И.Е. Иродов - Задачи по квантовой физике, страница 5

° Коэффициент прозрачности Р потенциального барьера ту1х) (2 5) где хз и хз — координаты точек, между которыми Гу>Е Волны де Бройля 2.1. Вычислить дебройлевскую длину волны электрона и протона, движущихся с кинетической энергией 1,00 кэВ. При каких значениях кинетической энергии их длина волны будет равна 100 пм7 2.2. При увеличении энергии электрона на ЛЕ=200 эВ его дебройлевская длина волны изменилась в э) =2,0 раза. Найти первоначальную длину волны электрона. 2.3.

Найти длину волны молекул водорода, движущихся с наиболее вероятной скоростью в газе при темперагуре 0' С. 2.4. Определить кинетическую энергию протона, длина волны которого такая же, как у сг-частицы с Вр = 25 кГс см, где В- магни~ная индукция, р — радиус кривизны траектории (окружности). 2.5. Какую дополнительную энергию необходимо сообщить электрону с импульсом 15,0 кэВ~с (с — скорость света), чтобы его длина волны стала равной 50 пм? 2.б. Протон с длиной волны ) =1,7 пм упруго рассеялся под углом 90' на первоначально покоившейся частице, масса которой в п=4,0 раза болыпе массы про~она. Определить длину волны рассеянного протона.

2.7. Нейтрон с кинетической энергией К=0,25 эВ испытал упругое соударение с первоначально покоившимся ядром атома еНе. Найти длины волн обеих частиц в их Ц-системе до и после соударения. 2.8. Два атома, 'Н и Не, движутся в одном направлении, причем длина волны каждого атома ).=60 пм, Найт.и длины волн обоих атомов в их Ц-системе.

2.9. Две одинаковые частицы движутся с нерелятивистскими скоростями перпендикулярно друг другу. Длины волн частиц равны Х, и Хэ. Найти длину волны каждой частицы в их Ц-системе. 2.10. Релятивистская частица массы т движется с кинетической энергией К. Найти: а) дебройлевскую длину волны частицы; б) значения К, при которых погрешность в длине волны, определяемой по нерелятивистской формуле, не превып1ает одного процента для электрона, для протона 2.11.

Найти кинетическую энергию, при которой дебройлевская длина волны электрона равна его комптоновской длине волны, 22 2.12. На какую кинетическую энергию должен быть рассчитан ускоритель заряженных частиц с массой ~п, чтобы можно было исследовать структуры с линейными размерами !7 Решить этот вопрос для электронов и протонов, если 7- ! фм.

2.13. Вычислить длину волны релятивистских электронов, подлетающих к антикатоду рентгеновской трубки, если длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра равна Х„= !0,0 пм. 2 14. Воспользовавшись формулой распределения Максвелла, найти функцию распределения молекул газа по дебройлевским длинам волн, а также их наиболее вероятную длину волны. Масса каждой молекулы т, температура газа Т. Вычислить наиболее вероятную длину волны молекул водорода при Т=ЗОО К. 2.15. Функция распределения атомов по скоростям в пучке имеет вид 7(и) и ехр( — я ), где и — -отношение скорости атома в пучке к наиболее вероятной скорости в„, в источнике (в„„= у 2!гТ)ьч ).

Найти функцию распределения по дебройлевским длинам волн. Вычислить наиболее вероятную длину волны в пучке атомов гелия при температуре источника 300 К. 2.16. Поток моноэнергетических электронов падает нормалыю на диафрагму с узкой щелью шириной 6=2,0 мкм. Найти скорость электронов, если на экране, отстоящем от щели на /=50 см, ширина центрального дифракционного максимума Лх = О,Зб мм. 2.17. Найти кинетическую энергию электронов, падающих нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, если на экране, отстоящем от диафрагмы на 1= 75 см, расстояние между соседними максимумами Ах= 7,5 мкм.

Расстояние между щелями 1=25 мкм. 2.18. Узкий пучок моноэнергетических электронов падает под углом скольжения 8=30" на естественную грань моно- кристалла алюминия. Расстояние между соседними кристаллическими плоскостями, параллельными этой грани монокристалла, Ы=0,20 нм. При некотором ускоряющем напряжении ив наблюдали максимум зеркального отражения Найти К„ если известно, что следующий максимум зеркального отражения возникал при увеличении ускоряющего напряжения !ув в т! =2,25 раза.

2.19. Пучок электронов с кинетической энергией К= !80 эВ падает нормально на поверхность монокристалла никеля. В направлении, составляющем угол и= 55 с нормалью к поверхности, наблюдается максимум отражения четвертого порядка. 23 Найти межплоскостное расстояние, соответствующее этому отражению. 2.20. Пучок электронов с кинетической энергией К= 1О кзВ проходит через тонкую поликристаллическую фольгу и об— разует систему дифракционных колец на экране, отстоящем от фольги на р (=10,0 см. Найти межплоскостное расстоРис. 2Д яние, для которо~о максимум отражения третье~о порядка соответствует кольцу с радиусом г = 1,6 см. 2.21.

