И.Е. Иродов - Задачи по квантовой физике

ББК 22.31 И 83 УДК 530.145 Рецензенты: кафедра физики МАДИ (зав, кафедрой Ю. Г. Рудой); доц. С. М. Новиков (Московский институт инженеров гражданской авиации) ББК 22.31 330.1 1БВ)Ч 5-06-000630-1 срэ и Е. Иролов, 1991 Иродов И, Е. И 83 Задачи по квантовой физике: Учеб. пособие для физ. спец, вузов.— М.: Вйгсш. шк., 1991.— 175 с.: ил. 1ЯВХ 5-06-000630-1 Сборник содерзит окода 800 задач по широкому кругу вопросов квантовой физики н ее приложений: квантовая природа асектромасннтного излучениа, волновые свойглва частиц, элементы квасповой меканнаи, электронная оболочка агома, молекулы, кристаллы, физика ядра, ядерные реакции н элементарные частицы.

к наиболее сложным задачам даны подробные указания. 1404030000(4309000000) †2 И Ог 91 001 (01) — 91 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Принятые обозначения 6 1. Истоки квантовой фнзвки 7 Тепловое излучение. Формула Планка 8 Корпускулярные свойства электромагнитного излучениа 11 Модель атома Резерфорда — Бора 16 2. Волновые свойства частиц 21 Волны де Бройля 22 Соотношение неопределенностей Гейзенберга 25 Ураенеаге Шредингера 27 Прохождение частицы через барьер 32 3. Основы квантовой мехаивкн 35 Квантово-механические операторы 36 Средние значения и вероятности 39 Изменение ео времени состояния 4! Четность 43 Центрально-симметричное поле.

Атом водорода 43 4. Злектровиаа оболочка атома 46 Состояние электронов в атоме 48 Интенсивность и ширина спектральных линий 58 Характеристические рентгеновские спектры 53 Магнитные свойства атома 55 5. Лвухатомвац молекула 59 Вращательные, колебательные и электронныс состояния бб Молекулярные спектры. Комбинационное рассеяние 63 6. Твердое тело 65 Структура кристаллов 66 Квантовая теория теплоемкости кристаллов 68 Свободные электроны в металлах и полупроводниках 71 7.

Ядро атома 76 Энергия связи, спин и магнитный момент ядра 77 Закон радиоактивного распада 80 Альфа- и бета-распады 82 Гамма-излучение: внутренняя конверсия, эффект Мессбауэра 84 8. Ядерные реакции 86 Законы сохранения в ядерных реакциях 88 Уровни ядер. Сечения и выходы ядерных реакций 92 Формула Брейта — Вигнера 95 9. Элементарные частицы 97 Взаимодействие релятивистских частиц 98 Распад час~ил 100 Внутренние свойства элементарных частиц 102 Ответы и решения 105 Приложения 163 1. Значения некоторых определенных интегралов 163 2.

Плотность некоторых веществ 163 3. Работа выхода электрона из металлов 164 4. Край К- и Е-полос поглощения рентгеновского излучения 164 5. Константы двухатомных модекул 165 6. Десятичные приставки к названиям единиц 165 7. Периодическая система элементов Д. И. Менлелеева 166, 167 8. Таблица элементарных частиц 168 9. Таблица свойств нуклидов Р70 1О. Формулы некоторых величии в гауссовой системе н в СИ 172 11. Соотношения между некоторыми единицами 173 12.

Основные физические постоянные 173 13. Греческий адфавит 175 ПРЕДИСЛОВИЕ Сборник предназначен в качестве учебного пособия в основном для студентов физических специальностей вузов, где изучают общий курс атомной и ядерной физики. Вместе с тем довольно широкий спектр задач — как по тематике, так и по уровню сложности — позволяет использовать данный сборник и в обычных технических вузах, и при изучении некоторых спецкурсов.

