Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы

И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы, страница 26

DJVU-файл И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы, страница 26 Математический анализ (2693): Книга - 3 семестрИ.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы: Математический анализ - DJVU, страница 2019-05-06СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 26 - страница

параллельная оси Ох;, л = 1, т, либо не пересекается с К, либо имсега с К один общий сегменол. когиорый.ножет вырождагвься а олочку. Указанный в определении сегл~ент л~ожно задать в виде р,(хы ..., х; и х,»л, ..., хт) < з, ( г)Ч(хг, ..., х, л, хвел, ..., х,„), где Лв,. ф; — непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов. Определение 2. Ь"омиакт К С и с кров»~ дК называется простым, если существует его представление в виде К=ЦКзч 1 где К» — зз»ментарные ко»нгокты без общих внутренних точек с хроями дК», У = 1, т.

8 б. Формулы Остроградского» Грина н Стокса 18т Следовательно, 11 12 2. В» 181. Вычислить крквоакнейиээй интеграл 1 = / (с» нв у — ту)де + (с*от у — т) ду, 4»»0 где ЛаэΠ— верзила поауокрумкость, задзнкал уравненном х + у ах, пробегаемал от 2 2 точки Л = (а, 0) до точки О т (О, О). ч На сегменте (О, а) подынтегральное выращснке равно нулю„поэтому интеграл по кривой ЛтО равен интегралу по замкнутому контуру ЛтОЛ, состолщему из кривой ЛтО и сегмента (О, а), ограничивающему область 11 = (» (х, у) ч Жэ: 0 ~( х ч а, 0 ( у ( 4ах — хэ), в силу чего момен применить формулу (8); 1»а / (е зэку — ту)дх+(е сову — т)ау= .йз»вд 1»1'( — э - >- — э — >)»».- 1/д д / ~дх ду о т 2 Ддхду т — .

° 8 и Рис. 1э 162. Вычислить криволинейный интеграл 1 = / (р(у)с — ту) дх+ (р (у)с — т)ау, Лтл ЛтВЛ к ло отрезку ЛВ (рис. 19): 1 т (р(у)е" — ту) де+(р(у)е — т) ду+ (р(у)е — вэу) да+ (р (у)е* — т) ду = 1~+ Хэ. Интеграл 1» вычислим, применив формулу (8): 11/д, . д = 11'( — ~ 'и"- )- — ~че"--») ""="Ц""-"» 11 ~дх ду о Дал вычксаекил интеграла 1э преобразуем подынтегральиое вырамснке к виду (р(у)с — ту) дх + (э» (у)е — т) Ыу = (р(у)е* — ту) да + (р'(у)а — тх) ду+ т(х — 1) ду = Ыв + т(х — 1) ду, где 4и — полный дифференциал некоторой футщнн.

Следовательно, 1, ~ + 1~( -1)ду, где э», э»' — непрерывные функцкк, Лт — произвольный путь, соедаиающнй точки Л = (хм у~) к В = (хэ, уэ), ко ограикчнвиощнк вместе с отрезком ЛВ фигуру З, площадь которой равна данкой величине Р. ч Интеграа ло кривой Л тВ представим в виде суммм интегралов по замкнутому контуру 188 Гл. 2. Краттгыен криволинейные интегралы где первый интеграл в правой части зтого равенства не завксит от выбора пути интегрирования, соединяющего точки А н В. Таким образом, з Ур 4и = / (у(уг)е — пзу>) дх+ ~ (зз (у)е** — пзхз) ду = ю(уз)е*' — р(у>)е ' — >п(хгуз — х1у>). яв 91 На отрезке АВ выполняется равенство у = у1 + -"з=хь(х — х>), в силу чего имееы *з-з~ зз зз пз /(х — 1)Ну=из (х — 1)дх ж пз хз — х> у хз — хг 2 яВ пз п1 = — (уз — у>)(х> + хз — 2) = — (уз — у>)(х1 + хз) — тп(уз — у> ).

2 2 Складывая полученные значения интегралов, окончательно найдем 1 = тпР + >з(уз)еы — >з(у~)е ' — — (хг — х~ Иуз + у> ) — пз(уз — уз). М 2 183. Определить дважды непрерывно дифференцируемые функции Р: Из 11, Я Из — И так, чтобы криволинейный интеграл Х = ~ Р (х + о> у +,3) <Ь + Щх + о, у + р ) Иу для любого замкнутого контура > не зависел от постоянных а.

