А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Решение системы уравнений (68,14) можно искать в виде рядов г (р) = ехр ( — р) ~ р'+"а„, В(р)=ехр( — р) Х р'+"Ь Подставляя (68,15) в уравнения (68,14) и приравнивая коэф- фициенты при р'+ ', находим (Й + з) Ь — гааз = О, — гаьз+ (й — з) аз — — О, (68,15) ~ а„, +гаа — (а+ч+ й)ь„+ Ь,=О,  — Ь„,— гоь,— (з+ч — й) .+ „,— О, А если ч,чь О. (68,17) Из системы уравнений (68,16) следует йз — зз — гзаз = О или з = (йз — гзаз) 1. (68,18) Решения, соответствующие отрицательному знаку перед корнем ',(71,18), отброшены, так как они приводят к волновым функциям, расходящимся в нуле. Умножая первое уравнение (68,17) на В, а второе уравнение иа В и вычитая одно из другого, находим связь между коэффициентами а„и Ь„: ц, (ф -й-га+ а+ т — Й) = Ь„()/ — (з+ ч+ й) — га).
(68,19) и безразмерную длину (для случая Е = глез) р=гВ, Вйс= у'т'с' — Ез= йс Р'АВ, (68,13) преобразуем систему уравнений (68,11) к безразмерным пере- менным КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ 'ТЕОРИЯ [Гл. ч!п 318 (68,13) имеем с и'1+ (к à — ' ') 1 где Ь = + 1, ~ 2, ..., Ф= О, 1, 2, ... Если разложить (68,20) в ряд по степеням 3тат, то с точностью до членов (Еа)т получаем 11+( ) 1 ь) 4 )~' (68,21) где п=)ч'+) й ~=1, 2, ... — главное квантовое число. Первый член правой части (68,21) совпадает с энергией, определяемой нерелятивистским уравнением Шредингера без спина.
Второе слагаемое определяет релятивистские поправки для частицы со спином '/ь Учитывая, что ~й~ = 1 + '/и и переходя к атомным. единицам, мы убедимся, что формула (68,21) совпадает с формулой (67,14), полученной методом теории возмущений. Перейдем теперь к исследованию радиальных собственных функций точного решения уравнения Дирака. Этн функции выражаются формулой (68,10), в которой функции г и 6 определены рядами (68,15). Коэффициенты а, и Ь, выражаются через аз и Ьз с помощью уравнений (68,17) н (68,19) при г = (йт — 2эа')Уа.
На бесконечности эти функции обращаются в' нуль по тому же закону, что и в теории Шредингера (3 38). Убывание происходит тем быстрее, чем меньше главное квантовое число. Поведение волновых функций при малых р определяется асимптотическим выражением а.Ьу Аа жаа %" -ьЬ УМ-Хаааа (68,22) Ряды (68,!5) будут соответствовать' регулярным на бесконечности решениям, если они будут обрываться при конечном значении ч = Ф. Полагая в (68,17) ам+1 = ЬВ ы — — О, находим )/В а„= — )~АЬ„, )У=О, 1, 2, ... (68,17а) Подставляя далее (68,17а) в (68,19) при ч = )У, получаем уравнение Еа = 2 (з + Ф). Подставляя в это равен~тво значения (68,12) и (68,13), находим а а — — Ь+ж)Ч а'а.
Из этого уравнения можно вычислить энергию. При учете атом во внвшнвм магнитном пола 319 $69. Атом во внешнем магнитном поле Если на атом действует внешнее магнитное поле, то егоэнергетические состояния изменяются. Смещение энергетических уровней атома под влиянием внешнего магнитного поля называют эффектом Зеемана. В этом параграфе мы рассмотрим элементарную квантовую теорию эффекта Зеемана. Как было показано в Я 63 и 67, в квазирелятивистском приближении гамильтониан электрона, движущегося в электромагнитном поле с потенциалами А и Ао, определяется выра- жением (р — — А) 2м + еАо 2м (аЖ) + Ж~, (69,1) где й( — приведенная масса; е — заряд электрона; 1Р, = а(ьз)— оператор спин-орбитального взаимодействия; а = Лез(2Мосого)-'. Если атом находится во внешнем однородном поле напряженности Ф, то хе' 1 еАо = — —, А= 2 (ЖХг). (69,2) При малых полях в (69,!) можно пренебречь Ао и написать Н = Но+ Я7 где р* хее Но= 2М вЂ”вЂ” е (69,3) — оператор Гамильтона для атома в отсутствие внешнего поля; ЯГ = — АЧ вЂ” — (аЖ).