Электроны с кинетической энергией К=!00 эВ падают под углом Э=30' к нормали 1рис. 2,1) на систему из двух параллельных сеток, между которыми имеется задерживающая разность потенциалов б'= 51 В. Найти: а) показатель преломления области 2 относительно области !; б) значение С'„р, при котором данные электроны не проникнут в область 2.

2.22. Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов С~, падает на поверхность никеля, внутренний потенциал которого Ц=15 В. Вычислить: а) показатель преломления никеля при юг=150 В; б) отношение б'/б'о при котором показатель преломления отличается от единицы не более чем на 1,0%. 2.23. Пучок электронов с кинетической энергией К=60 эВ падает на поверхность платины, внутренний потенциал которой У,.=12 В. Угол падения Э=60 . Найти угол преломления. 2.24. Формула Брегга — Вульфа с учком преломления электронных волн в кристалле имеет такой вид: 2д огиз — соз'Э=к), где д — межплоскостное расстояние, и— показатель преломления, Э вЂ” угол скольжения, к — порядок отражения. Найти с помощью этой формулы внутренний потенциал 1г, монокристалла серебра, если пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов ~!=85 В, образует максимум 2-го порядка при зеркальном отражении от кристаллических плоскостей с 1=204 им под углом Э=30".

2.25. Частица массы т движется в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы 1, Найти значения энергии частицы, имея в виду, что возможны лишь такие состояния, для которых в яме укладывается целое число дебройлевских полуволн. 2.26. Интерпретировать квантовые условия Бора на основе волновых представлений: показать, что стационарным боровским орбитам соответствует целое число дебройлевских волн. Найти длину волны электрона на и-й орбите.

24 2.27. Полагая. что волновая функция — ч Ч'(х, с), описывающая движение частицы, представляет собой суперпозицию дебройлевских волн с одинаковыми амплитудами ~ Я .. и мало отличающимися друг от друга (( . р волновыми числами в интервале (/си+ Л1с): а) преобразовать Ч'(л, г) к виду Ч' (х, г ) = А (х, с ) ехр [1(сл„г — lс„х ) ); Рис 2.2 б) получить выражение для скорости перемещения данной группы волн, т.

е. максимума функции А(х, с). 2.28. Показать, что групповая скорость волнового пакета, соответствуюшего свободно движущейся частице, равна ско- рости самой частицы. Рассмотреть нерелятивистский и реля- тивистский случаи. 2.29. Поток электронов падает на экран с двумя щелями 1 и 2 (рис.

2.2). В точке Р расположено входное отверстие счетчика. Пусть с)с, --- амплитуда волны, достигшей точки Р, если открыта только щель 1, а ф, -то же, но если открыта только щель 2. Отношение с)с, /с)с, = г1 = 3,0. Если открыта только щель 1, счетчик регистрирует Х, =100 электронов в секунду. Сколько электронов ежесекундно будет регистрировать счетчик, если: а) открыта только щель 2„. б) открыты обе щели и в точке Р наблюдается интерферен- ционный максимум; в) то же, что в нредыдушем пункте, но в точке Р- минимум? 2.30. В некоторый момент координатная часть волновой функции имеет вид с)с(х)=А ехр(1)сх — х 14о~), гле А, 1с, о — постоянные. Изобразить примерный вид зависимосги: а) действительной части с(с от х; б) ) ф1~ от х.

2.31. Определить распределение плотности вероятности ме- стонахождения частицы и эффективный размер области ее локализации, если состояние частицы в данный момент опи- сывается волновой функцией с)с(х). представляющей собой супернозицию дебройлевских волн с одинаковыми амплитудами а и мало отличающимися друг от друга волновыми числами в интервале (/си + Л)с). Соотношение неопределенностей Гензенберга 2.32. Показать, что измерение координаты х частиц с помощью узкой щели шириной а вносит неопределенность в их импульсы 1зр„такую, что Ахар, > л.

2.33. Поток электронов с дебройлевской длиной волны )с=11 мкм падает нормально на прямоугольную щель шириной 25 Риа. 2.3 Рис. 2.4 Ь = 0,10 мм. Оценить с помощью соотношения неопределенностей угловую ширину пучка за щелью (в угловых градусах). 2.34. Убедиться, что измерение координаты х частицы с помощью микроскопа (рис.

2.3) вносит неопределенность в ее импульс Лр„такую, что ЛхЛр > Ь. Иметь в виду, что разрешение микроскопа Ы=Х/в)п9, где Х вЂ” длина волны используемого света, 2.35. Плоский поток частиц падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, образуя на экране дифракционную картину (рис. 2.4). Показать, что попытка определить, через какую щель прошла та нли иная частица (например, с помощью введения индикатора И) приводит к разрушению дифракционной картины. Для простоты считать углы дифракции малыми. 2.36. Оценить наименьшие погрешности, с которыми можно определить скорость электрона и протона, локализованных в области размером 1 мкм. 2.37.

Оценить неопределенность скорости электрона в атоме водорода, полагая размер атома порядка 0,1 нм. Сравнить полученное значение со скоростью электрона на первой боровской орбите. 2.38. В некоторый момент область локализации свободного электрона Лхб=0,10 нм. Оценить ширину области локализации этого электрона спустя промежуток времени ~=1,0с. 2.39. Оценить минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером 1=0,!О нм.