и д. М Если функции Р и Я удовлетворяют поставленному условию, то должно выполняться равенство (х+ ~ у+д)ях+фх.>.о>у+д)Дум ~ Р(х у)ох+1>( )д для любого замки>.того контура т, в сиду чего имеем 1> =~Рдх+ Яду = 0, где Р = Р(х+.о, у+ д) — Р(х, у), Ц = 1„>(х+ а> у+ д) — Я(х. у). Для того чтобы криволинейный интеграл з1 по любому замкнутому контуру т был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы в односвязной области, ограниченной этим контуром.

ц на самоа> контуре выполнялось равенство — = — (которое следует нз формулы Грина). е7< зя з* зз Обозначив х+ а = С, у+ д = «, получил> написанное условие в виде дЯ дЯ дР дР— (6 «)- — (х у) = — й, «)- — (х:у) дб ' дх ' д« ' ду откуда имеем равенство — й, «) — — (6 «) = — (х, у) — — (х у). д9 дР д9 дР дб ' д« ' дх ' ду Левая часть зтого равенства не зависит от С л «, поскольку правая его часть зависит только от х и у, следовательно, дг> дР дс) дР— =С, С=совзц дв дд д« да 189 3 б. 303ОРЫУКЫ Остроградского, Грина и Стокса Из условна а, — — „= С получаеыравенство — (Щз, у)-С*) = — (*, у), справедливое вишь э эг в тоы саучае, когда Щх, у) — Сз = ~(з, у)+ 0(у), Р(л, у) = э (э, у) + У(э), где э, р, й— дважды мепрерывио щэфференцвруеыые функции.

Окончательно накодиы Вэ 0 Р = — + и(*), Я ж Сх+ — + й(у), С ж совэз. 1ь а ' = 09 1 лбу — 90з 164. Вычмсакть мнтеграа 1 ж ~ , где т — простой замкнутый контур, не 22+ 2 проходящий через начаао косрдмиат, пробегаеыый в поаожмтеаЬНОЫ иаПРаваенмн. ч Еслм контур т не окружает качало координат, то, применив формулу Грина, получки У-Ц(д— (,~,)у — (~))а а - (1 " ',+;, "а н =а и о Если контур т окружает начало коордмнат, то применять формулу Грмма нельза, поскольку область В в этом случае неоднссзязна.

В зтоы случае будем зычмслять интеграл 1 непосредственно. Обозначмм через ы дифференциальное выраженке цод знаком интеграла 1. Покажем, что интеграл т не завнсат от выбора кривой т, окружающей начало координат. Пусть Ъ н уэ — произвольные непересекающиеся замкнутые гладкие нлн кусочно-гладкие контуры, окружающие начаао координат н огранмчивающме простую область 11 С Из'1((0, О)) .

Прм положвтеаьиой ориентации границы Рнс. 30 т = щ 33 тэ обаасти 13 мапрэалення обхода кривых щ и тз будут противоположны (рнс. 20). Двухсаэзная простая область Р ие содержит особой точкк подынтегрального выражения ы, поэтому, согласно формуле Грина, ныееы откуда следует равенство показывающее, что интеграл 1 ке зависит оз выбора замкнутой хривой у, окружающей начало координат.

Взяв окружность у = ((*, у) б Из; * ж асов и, у ж с ив и, 0 4 22 4 Зт), получки 3 31 Г 2 2 ' 2 3 1 з ''ы и+с ыв э э IэЪ» 185. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой т, заданной уравиеииеы ~-) + () -() () + Н е) О О) О и> О, котреэкаык осей координат. 01 13 О М Д222 Ре3веина примера аоспользуеыса форэаулой (у). ЬОО Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы 2 з Полагая х = орсоз 1», у ю 6рзщ 1» (О ( з» < "-), получим уравнение заданной кривон в полярных координатах, используя которое, находим ее параметрические уравнения з з Ь соззызгп»1»+млз1зсоз» 1»1 з 2 а созз1»з1л'и го+ з1лз рсоа» 1р1 2 соз» <р 3 ил» р 3 ь и Пз разенсгза к = — гл 1», О < с» < —, получаем г --1 соз и 1» 1 з 3-- --1 з з -(хйу — у~1х) = -х О ~-) = — згп рсоа и:р+2з1в1»сохо+»1в псов и йр, 2 2 ~х) в О < д < —.