Сборник содержит около 800 задач с ответами и достаточно подробными указаниями для решения наиболее трудных из них. Для облегчения самостоятельной работы студентов в начале каждой главы помещен краткий обзор основных понятий и соотношений, необходимых для решения задач данной главы. В конце сборника даны необходимые справочные таблицы и сводка основных физических постоянных. Все формулы приведены как в гауссовой системе (СГС), так и в СИ. Исходные данные и числовые ответы даны с учетом точности соответствующих величин и правил действий над приближенными числами. Основу данного учебного пособия составляет радикально переработанный «Сборник задач по атомной и ядерной физике» (М., !984).

При переработке был усилен акцент на вопросах квантования; исключены вопросы, не имеющие непосредственного отношения к квантовой физике; исключены второстепенные и малоинтересные в физическом отношении задачи; включено довольно много новых задач; ряд громоздких задач, содержащих много емких пунктов, разбит на отдельные задачи и др. И. Иродов ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Векторы обозначены жирным прямым шрифтом (например, т, В). Та же буква светлым шрифтом (о, В) означает модуль соответствующего вектора. Средние значения величин отмечены скобками ( ), например ()), (х).

Терминами Л- и Ц-системы обозначены лабораторная система отсчета и система центра масс соответственно. Все величинм в Ц-системе помечены сверху значком (тнльда), например р, Е Звертив: К вЂ кинетическ, (т-- потенциальная, Š— полная. Вр — произведение инлукпии магнитного поля на радиус кривизны траектории частицы. Все операторы (кроме координат и функций, зависящих только от координат) отмечены сверху значком л, например А, р„ Обозначения единиц физнческих величин ч — час зВ электронвольт А — ампер тех — --ангстрем атм атмосфера б — бари Бк — беккерель  — вольт Вб — вебер Вт — ватт Гс — гаусс Гц — герц Дж — джоуль дин — дина К --кельвин Ки — кюри кг --килограмм Кл-- кулон л —.литр м — метр мин — минута Мкс максвслл Па — паскаль Н --ньютон с — секунда ср — стералиан Тл †тес 1.

ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ ° Энергетическая свегнмость теплового излучения: М=си/4, (1.1) где с †скорос света, и--плотность энергии теплового излучения. ж Формула Вина для спектральной плотности энергии теплового излучения н закон смещения Вина: и„е юг)(и(Т), ).„Т=Ь, (1. 2) где и частота излучения; Т--температура; й„— длина волны, отвечающая максимуму распределения и„; Ь вЂ” постоянная. ° Закон Стефана †-Больцмана; М=аТ, (1.3) где о — постоянная Стефана — Больцмана. ° Формула Планка для спектральной плотности энергии: з 1 г з и'сз ехр(Ью)/гу) — 1 (1.4) й'- ь*= '', г =Л(» г *! ° Комцтоновское смещение длины волны рассеянного фотона: оа = й с (1 — сох 3), (1.5) (1.6) тле Хс=2яЫтс — комптоновская длина волны частицы. ° Угол 3, на который заряженная частица рассеивается кулоновскнм полем неподвижного ядра, определяется формулой !3(3,'2)=Ь г)глг!2ЬК.

(1.7) гле г)г н дг — -зарялы взаимодействующих частиц, К вЂ” кинетическая анар~ля налетающей частицы, Ь вЂ” прицельный параметр. Здесь и далее Ь =1 (СГС) или !,г4ясе (СИ). ° Формула Резерфорда для относительного числа частиц, рассеянных в элементарном телесном угле г((2 под у~лом 3 к переоначадьному направлению нх движения: г(дг ( й~ йг — =л Ь Ь! 1, * 4К ) з(цг(3!2) Ф Соотношения между полной энергией Е, импульсом р и кинетической энергией К релятивистской частицы массы лг: ~де и --число ядер фольги на единицу плоШади ее поверхности, К--кинетическая энергия налетагоших частиц, с)Г) = з)п ЗЮ х)гр.

° Схема возникновения основных серия водородополобных ионов показана на рис. Ь! ° Обобшенная формула Бальмера: Г! )з ре~ г з)* *1) з' где ы †циклическ частота перехода между состояниями с квантовыми числами и, и из, Л вЂ” заряд ядра !в единицах е), й — постоянная I Ридберга, р — приведенная масса системы 1прн .,< .'Р=иь) Рис.

