Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.С. Давыдов - Квантовая механика

А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 49

DJVU-файл А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 49 Физика (2684): Книга - 4 семестрА.С. Давыдов - Квантовая механика: Физика - DJVU, страница 49 (2684) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.С. Давыдов - Квантовая механика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 49 - страница

е. уху„+у„у,=б, р=1, 2, З, 4. Легко проверить, что у~~=1. В частном представлении матриц Дирака (59,14) матрица б При ортогопальных преобразованиях величина ЧгузЧ" преобразуется как произведение координат х~хзхзхп т. е. как четырехмерный объем. Следовательно, эта величина остается инвариантной при пространственных вращениях и меняет знак при ин-' версии пространственных координат, т. е. является псевдоскаля-' ром. Если использовать эрмитовость матриц уз и уь то можно показать, что эрмитовой псевдоскалярней величиной будет Р = 1ЧгузЧг.

Действительно, (гЧгузЧг)~= — 1Ч~узу~Ч~= 1ЧгузЧг. Величина Р имеет одну независимую компоненту. Учитывая определение матрицы ум имеем Ъуз=УтУзуь И1Ъ у~уз'Йе ° ° ° Поэтому антисимметричный тензор третьего ранга можно записать в виде А„= ЕФу„'у~Чг. Введенные выше пять величин С, У„, 7„„, А„и Р исчерпывают все возможные билинейные комбинации, которые можно КВАЗИРЕЛЯТНВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТВОРНЯ [ГЛ. 'Ъ'НР составить из волновых функций Ф и %'. Всякая другая билиней- ная комбинация этих функций может быть выражена через эти величины, содержащие 16 независимых компонент. В ряде приложений приходится производить преобразования произведений матриц уи. Такие вычисления легко выполняются, если использовать оснорное перестановочное свойство (61,2) матриц.

Например, Ху„у„=4, Ху учу =Х((уиу +учуя) у„у у„у„)= = 2уч 4уч = — 2уч, (61,27) Х уиучухуи Х ((уиуч + учуи) ухуи учуиухуи) = 2 (Х Ьичухуи + учуА) = 2-(уху„+ учуА) = 46А„. Итак, упрощение произведения матриц, содержащего две ма- трицы с одинаковыми индексами, по которым производится сум- мирование. сводится к преобразованию произведения с помощью '(61,2) к таким произведениям, которые содержат рядом две матрицы с одинаковыми индексами, н последующему суммиро- ванию по правилам (61,27).

Из определения матриц уи (61,1), следует, что след, или шпур, т. е. сумма диагональных элементов каждой из этих матриц, равен нулю, т. е. Вру„— = Х(уи)„,=0, 1А=1, 2„6, 4. ч Равен нулю н след матрицы уь Равен нулю след произведения нечетного числа матриц у„(независимо, имеются ли среди них одинаковые или нет), т. е. Яр1у., у ... у 1=0, если и — не- и' ° и ' и ~ э четное число.

При вычислении следа произведения четного числа матриц уи надо учитывать, что след произведения двух матриц не зависит от порядка сомножителей Бр(АВ)= Вр(ВА). й 62. Момент количества движения электрона в теории Дирвка Прн исследовании свободного движения частицы, удовлетворяющей уравнению Дирака (сьь % 60)~ было показано, что состояние свободного движения с определенным импульсом можйо характеризовать знаком е/Е и проекцией вектора спина; оператор которой изображается матрицей в йз = — пз.

2 ч ая момент количества движения элвктеонх в теогии диехкх взт Введем по аналогии с (62,1). два другик-оператора: й й У~ = — аы й~=-о; и определим физический смысл вектора, соответствующего опе- ратору е = (йь йз йз)- Пользуясь свойствами матриц от (см. (59,16), можно установить перестановочные соотношения (й,, а,] =О, (й,, й,) = 1йзь (62,2) Таким образом, операторы 4; удовлетворяют перестлновочиым соотношениям, аналогичным перестаиовочным соотношениим между операторами проекций углового момента Е! (7,13). Поэтому можно сказать, что з является оператором некоторого момента количества движения. Этот момент количества.

движения называют внутренним ууловым моментом настины, или слиновым моментом. Определение спиновото момента частицы можно получить,и из рассмотренных в $6! свойств преобразований спинозой части волновых функций уравнения Дирака при пространственных вращениях. При вращении системы координат на угол ~у вокруг оси е (в направлении от оси к к оси у) спиновые части волновых функций преобразуются с помощью матрицы преобразования (61,26), а при вращении векторов, определяющих положение точек 'системы, функции преобразуются при помощи матрицы Следовательно, инфинитезимальный оператор поворота (см.

$, 18) для синцовых функций определяется равенством Вспоминая рассмотренную в $18 связь (!8,12) между операто- ром проекции момента и инфинитезимальным оператором 1 = — — Е е В г~ Ь мы убедимбя, что — о, является проекцией момента количества движения, связанной со спинозой переменной.

Квадрат оператора спннового момента сводится к диагональной матрице Яав '' * КВАЗНРВЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ '[ГЛ. УП! Следовательно, собственные значения квадрата 'спинового' момента всегда равны одной величине е2 А2 з 4 Оператор е, коммутирует с е2, и его собственные функции П1 = ° П2 Мсье одновременно являются свбственными функциями оператора и'. Проекция углового момента Е, коммутнрует с оператором Гамильтона свободного нерелятивистского движения частицы без спина. Покажем, что зта коммутация отсутствует для частицы со спином 1/2, поведение которой описывается оператором Га- мильтона уравнения Дирака. Из (50,2) и определения опера- тора Е, следует [Е„ЙО) = С [Е, ар[ = 12[С (ак[бе — аер2).

