А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 50
Текст из файла (страница 50)
(63,3) Используя тождество (60, 10), находим ~п(р — —' ,А)~ =(р — е А) — е пго1А. Подставляя это выражение в (63,3) и вводя напряженность магнитного поля Н = го1А, получаем нерелятивистское уравне- ние для движения частицы со спином '/е в электромагнитном поле: ( е )Я Е'Ф 1 2 + еА — 2 (ОН) Ф. - (63,4) 1Ое Согласно общему правилу ($58), переход от уравнений свободного движения к уравнению, описывающему движение частицы в электромагнитном поле (А Ае), осуществляется с помощью преобразования КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЙ [Гл.
ши Уравнение (63,4) было впервые предложено Паули (1927 г.), поэтому его называют уравнением Паули Сравнивая это уравнение с нерелятивистским уравнением (58,9) для бесспиновой частицы (при условии ф(г, 1)= ф(г)е-[в[[А), мы убедимся, что (65,4) содержит в операторе Гамильтона дополнительное слагаемое (63,5) — ([А, Н) = — ро(ОН), где ро = ей/(2тс) — магнетон Бора. Выражение (63, 5) можно интерпретировать как энергию вза-.
имодействия с магнитным полем магнитного момента частицы, соответствующего оператору (63,6) Этот магнитный момент называют слиновал[ магнитным моменТОА[, так как он имеется только у частиц, обладающих спином. Таким образом, в нерелятивистском приближении оператор Гамильтона уравнения Дирака содержит член, учитыва[ощий внутренние магнитные свойства электрона. Величина этого магнитного момента и его свойства однозначно определяются уравнением Дирака..Это следствие теории прекрасно согласуется с экспериментом для электронов и хорошо подтверждает применимость уравнения Дирака для описания нерелятивистского движения электрона. Если ось г направить вдоль магнитного поля, то проекция оператора спинового магнитного момента электрона будет равна ой Собственные значения этого оператора равны ~ей/(2тс).
Учитывая, что собственные значения оператора з. = (й/2)о, проекции внутреннего механического момента равны ~й/2, получаем, что отношение магнитного спинового момента к механическому равно е/(тс), т. е. в два раза превышает соответствующее отношение для моментов, обусловленных орбитальным движением. Отметим, что введение взаимодействия электромагнитного поля с частицей спина '/, с помощью преобразования (63, 1) не является единственно возможным. Чтобы рассмотреть более об'щий случай„ удобно исходить из ковариантной записи уравнения Дирака (61,3) для свободного движения. В этом случае рассмотренный выше переход к уравнению движения з электромагнит« ном поле, описываемом четырехмерным потенциалом ЛР=(А, /Ао)» Х д = О, дкя РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ осуществляется преобразованием е д б -л1д — — А, 1) = — 18 —.
«с н н= дкн ° (63,7) Получаемое при атом уравнение Д~~ ун (бн - —, Ан) — (тпс) Ч'= О (63,8) АР=А;,+ (63,9) где 1 — произвольная функция, удовлетворяющая условию Х вЂ” =О. Инвариаитность по отношению к первому преобрад'1 дке, эованию следует непосредственно из ковариаитной записи уравнения (63,8). Инвариантность по отношению к градиентному преобразованию (63,9) легко может быть установлена, если одновременно с преобразованием потенциалов (63,9) провести в (63,В) унитарное преобразование волновой функции Ч" =Ч" ехр( —, 1). е(егио, однако, видеть, что требования релятивистской инвари- антности и инвариантности относительно градиентного преобра- зования потенциалов (63,9) будут выполнены и в том случае, когда уравнение (63,8) будет заменено уравнением ~~ УР~Рн — —,' Ан) — (шс1 '1'= — 18 р,',~~ УнутРтнЧ"> где н (63,11) д — безразмерный-параметр, ей йо = ° 2тс ' Если учесть, что компоненты напряженностей электрического и магнитного полей связаны с компонентами тензора (63, 11) соот- ношениями д'у = 1РИ, Я! = РА,! и принять во внимание равенства ш~ — — УАЙЛИ (а~ = УСУИ то ХЛну Г е= 2 (1 (аеа) — (а6)).
остается релятивистски инварнантным. Оно также инвариантно относительно градиентного (калибровочного) преобразования потенциалов КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ 1гл. ч!п е», где р = — ' о — оператор спинового магнитного момента чавмс стицы. Сравнивая (63,13) с-соответствующим выражением плотности тока для частицы без спина (58,6), мы убедимся, что спиновый магнитный момент частицы вносит в плотность электрического тока дополнительный вклад, равный с[ч К(Ч" 1ир)[.
5 64. Спин-орбитальное взаимодействие Рассмотрим движение частицы со спином '/т в электростатическом поле с точностью до членов порядка о')ст. Полагая в уравнениях (63,2) А = О, еАе = ч'(г), находим (при а = Е'+ гпс') систему уравнений [Е' — ч' (г)[ер= сору, [2глс'+ Е' — к' (г)] Х = сартр. (64, 1) (64,2) Вычислим из уравнения (64,2) функцию у. с точностью до пер- Е' — Г вых степеней отношения †. Подставляя значение Ьие' в уравнение (64,1), находим уравнение, содержащее только двухкомпонентные функции, (Š— $') Ю = — [1 — ) ор<р. е ер Г с' — е"1 2гл [ 2те~ ) (64,3) Тогда уравнение (63,10) можно записать в виде Д ч [р„— — А„) — (ис~ Ч"=й' ~' ((оее)+1(ад)) Че.
(63,12) Для электронов хорошее согласие с экспериментом получается при д = О. Для нуклонов вводят уравнения с д чь О. В заключение этого параграфа вычислим выражение для плотности электрического тока частицы спина '/е в электромагнитном поле. Пользуясь (59,9), выразим плотность электрического тока через двухкомпонентные функции 1 = сеЧ"~аЧР= се(~р~оХ+ й~ер). Если подставить в это выражение значение функции т, (63,2а), то после простых преобразований получим в нерелятивистском приближении 1 = —,„[Ч ~Яр — (7~рт) Ч[ — — ', юр+юр+ с [Ч Х (ЧР1мр)[, (63,13) спин-ОРвитАЛЬЙОе ВЗАимодеиствие 11ля преобразования правой части уравнения (64,3) используем (60,10) и равенство (ор) 1 (г)(ор) = ) (г) (ор) (ар) — гд (оагаб )) (ор) = =1(г)р' — (й((агаб 1)Р+ыо((агаб)) ХрП.
Тогда уравнение (64,3) преобразуется к виду Е'~р = Н'ц, (64,4) где Е' 1' и'= ~1 — ~,, ) ~ +к+ 4, ° ((агап 1') Х Р) — 4„... (агап ~") р. (64,5) Чтобы последовательно учесть все члены, имеющие порядок оз/сз, следует помнить, что функция ~р, согласно (60,16), нормирована с втой точностью условием ра =~чф — —,,)ра =1. рс (64,6) 4аРс' Удобнее вместо функции щ использовать другую функцию ч'=ач, (64,7) такую, чтобы ) Чс Чгдт= ) ср а аЧс(т= 1.
(64,8) Сравнивая (64,8) с (64,64, можно найаи явный вид оператора преобразования (с точностью до несущественного фазового множителя); р 1Ъ рс а=(1 — — ) =1 —— 4и'ст ) аеас' ' Преобразование функций (64,7) (не унитарное) должно сопровождаться преобразованием оператора Гамильтона. В этом легко убедиться, если написать уравнение (64,4) в виде е'ач=(ан'а ')аф Следовательно, оператор Гамильтона уравнения Е се = НЧс (64,9) с точностью до членов порядка о9сз равен — "'+ —..., Нагабт) Х Й+ — ",',. ъЧ (г). (64,0а) КВАЗИРВЛЯТИВИСТСКАЯ КВАИТОВАЯ ТВОРИЯ !Гл. Ти! При получении (64,9а) были использованы равенства ртУ (г) — У (г) р'= — ЬттзУ (г) — 2рй(йтад У) р, (! )рт». рт ( ) Первые два слагаемых в (64,9а) соответствуют нерелятивистскому оператору Гамильтона.
Три последних слагаемых учитывают релятивистские поправки порядка тР/сл. В этом легко убедиться, если учесть, что И" й'у й йтай'У вЂ” рУ и ЬЧ!аУ вЂ”, ртУ, где а — характерный размер системы. Итак, релятивистскую поправку и операто!!!у Гамильтона нерелятивистского движения частицы со спииом /з можно записать в виде (64,10) й» = )т! + йгг+ й'з» где (64,11) — поправка, впервые' введенная Дарвином [41]. В случае кулоновского поля У(г) = — ез.Цг.
Учитывая, что»РЯ вЂ” = — 4пй(г), ! получаем нй»а»Х йу! яп!зс» б (г) Величину )У! иногда называют оператором контактного взаимодействия. Он определяет дополнительную энергию взаимодействия электрона с ядром в э-состояниях. 1)т !В" — У1' я=в (64,12) †поправ к оператору кинетической энергии, возникающая из-за изменения массы частицы при изменении ее скорости. Наконец, )рз = —...
[(Ига!( У) Х р] (64,13) — поправка, которую называют оператором спин-орбитального взаимодействия. Вид оператора спин-орбитального взаимодействия может быть установлен нз общих соображений. Оператор спин-орбитального взаимодействия в нерелятнанстской теории должен быть скалярной величиной относительно вращений н пространственных отражений, составленной из операторов спина а, импульса р и скалярной потенциальной знертни. Поскольку спин-орвитлльное взлимодеиствие р — нолярный вектор, а а — акснальиый вектор, то единственным возможным скалярам будет втз Ан 1(ктай У) Х Р), где А — ностоянная. Как показано выше, из уравнения Дирака следует, что А = а/(4тнтст).
В центрально-симметричном поле д)т агаб У = —,—,. дт следовательно, "з= — 4ша,т (ДАХР). (64,16) )У(ы рассмотрели движение частицы со спином 'Ь в электромагнитном поле. В этом случае взаимодействие характеризуется электрическим зарядом е частицы, Однако взаимодействия между элементарными частицами могут осуществляться и силами, не зависящими от электрического заряда.
Таковы, например, ядерные взаимодействия между нуклонами, обусловленные взаимодействием нуклоиов с мезонным полем, или взаимодействия нуклонов с электронно-нейтринным полем, приводящие к преобразованию нуклонов в ядрах и т. д. Таким образом, представляет интерес исследовать более общий случай движения частицы в произвольном внешнем поле.
В наиболее общем виде движение частицы со спином 'Дз в произвольном внешнем поле определяется уравнением - (1 У уф„+ ии) %» = — ~ 9„%", (64,16) а где ߄— операторы, соответствующие возможным типам взаи- модействия частицы с внешним полем: Подставляя это выражение в (64,16), находим оператор спин- орбитального взаимодействия для движения частицы спина 'Й в центрально-симметричном поле И7з = (2лз~саг) — (зЬ), (64,14) й где а- = (г Х р) — оператор орбитального момента, и = — ив 2 оператор спинового момента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
