Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Пусть »Р„,« равно вещественной части выраже- ния Аехр (1(ы1 — йг)), где А — вещественное число. Таким образом, ф„,д-= =А соз (ыг — йг). При г=О импеданс изменяется скачко»1 от 31 до Лз. При г=й нмпедаис опять меняется от 32 до Уз. Имеем Р,з = (2,— Яз)1(21+3»)= = — Р„Р,» — — (Ез — Лз)/(2»а 22). Предположим, что в среде 1 имеется отражен- ная волна, определяемая вещественной частью РА ехр (1(ы(ч йзг)), где Р— ком- плексная величина, которую можно представить в виде Р=(Р~ ехр ( — 15).
а) Покажите, что если пренебречь всеми вкладами, кроме отражения от г=О и перво~о отражения от 2=1., то Р= Р,з+Т,»Р«ЗТЫВ-ЗГВ»г, где Тлз= 1~Р»2 и Ты= 1+Р,»=1 — Р,з. б) При помощи суммирования бесконечного ряда, определяемого бесконечным числом отражений, покажите, что точное решение для Р имеет внд (1 — Р12)Р»зв "1' 12+ РззРыв 2!з»г где первый член Ряз обусловлен разрывам непрерывности в 2=0, а второй члек определяетсн отражением (однократным или многократньш) от гранины г=1.. Покажите, по в приближении слабого отражения нз этой формулы получается результат а).
Покажите, что точный результат может быть записан н виде 12 зз Р +Р е-"в г 1+ Р»»Р 1зе Покажите, что это точное выражение для Р стремится к выражению, полученному для Р в прибляжении слабого отраигения, использованном в и. 5.5. Таким обра- зом, приближенное выраженве правильно определяет нули интенсивности и не совсем точно — интенсивность в максимуме. 5.27. Метод граничных ус,ювий длл коэффициентов отражения и прохождения.
Рассмотрим совершенно другое решение задачи 5.25. Вместо суммирования бес- конечного числа многократно отраженных лучей сделаем следующее допущение: каждый «луч» из суперпозиции многократно отраженных лучей непрерывен. По- этому салза суперпозиция также непрерывна. Это предположение является основой метода. Таким образом, мы больше не станем заниматься суммированием много- кратных отражений. Вместо этого мы записываем функцию ф(г, О в трех областях; 1 (г<0), 2 (0< 2<1) и 3 (г> В) — и считаем, чта эта функция определяется вещест- венной частью следующих выражений: ,Р (г 1) ВГ»мг-з,з> ) РВ 1»иг+З, 1, «рз (г, 1)=рея 1 а «1+Век 1«з м фз(г, 1)=Тв'1м'-" 1'-')1 »де Р, Р, В и Т вЂ” комплексные коэффициенты, которые нужно определить.
Коэф- фициент Р характеризует отраженную волну,  — волну, распространяющуюся 243 вперед, и  — назад, а коэффициент Т вЂ” прошедшую в третью среду волну. (Для простоты амплитуду падающей волны мы полагаем равной единице). Заметим, что член с комплексной амплитудой р соответствует суперпозицни всех многократно отраженных лучеймежду г=й и г=Е, которые идут в момент времени ! в прямом направлении. Аналогично, член с комплексной амплитудой В равен суперпознции всех лучей, идущих в обратном направлении. На двух границах з=О и г=Е следует использовать граничные условия непрерывности.
Положим, что ф(з, !) и дф(г, Г))дг непрерывны на границах. (Это значит, что натяжение струны постоянно, или, в случае звуковых волн, прокзведение равновесного давления ре на у постоянно, или постоянна магнитная проницаемость р в случае электромагнитных волн.) Два этн граничных условия для двух границ дадут четыре линейных уравнения относительно четырех комплексных величин Т, Г, В и Р. Этих уравнений достаточно, чтобы однозначно определить Т, г", В и Р.
Подтвердите это. Найдите Т, Р, В н Р. Покажите, что выражение для Р, полученное этим способом, аналогично выражению, полученному способом многократного отражения в задаче 5.25. 5.28. Резонанс для лроходясцих волн, а) Покажите, что при отражении на двух границах (задачи 5.26 и 5.27) часть среднего зо времени цотока энергии, которая не отразилась, равна е е и и 1 — ) Р )з— 1 — Ры — Риз+ РгзРэз 1+2Р„Р, соз 2йзЕ+РтееРззз Покажите, что это выражение соответствует резонансной кривой Брейта — Внгнера, рассмотренной в п.3.2, и имеет полную ширину по Лйе на половинном уровне пропущенной интенсивности, равную ф!59 (йй ) Е (! — Ргз) г— ) ),,а) с,'-Яуу/ при условии, что ( Р„! намного меньше единицы. (Показкнте, что для ) Р„! ((! прибли.'; — Таналп!ий сперлеиз жение Брсйта — Вигнера бесполезно, так как оно пе выполняется, за исключением значений й, очень близких к йе, т.
е. оно ие выполняется даже дчя точек, определяемых по половине максимальной пропущенной мощности.) Попас, и задаче в.зэ. кажите, что для ) Рте ! 1, когда резонансная кривая Брейта — Вигнера справедлива для многих й, отличных ст йе, полная резонансная ширина равна (Лй~) Е сз 2(! — (Рш )). 5.29. Полубесконечная струна присоединена к выходным зажимам передатчика через пружину, как показано на рисунке.
Натяжение пружины равно Т, плотность струны р и коэффициент жесткости пружины К. Длина пружины такова, что если смещение возмущающего стержня Е)(!) равно пуп|о и пружина расслаб- 244 б) Покажите, что если импеданс среды 3 равен импедансу среды 1, это выражение принимает вид (1 РЫ 1 — 2Ргез соз 2деЕ+ Рг~з в) Покажите, что при некоторых значениях йеЕ средний во времени поток неотрзженной энергии равен единице, т. е, для этих значений вся энергия проходит без отражения.
Обозначим одно из этих резонансных значений йе через йе. Покажите, что резонансные значения й,Е разны йеЕ=л, 2л, Зл и т. д. г) Покажите, что для йю достаточно близкого к резонансному значению Д„ средний во времени поток энергии равен 1 — ) Р ')з лв (! — Р~.)' (1 Р;",)'+Р,', [2!.
(й,— й,))~ ' лена, та «ИО, 1) равно нулю. Движение стержня определяется выражением /з(1)=А соз ый Предположим, что по струне бежит гармоническая волна ф(г, г)/ В сов (м! — йг+«р). Укажите граничные условия в точке г=О и используйте их для нахождения В/А и ф (С о в е т. Выкладки упростятся при использовании комплехсных чисел.) О т в е т. 15 «р= — м(Тр)'/>/К, В/А=(!+(м'Тр/К))-'/*=сов «р. Заметим, что для очень большого К имеем >Р(0, г)=/г(/), как и следовало ожидать. почему? 5.30.
Предположим, что точка а струны, имеющая координату г«=10 ем, совершает гармоническое колебание с частотой 10 гц и амплитудой 1 ом. Фаза колебаний такова, что в момент времени !=О точка проходит положение равновесна со скоростью, направлснной вверх (положительное смещение отсчитывается вверх). а) Чему ранна величина и какое направление имеет скорость в точке а в момент /=-0,05 сек) Параметры струны (масса на единицу длины и натяжение) таковы, что скорость волны равна ! 00 см/сек.
б) Чему равна длина бегущей волныэ Чему равна длина стоячей волны? в) Другая точка Ь с координатой гь= !5 см колеблется с той же амплитудой, что и точка а, но сдвинута относительно нее по фазе на 180'. Можете ли вы сказать, какую из трех вали мы имеем; «частую» бегущую полну, «чистую» стоячую волну или же их комбинацию? г) Третья точка с (г =12,5ем) колеблется с той же амплитудой, что н точка с координатой г =10 ем, йо со сдвигом по фазе в 180'. Точка колеблется по-преж.
нему. Теперь скажите, является лн волна бегущей, стоячей илн комбинацией этих волн. 5.3!. Опыт. Реюнанем в надувных шарах, Возьмите шар, наполненный гелием. Поднесите его к уху н легко ударьте. Спойте какую-либо ноту с одной стороны шара н слушайте резонансные тона. Надуйте другой шар воздухом до того же диа. метра (что и шар с гелием) н ударьте его. Оцените отношение частот для самых низких мод (зто те моды, которые вы слышите после удара) при наполнении шаров гелием н воздухом. Какое отношение частот ны могли бы предсказать? Сравните силу (громкость) резонанса, который имеет место, когда вы поете рядом с шаром с гелием и рядом с воздушным шаром.
Как объяснить такое различие» 5.32. Нагрузка дгя волн в струне. а) Допустим, у иас есть невесомый амортизатор с двумя движущимися элементами 1 и 2, способными сл«ещаться относительно друг друга вдоль направления х, перпендикулярного направлению струны г. Трение создается жидкостью, кото. рая тормозит движующнеся элементы. Это трение таково, что сила, необходимая для поддержания постоянной относительной скорости (х,— х») движущихся элементов, равна Ев (х,— х,), где Лк — импеданс поршня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