геЬ ел Ме 2Ме (69,4) Для всех устойчивых атомных ядер Яа е '1, поэтомуприй=~2, ~3, ..., что соответствует 1='/ь ~1м " функция Ч" обращается в нуль при р- О. При к = ~1 (т. е. для з- н р-состояний) дираковская функция (63,22) является сингулярной в начале координат для всех квантовых чисел п. Однако, если Ясо мало, эта сингулярносхь очень слабая. В реальных атомах сингулярность 'функций (при й = ~1) в нуле отсутствует, так как вследствие конечных размеров ядер потенциальная энергия отлична от кулоновской и не стремится к бесконечности при р О.
Более подробные сведении о волновых функциях Дирака для движения электрона в кулоновском поле ядра как в-случае дискретного, так .и непрерывного спектра можно найти в работах !62) . (63).' КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [гл, юц Подставляя (69,2) в (69,4) и вспоминая, что Е =(гк, ( — Ыт)], мвжно преобразовать оператор (69,4) энергии взаимодействия электрона с однородным магнитным полем к виду )Р' = — рЖ, (69,5) где р= — ~ (Е+йз) (69,6) — оператор магнитного момента электрона, Х = Е + а (69,7) где оя — оператор, вид которого можно определить, умножив скалярно (69,9) на Х. Тогда получим 6= — 1+— Возводя (69,7) и квадрат, можно выразить Ха через квадраты операторов моментов.
Таким образом, находим — оператор полного момента количества движения. При отсутствии магнитного поля энергия стационарных состояний электрона определяется уравнением (Нз — Е„т) )а)1ят) = 0 (см. $67). Уровни энергии Е„т вырождены по квантовому числу т в соответствии с центральной симметрией поля (иет выделенных направлений). При наличии внешнего поля ЗЮ суммарное поле, действующее на электрон, имеет аксиальную симметрию. Поэтому вырождение по гл должно сниматься.
Перейдем к количественному вычислению эффекта расщепления. Изменение энергетических уровней атома под влиянием внешнего магнитного поля будем вычислять методами теории возмущений. Как было показано в $47, изменение энергии под влиянием внешнего возмущения в первом приближении выражается через матричные элементы оператора возмущений на волновых функциях невозмущенной задачи.
В операторе возмущения (69,5) магнитное поле не зависит от координат, поэтому вычисление сведется к вычислению матричных элементов типа (ось В направлена вдоль 36) (л1!'ТВ' ~ р, ) п)1т). (69,8) Для упрощения вычислений выразим оператор магнитного момента (69,6) через оператор момента количества движения (69,7) с помощью соотношения Й=аХ=2М,(Х+ ), (69,9) АТОМ ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ зг~ Следовательно, р =67 Подставляя это значение в (69,8) и учитывая, что функции ~п1йт) являются собственными функциями операторов б и Х„ получаем (.11Ъ ~р,ж~ И )= й~б..б„, (69,10) (69, П) где , + 1(1+ П+ е (а+ Л вЂ” 111+ В ~ г!О+И а=~1+ — множитель Линде.
Для электронов з = 'lа, 1 = 1~'Й. 1 = О, 1, 2, ... Поскольку отличны от нуля только диагональные элементы оператора возмущения, то энергия атома в первом приближении теории возмущений определится выражением елее гМ к~ где на = ~1; ~(1' — 1),... Итак, в магнитном поле (21+1)-кратное вырождение полностью снимается. Смещение уровней происходит симметрично относительно невозмущенного уровня Е„ь Расстояние между соседними расщепленными уровнями (69,13) Расщепление уровнеи энергии, определяемое формулой (69,13), носит название аномального эффекта Зеем она. Для частицы без спина (з = О) множитель Линде 6 5 4 5 а = 1.
