основном состоянии атома водорода.

3.90. Воспользовавшись табл. 3.2, найти для 2р- и ЗЫ- электронов атома водорода: в) наиболее вероятное расстояние от ядра; б) среднее квадратическое отклонение ((г — (г))~). 3.9Е Найти средний электростатический потенциал, создаваемый 1у-электроном в центре атома водорода. 3.92. Определить средний электростатический потенциал на расстоянии г от ядра атома водорода, находящегося в основном состоЯнии з)з =(1/ гУкгз!) ехР( — г)'г!). 4. ЭЛЕКТРОННАЯ ОБОЛОЧКА АТОМА ° Спектральные обозначения термов: "((.) .

где и- — мультиплетность (к=25 1-!), ц о, У вЂ” -квантовые числа, Б = О, 1, 2, 3, 4, 5, б, символ: Б, Р, УЗ, Р, 6, Н, 1, ° Правила отбора квантовых чисел э, У и У: аь'=О. ай=+1, ы=б, ~1, у=б-. у=в. ° термы атома (иона) с одним валентным электроном: (4. 1) дг, (и — (т)з (4.2) где й — постоянная Ридбер~а, л,е — эффективный заряд (в единидах е) остова атома (иона), в поле которого движется внешний электрон, л — -главное квантовое число валентного электрона,  — квантовый дефект. Схема уровней тако!о атома (иона) показана на рис.

4.! (без учета тонкой структуры). ° Механические моменты атома (орбитальный, Спиновый н полный): '~ь й~~ Ц( з' !) зна ~'„~Н(Н+ !). М,=О,УУРЙ). (4.3) ° В задачах этой главы связь ме:кду момегоами предполагается нормальной. У.— Б (спин-орбитальная связь). ° Правила Хунда: наименьшей энергией обладает терм с максимальным значением спина о при данной электронной конфигурации н максимально возможным при этом о„,„. значением для основного (нормального) терма У=) ь — о!, если подоболочка заполнена менее чем наполовину, и У=1.4-э в остальных случаях. ° Эквивалентными называют электроны с одинаковыми квантовыми числами и л.

и Е ° Распределение Больцмана: Рис. 4.1 4б Указание для нахождения потенциала ф„создаваемого «электронным облаком», дважды проинтегрировать уравнение Пуассона '7з<р„= — п,р, где п,=4я (СГС) или 1(ае (СИ). — = — сх —, (4 4) М, ~, / Е,— Е< М, я, р~ )<т /' О 1/Я 1 1/2 1,У/Я Уз<)ЛГ<= А<< Аз< )(чх=В„н„, я< изг' Вм = — В<<= — з Ат< (4,б) йшз Рис 4.2 тГ Л (4.7) шх,= 1 В(т — <) ° (4 8) где К- нос гоянная Ридбер<а, И вЂ” порядковый номер атома, о —.поправка, равная для ле~ких элементов единице. ° Магнитный момен г а <ома и фактор (множитель) Линде: (4В) Л<о=(ш<д< — <пзкз) ркВ)й (4. <0) где <и, и Л, --магнитные квантовые числа и множигели Ланда соответствующих термов.

° Обозначения тесмановских компонент: я-компонента (Лш.=о), о компонента (Лт = Л (). ° Правила <пбора квантовых чисел (кроме указанных выше): 47 тле я< и яз статистический вес (крат. ность вырождения) уровней 1 и 2. ° Вероятности радиационных иере- ходов между уровнями 1 и 2 (Е,жЕ,), г е. число переходов ежесекчпдио в расчете на одни атом (У,Л<), для спонтанного и индуцированного излучения и поглощения: К<з'" Ъ< =В<за„, (4.5) <де А,, В,, В,х †коэффициен Эйнштейна, и„--спектральная плотяость излучения, атвечаюшая частоте еэ перекопа между рассматриваемыми уровнями.