Ь! ° Резонансная линия — спектральная ли- ния, обусловленная переходом атомов из первого возбужденного состояния в основное. Тепловое излучение. Формула Планка 1.1. Доказать, что энергетическая светимость теплового излучения определяется формулой (!.1). 1.2. Тепловое излучение может быть представлено распределением энергии либо по длинам волн с максимумом при ),„о либо по частотам с максимумом при у,„. Показать, что при одной и той же температуре )ь <с/чг . 1.3. Воспользовавшись формулой Вина, показать, что: а) наиболее вероятная частота теплового излучения ез г-Т; б) энергетическая светимость МоыТа, 1.4. Показать с помощью формулы Вина, что в спектре распределения теплового излучения по длинам волн: а) наиболее вероятная длина волны ) „гчз!/Т; б) максимальная спектральная плотность энергии пропорциональна Тз.

1.5. В результате расширения Вселенной после Гигантского Взрыва возникшее электромагнитное излучение начало остывать. В настоящее время это излучение (его называют реликтовым) имеет вид теплового излучения с максимумом испускательной способности при длине волны ). = 1,07 мм. Какова температура этого излучения? 1.6. Начальная температура теплового излучения Т= 2000 К. На сколько кельвинов изменилась эта температура, если наиболее вероятная длина волны в его спектре увеличилась на Л).= 2б0 нм? 1.7.

При переходе от одной температуры к другой площадь под кривой функции Кирхгофа 1'1).) уменьшилась в г)=13 раз. Как и во сколько раз изменилась при этом длина волны, соответствующая максимуму функции г(Х)? И 1.8. Найти наиболее вероятную длину волны в спектре теплового излучения с энергетической светимостью ' М=5,7 Вт!ем~. 1.9. Солнечный спектр достаточно близок к спектру теплового излучения с наиболее вероятной длиной волны ),„,=0,48 мкм.

Найти мощность теплового излучения Солнца, Оценить время, за которое его масса уменьшится на один процент (за счет теплового излучения). Масса Солнца 2,0 10'~ кг, его радиус Я=7.0 10 м. 1ЛО. Имеются две полости 1 и 2 с малыми отверстиями одинакового радиуса г = 5,0 мм и абсолютно отражающими наружными поверхностями. Полости отверстиями обращены друг к другу, причем расстояние между этими отверстиями 1=100 мм.

В полости 7 поддерживают температуру Т, =1250 К. Найти установившуюся температуру в полости 2. Иметь в виду, что абсолютно черное тело является косинусным излучателем. 1.11. Зная, что давление теплового излучения р=и~3, где и — гглотность энергии излучения, найти; я) давление теплового излучения во внутренних областях Солнца, где температура Т=1,6.10~ К; б) температуру Т полностью ионизированной водородной плазмы плотностью р=0,10 г(см', при которой давление теплового излучения равно кинетическому давлению частиц плазмы (при высоких температурах вещества подчиняются уравнению состояния для идеальных газов). 1.12. Медный шарик радиусом г = 10,0 мм с абсолютно черной поверхностью поместили в откачанный сосуд, температура стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю.

Начальная температура шарика Те=300 К. Через сколько времени его температура уменьшится в т) =1,50 раза? Удельная теплоемкость меди с=0,38 Дж~(г К). 1.13. Вин предложил следующую формулу для распределения энергии в спектре теплового излучения: ц =,4вззе ""'т где а=7,б4 !О '~ К с. Найти с помощью этой формулы при Т= 2000 К: в) наиболее вероятную частоту излучения; б) среднюю частоту излучения. 1.14. Воспользовавшись условием предыдущей задачи, найти: а) наиболее вероятную длину волны излучения; б) среднюю длину волны излучения. 1.15. Определить число собственных поперечных колебаний струны длиной / в интервале частот 1вз, а+йо), если скорость распространения колебаний равна е. Считать, что колебания происходят в одной плоскости.