2 з з 3 2 з 2 3 а-- . з-- ап» рсоа рде = ( соз«рз1л и р4». о о Получим 2 3 г г 1 з-- юл с» со» г» Н1»+ ал мсоз» 1»О»» 2аЬ Р=— в 186. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой т, заданной уравнение»~ (-) +Я =с( — ) (-), >О, Ь>О, с>О, в>О. з м Переходя к обобщенным ползрным координатам по формулам х = арсоз~~~.! зз, к = 2 2» зп Ьр»1п~~+' 1», получим уравнение кривой у в виде р = ссозх»а' пап ~"+~ 1», из которого заключаем, что прн изменении р от О до и криваа выходит нз начала координат и возвращается г в него, т.е, является петлей. Используя уравнение кривой т в повлриой системе координат, получим ее параметрические уравнениа, в которых параметроы служит угол ри Зп+2 зп х = оссоз ьн.1 П зщ зпе),р 3 в»аз т р = 6ссозз е~ р агав»+~ 1» О <,и < 2' Поскольку х йв — вал = О на отрезках осей координат, ограничивающих фигуру.

то форл~ула (7) принимает вид Р= — ~ хйу — у~1х. 2 / Заменим криволинейный интеграл определенным. приняв во внимание равенство 192 Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы При стягивании контура 1 в точку (яо, уо) получим, применив теорему о среднем и пользуясь непрерывной диффереицируемостью функций Р и 14: 1 (Г !дР дЯ 1 дР д() Ищ — г г ~ — + — ) дя Иу = — (яо, уо) + — (хо, уо). я1о1-о В уу ( дх ду) дя ' ду Следовательно, !цп — (Х, и) 41 = — (хо, уо) + — (хо. уз). > 1 У дР дЦ <и> .

В ~ ' д* ' ду 190. Доказать, что если 5 — заыкнутая простая поверхность и е — любое постоянное направление, то 1= О соя(п. е)ЫЯ=О, 5 где и — внешняя единичная нормаль к поверхности 5. ч Пусть е = (созао, созро. соз1о) — единичный фиксированный вектор.

Тогда можно написать равенство соз(и, е) = (и, е) = соя о соя аз + совр созда+ соя 1 солта, где сова, созд. соя Π— направляющие косинусы вектора нормали и. Применив формулу Остроградского (3), получим 1 Гд д д ~=Ц~,ао-Ц( — .~ — а+ — -.„)н ь~ = . ° / 1,дх ду дг 191. Доказать, что объем 1г конуса, ограниченного гладкой конической поверхностью 5, заданной уравнением Г(х, у, г) = О. и плоскостью, заданной уравнением Ая+Ву+Сг+11 = О, РВ вычисляется по формуле Г = —, где Р— площадь основания конуса, расположенного в 3 данной плоскости, Н вЂ” его высота.

ч Не ограничивая общности, можем считать, что вершина конуса находится в начале координат, а плоскость, в которой расположено основание конуса, пересекает положительную полуось Оз (зтого всегда лшаано добггться путем линейного преобразования координат). Для вычисления объема конуса воспользуемся формулой (4), которую запишем в виде Г = — ~~ (т, и) дд = — О (г, и) ИЯ + — ~~(г, и) дд, где Яг — основание конуса, Яз — его боковая поверхность, т = (х, у. г) — радиус-вектор точки М = (я, у, з) на поверхности конуса, и = (сова, соя д, сову) — единичный вектор нормали к поверхности конуса (рис. 21). На боковой поверхности конуса векторы т н и ортогоналъны, позтому ~~(т, и) ЫЯ = О.

Следовательно, 1' = го(т, и) 4Я. яь На множестве Яг выполняется равенство А В 11 з= — — х — — у — —, С С С' Гл. 2. Кратньве и криаолннейиьве интегралы Рис. 23 Рис. 22 Если а < Ьв, то С > О, и носкольку сов т < О. то С 7т~~в ~с ' С *, 6 68 А+В;С'Ы ~(, )юг=-да~.,сА ° в..сн, в..сс~ьг.. где А= ' = -сх(е, е)сохи, В = ' = -су(е, ю)сове. Р(у> в) 2т(в, х) 23(и, е) ' ' 2т(е, е) Таким образом, в Складывал полученные значенил, и с > О имеем 4 в 2 в 4 /в 6в'в У ж -1га с+ -х6 с = -хс а +— 3 3 3 ~, 2) Если с < О, то, очеаидно, нолучнм /, 6в~ У вв -хс ~а'+ -~ .

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее