А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 49
Текст из файла (страница 49)
е. уху„+у„у,=б, р=1, 2, З, 4. Легко проверить, что у~~=1. В частном представлении матриц Дирака (59,14) матрица б При ортогопальных преобразованиях величина ЧгузЧ" преобразуется как произведение координат х~хзхзхп т. е. как четырехмерный объем. Следовательно, эта величина остается инвариантной при пространственных вращениях и меняет знак при ин-' версии пространственных координат, т. е. является псевдоскаля-' ром. Если использовать эрмитовость матриц уз и уь то можно показать, что эрмитовой псевдоскалярней величиной будет Р = 1ЧгузЧг.
Действительно, (гЧгузЧг)~= — 1Ч~узу~Ч~= 1ЧгузЧг. Величина Р имеет одну независимую компоненту. Учитывая определение матрицы ум имеем Ъуз=УтУзуь И1Ъ у~уз'Йе ° ° ° Поэтому антисимметричный тензор третьего ранга можно записать в виде А„= ЕФу„'у~Чг. Введенные выше пять величин С, У„, 7„„, А„и Р исчерпывают все возможные билинейные комбинации, которые можно КВАЗИРЕЛЯТНВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТВОРНЯ [ГЛ. 'Ъ'НР составить из волновых функций Ф и %'. Всякая другая билиней- ная комбинация этих функций может быть выражена через эти величины, содержащие 16 независимых компонент. В ряде приложений приходится производить преобразования произведений матриц уи. Такие вычисления легко выполняются, если использовать оснорное перестановочное свойство (61,2) матриц.
Например, Ху„у„=4, Ху учу =Х((уиу +учуя) у„у у„у„)= = 2уч 4уч = — 2уч, (61,27) Х уиучухуи Х ((уиуч + учуи) ухуи учуиухуи) = 2 (Х Ьичухуи + учуА) = 2-(уху„+ учуА) = 46А„. Итак, упрощение произведения матриц, содержащего две ма- трицы с одинаковыми индексами, по которым производится сум- мирование. сводится к преобразованию произведения с помощью '(61,2) к таким произведениям, которые содержат рядом две матрицы с одинаковыми индексами, н последующему суммиро- ванию по правилам (61,27).
Из определения матриц уи (61,1), следует, что след, или шпур, т. е. сумма диагональных элементов каждой из этих матриц, равен нулю, т. е. Вру„— = Х(уи)„,=0, 1А=1, 2„6, 4. ч Равен нулю н след матрицы уь Равен нулю след произведения нечетного числа матриц у„(независимо, имеются ли среди них одинаковые или нет), т. е. Яр1у., у ... у 1=0, если и — не- и' ° и ' и ~ э четное число.
При вычислении следа произведения четного числа матриц уи надо учитывать, что след произведения двух матриц не зависит от порядка сомножителей Бр(АВ)= Вр(ВА). й 62. Момент количества движения электрона в теории Дирвка Прн исследовании свободного движения частицы, удовлетворяющей уравнению Дирака (сьь % 60)~ было показано, что состояние свободного движения с определенным импульсом можйо характеризовать знаком е/Е и проекцией вектора спина; оператор которой изображается матрицей в йз = — пз.
2 ч ая момент количества движения элвктеонх в теогии диехкх взт Введем по аналогии с (62,1). два другик-оператора: й й У~ = — аы й~=-о; и определим физический смысл вектора, соответствующего опе- ратору е = (йь йз йз)- Пользуясь свойствами матриц от (см. (59,16), можно установить перестановочные соотношения (й,, а,] =О, (й,, й,) = 1йзь (62,2) Таким образом, операторы 4; удовлетворяют перестлновочиым соотношениям, аналогичным перестаиовочным соотношениим между операторами проекций углового момента Е! (7,13). Поэтому можно сказать, что з является оператором некоторого момента количества движения. Этот момент количества.
движения называют внутренним ууловым моментом настины, или слиновым моментом. Определение спиновото момента частицы можно получить,и из рассмотренных в $6! свойств преобразований спинозой части волновых функций уравнения Дирака при пространственных вращениях. При вращении системы координат на угол ~у вокруг оси е (в направлении от оси к к оси у) спиновые части волновых функций преобразуются с помощью матрицы преобразования (61,26), а при вращении векторов, определяющих положение точек 'системы, функции преобразуются при помощи матрицы Следовательно, инфинитезимальный оператор поворота (см.
$, 18) для синцовых функций определяется равенством Вспоминая рассмотренную в $18 связь (!8,12) между операто- ром проекции момента и инфинитезимальным оператором 1 = — — Е е В г~ Ь мы убедимбя, что — о, является проекцией момента количества движения, связанной со спинозой переменной.
Квадрат оператора спннового момента сводится к диагональной матрице Яав '' * КВАЗНРВЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ '[ГЛ. УП! Следовательно, собственные значения квадрата 'спинового' момента всегда равны одной величине е2 А2 з 4 Оператор е, коммутирует с е2, и его собственные функции П1 = ° П2 Мсье одновременно являются свбственными функциями оператора и'. Проекция углового момента Е, коммутнрует с оператором Гамильтона свободного нерелятивистского движения частицы без спина. Покажем, что зта коммутация отсутствует для частицы со спином 1/2, поведение которой описывается оператором Га- мильтона уравнения Дирака. Из (50,2) и определения опера- тора Е, следует [Е„ЙО) = С [Е, ар[ = 12[С (ак[бе — аер2).
(62„3) Таким образом, проекция орбитального момента Е, ие является интегралом свободного движения в теории Дирака. Можно, од- нако, показать, что сохраняющейся величиной будет сумма Е,'+й Чтобы вычислить перестановочное соотношение между е, и Но, можно использовать перестановочные соотношения ме- жду операторами а; и а1, следующие из определения дираков- ских матриц (59,13) и равенств (59,15), а,а„= — а„а, = 1ае, а,ае — а„о, = — 1а„, о,а, = а,а,. В результате получаем вс [е„Щ = — [а„ар[ = 1сй (аер„— а ре).
Из (62,4) следует, что проекция е, оператора спинового момента в общем случае не является интегралом движения. Только в состояниях с определенным значением импульса, направленного вдоль оси г, когда ар = а,р, проекция спинового момента е, является интегралом движения (см. $60). Складывая (62,3) и (62,4), имеем [(Х, + е,), Н ) = О. (62,5) Таким образом, в общем случае сохраняющейся величиной будет сумма проекций орбитального и спннового моментов. Эта сумма называется проекцией полного л[омента'части[[ы.
Этой проекции Аналогичным образом можно показать, что с оператором Нр коммутируют и две другие проекции Х =Х.,+ 2 а ° Х,=Х-,+ т о в в :.з проекций Х,„, Хт, Х, можно составить оператор полного мо:,гента количества движения частицы, обладающей спинам»/г, + 2 (62,6) В состоянии с определенным полным моментом Х общие волновые функции, зависящие как от пространственных, так и от спиновых веремениых (индексы у спиновых функций), преобразуются при вращении системы координат на угол щ вокруг направления, определяемого единичным вектором и, с помощью оператора р~ — „' (Х+ — о) (62,7) Операторы Ь и о действуют на различные переменные, поэтому они коммутируют друг с другом.
Равенство (62,6) следует понимать в смысле векторного сложения двух операторов моментов, и которому применимы правила, установленные в $41. В связи с этим квадрат полного момента количества движения будет равен Х'= Й»/ Ц+ 1), где 1=1 ~ '/». (62,8) Проеиция полного момента частицы Х,=Ьи, где лг=нгг + '/г. Введем новые обозначения для рассмотренных в 9 60 двухкомпонентных спиновых функций (60,20): (62,9) Тогда можно написать (62,10) где 1 нгг= 2 ° Ю А. С.
Давыгов момент колич»стах движения элиа»тона в твотии дивах» озв соответствует оператор КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ !ГЛ. Чмт х,„~(2)- . х,.,,(-ф)-о, хд, «$)=ц х,„, (-ф)- . И этом случае условие ортоиормнруемостн этих функций будет выракгатьсн равенством Хх,. -( .)х, ° «щ.)-б - " ы 'АМ 'йт м м а а Согласно правилу векторного сложения, волновые функции, соответствующие состояниям с полным 'моментом, определяемым, согласно (62,8), квантовым числом 1 и проекцией полного момента, определяемой квантовым числом т, выражаются через сферические и спиновые функции формулой ЯРР ! (О!Р)=~~~~(1, —, т — т„т,~/т)У! „(0<Р)У.ы, (62,11) где коэффициенты векторного сложения для /=1щ'/в и т,=~ !/в определяются выражениями (' 2' 2' 2! 2' ) ( 1 1 1 ! 1 — + —, — — ~!1+ —, т)= 2' 2' 2! 2' / 1 ! 11 1 ! / 1 —.гл'+'/э = — !1 — т — —, — !1 — — т)=)/ (' 2' 2' 2-~ 2' ! 1" 2!+! Волновые функции (62;11) являются одновременно собственными функциями квадратов операторов полного Х, орбитального /.
и спинового моментов с следующими собственными значениями: вт =йх/(/+1) 1 1~ —. ,(.а= Де((1+ 1), в = — йэ. з 4 (62,12) Функции (62,11), зависящие от угловых переменных 8, ф и спи- новой переменной т„называют спин-угловыми функциями, или сферическими функцияли со спином. Сниновые функции Ху можно также рассматривать не как матрицы (б2.9), а как функции, аавнсащие от одной сниновой переменной гин иробегающей два вначеииа ~'/т, так что РЕЛЯТИВИСТСКИЕ' ПОПРАВКИ й 63. Релятивистские поправки к движению электрона в электромагнитном поле е.
р р — —,'А, е «е — еАе (63,1) В случае электрона е(0. Произведя преобразование (63,1) в уравнениях (60,8), получаем (е — еАе — гпс ) я = со ~р — — ' А) у„ ( — А.+ ~х= ~р — — 'А)е. ~ Исследуем эту систему уравнений для нерелятнвистских движений в слабом поле, когда выполняются неравенства е=Е'+лгсе, (Е' — еАЯ( е. Тисе Тогда система уравнений (63,2) перейдет в систему уравнений в Е =со~(р-ТА)Ъ+еАю (р — -'А) с'+2те' — еде Р 2те 1» е ) Р' (63,2) (63,2а) Подставляя значение у из второго уравнения (63,2а) в первое, находим уравнение, содержащее только спиновую функцию <р, ~ (е~р — — А)~ Е'1р= ~ + еАе ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