В этом случае расстояние между соседними расщепленными уровнями одинаково независимо от характера состояния и равно ЬЕ = —. евгз гмс ' Такое расщепление предсказывалось классической электронной теорией. Оно носит название нормального эффекта Зеемана, 11 А. С. Давиаов пропорционально напряженности магнитного поля и множителю Ланде, зависящему от квантовых чисел 1, 1 и з. В табл. 10 приведены значения множителя Ланде для нескольких Таблица 1О атомных состояний (з='/а).
Значения множителя Линие соетояяяе е~н Р!н Рая лад лад КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ 1гл. уп! Нормальный эффект Зеемана 'наблюдается для некоторых состояний сложных атомов. Как будет показано в $ Ч6, состоя'- ние сложных атомов, 'содержащих несколько электронов, в некотором приближении можно характеризовать собственными значениями операторов суммарного спина всех электронов 8 = Хзь суммарных орбитальных моментов количества движения Х = ХА; и полного момента У = С+8. Изменение.энергетических состояний таких атомов в слабом однородном внешнем магнитном поле также определяется формулой евяг 6Е=2, Й' гмс где У (Х+ 1) + Я (3+ 1) — Х (Е + 1) а — 1+ 2У (Х+,1) Из этого выражения следует, что дли энергетических состояний с полным спином 3 = 0 (синглетные термы атомов с четным евж числом электронов) множитель и = 1.
В этом случае ЬЕ= —. 2МС ' что соответствует'нормальному эффекту Зеемана. Такое расщепление наблюдается у синглетных термов атомов цинка, кадмия и других. Формула (69,12) получена методом теории возмущений, поэтому она справедлива только для таких напряженностей магнитного поля, при которых величина расщепления (69,12) будет меньше разности энергий соседних уровней в атоме без поля, т. е. при выполнении условия ~ гм, ~ <<! Е 1 — Ем ! (69,14) Наименьшее расстояние между уровнями атома водорода соответствует тонкой структуре (расстояние между компонентами спинового дублета): Е з — Е 1 =0,365 см = 10 эрг.
Таким образом, аномальный эффект Зеемана должен наблюдаться в таких магнитных полях, когда величина расщепления,' обусловленного внешним магнитным полем, меньше расстояния между компонентами дублета. Если учесть, что еЬ/(2Мс) 9Х Х10™ эрг(Э, то мы придем к заключению, что слабыми полями для первых возбужденных уровней атома водорода следует считать поля с напряженностью магнитного поли 36( 1000 Э. Если величина расщепления ЬЕ, вызываемого магнитным полем, велика по сравнению с дублетным расщеплением уровней, то магнитное поле называют сильным, В таком магнитном поле разрывается связь спинового и орбитального моментов количества движения, и они взаимодействуют с магния~1ым полем независимо. Следовательно, в сильных магнитных полях оператор АТОМ ЕО внешнем ИАГнитнОм пОле взаимодействия электрона с магнитным полем можно записать в виде (69,15) При расчете величины расщепления энергетических уровней в сильном магнитном поле можно в нулевом пуиближении пренебречь спинорбнтальным взаимодействием н выбрать невозмущенные функции в виде ( л1ГЛ1т,), (69,16) 1 если т = —, е лг,+1, т1+2 — !, 1 если гл, = — —.
2' Расщепление уровней (69,17) должно наблюдаться в сильных магнитных полях. Расщепление этого типа носит название эффекта Пашена — Бака. Оно действительно наблюдается для некоторых уровней атомов: (л, (ча, О и др. в. магнитных полях с напряженностью, превышающей соответственно 36000, 40000 н 90000 Э. При более строгих вычислениях следует учесть оператор спин-орбитального взаимодействия Еее й.=ей'). е=„„,„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