(62„3) Таким образом, проекция орбитального момента Е, ие является интегралом свободного движения в теории Дирака. Можно, од- нако, показать, что сохраняющейся величиной будет сумма Е,'+й Чтобы вычислить перестановочное соотношение между е, и Но, можно использовать перестановочные соотношения ме- жду операторами а; и а1, следующие из определения дираков- ских матриц (59,13) и равенств (59,15), а,а„= — а„а, = 1ае, а,ае — а„о, = — 1а„, о,а, = а,а,. В результате получаем вс [е„Щ = — [а„ар[ = 1сй (аер„— а ре).

Из (62,4) следует, что проекция е, оператора спинового момента в общем случае не является интегралом движения. Только в состояниях с определенным значением импульса, направленного вдоль оси г, когда ар = а,р, проекция спинового момента е, является интегралом движения (см. $60). Складывая (62,3) и (62,4), имеем [(Х, + е,), Н ) = О. (62,5) Таким образом, в общем случае сохраняющейся величиной будет сумма проекций орбитального и спннового моментов. Эта сумма называется проекцией полного л[омента'части[[ы.

Этой проекции Аналогичным образом можно показать, что с оператором Нр коммутируют и две другие проекции Х =Х.,+ 2 а ° Х,=Х-,+ т о в в :.з проекций Х,„, Хт, Х, можно составить оператор полного мо:,гента количества движения частицы, обладающей спинам»/г, + 2 (62,6) В состоянии с определенным полным моментом Х общие волновые функции, зависящие как от пространственных, так и от спиновых веремениых (индексы у спиновых функций), преобразуются при вращении системы координат на угол щ вокруг направления, определяемого единичным вектором и, с помощью оператора р~ — „' (Х+ — о) (62,7) Операторы Ь и о действуют на различные переменные, поэтому они коммутируют друг с другом.

Равенство (62,6) следует понимать в смысле векторного сложения двух операторов моментов, и которому применимы правила, установленные в $41. В связи с этим квадрат полного момента количества движения будет равен Х'= Й»/ Ц+ 1), где 1=1 ~ '/». (62,8) Проеиция полного момента частицы Х,=Ьи, где лг=нгг + '/г. Введем новые обозначения для рассмотренных в 9 60 двухкомпонентных спиновых функций (60,20): (62,9) Тогда можно написать (62,10) где 1 нгг= 2 ° Ю А. С.

Давыгов момент колич»стах движения элиа»тона в твотии дивах» озв соответствует оператор КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ !ГЛ. Чмт х,„~(2)- . х,.,,(-ф)-о, хд, «$)=ц х,„, (-ф)- . И этом случае условие ортоиормнруемостн этих функций будет выракгатьсн равенством Хх,. -( .)х, ° «щ.)-б - " ы 'АМ 'йт м м а а Согласно правилу векторного сложения, волновые функции, соответствующие состояниям с полным 'моментом, определяемым, согласно (62,8), квантовым числом 1 и проекцией полного момента, определяемой квантовым числом т, выражаются через сферические и спиновые функции формулой ЯРР ! (О!Р)=~~~~(1, —, т — т„т,~/т)У! „(0<Р)У.ы, (62,11) где коэффициенты векторного сложения для /=1щ'/в и т,=~ !/в определяются выражениями (' 2' 2' 2! 2' ) ( 1 1 1 ! 1 — + —, — — ~!1+ —, т)= 2' 2' 2! 2' / 1 ! 11 1 ! / 1 —.гл'+'/э = — !1 — т — —, — !1 — — т)=)/ (' 2' 2' 2-~ 2' ! 1" 2!+! Волновые функции (62;11) являются одновременно собственными функциями квадратов операторов полного Х, орбитального /.

и спинового моментов с следующими собственными значениями: вт =йх/(/+1) 1 1~ —. ,(.а= Де((1+ 1), в = — йэ. з 4 (62,12) Функции (62,11), зависящие от угловых переменных 8, ф и спи- новой переменной т„называют спин-угловыми функциями, или сферическими функцияли со спином. Сниновые функции Ху можно также рассматривать не как матрицы (б2.9), а как функции, аавнсащие от одной сниновой переменной гин иробегающей два вначеииа ~'/т, так что РЕЛЯТИВИСТСКИЕ' ПОПРАВКИ й 63. Релятивистские поправки к движению электрона в электромагнитном поле е.

р р — —,'А, е «е — еАе (63,1) В случае электрона е(0. Произведя преобразование (63,1) в уравнениях (60,8), получаем (е — еАе — гпс ) я = со ~р — — ' А) у„ ( — А.+ ~х= ~р — — 'А)е. ~ Исследуем эту систему уравнений для нерелятнвистских движений в слабом поле, когда выполняются неравенства е=Е'+лгсе, (Е' — еАЯ( е. Тисе Тогда система уравнений (63,2) перейдет в систему уравнений в Е =со~(р-ТА)Ъ+еАю (р — -'А) с'+2те' — еде Р 2те 1» е ) Р' (63,2) (63,2а) Подставляя значение у из второго уравнения (63,2а) в первое, находим уравнение, содержащее только спиновую функцию <р, ~ (е~р — — А)~ Е'1р= ~ + еАе ф.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5142
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее