Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики

Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики, страница 28

DJVU-файл Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики, страница 28 Теория вероятностей и математическая статистика (2673): Книга - 4 семестрБ.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 28 (2673) -2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 28 - страница

Рассмотрим функцию от с й(с)= Р(Рг($) > сР,(г) (Но) в предположении, что верна гипотеза Но. Функция 1 — й(с)= Р( ~'(".! .-.с)Н,~ есть функция распределения случайной величины Рг('ь)/Ро(я), поэтому она непрерывна справа и д(оо) = Гл. !с стлтистмческне кРитеРии О, п(0 †) = !. Определим с„ из условия п(с,) а < п(с„— 0), Если я(са)<п(са — 0), то выбираем а — я (са) я (с — О) — д (са) ' (9) ((р" — (р)(р, — с,рс)с(х + ~ (!р' †!р)(р, — с„рс)((х.

(10) В первом слагаемом интегрирование производится по точкам х, для которых Ч*(х) ) (р(х) ~ О, поэтому в этом интеграле р((х) ) с ра(х), т. е. подынтегральная функция неотрицательна. Аналогично, во втором интеграле (10) (р*(х) < (р(х) < 1, поэтому р((х) < сара(х), и подынтегральная функция также неотрицательна. Отсюда заключаем, что интеграл (9) неотрнцателеп, т, е, ((р' — сс) р, ((х ) с, ~ ((р" — ср) рс((х! Если й!(са) = д(са — 0), то полагаем е„= О. В случае, когда и(с) =— а для целого отрезка с! с < сь принимаем за с любую точку этого отрезка, например, самую левую.

Полагая с и е в (8) равными найденным с и а, строим функцию (р'. Докажем, что полученный (р'-критерий имеет уровень значимости а и обладает свойством оптималыюсти (7). Докажем сначала, что уровень значимости (р"-критерия равен а. Имеем Мсср = ~ рс (х) ((х + Р! (ст>сасо(с) и (с — О) — е (с„) ) Р! (с) с сс(х) Пусть !р — любой другой критерий с Мсср~~а.

Покажем, что тогда М((р') М(!р. Рассмотрим интеграл ~ ((р'(х) — (р(х)) (р, (х) — саре (х)) с(х. Разобьем его на два слагаемых ф М, ОПТИМАЛЪНЫЕ КРИТЕРИИ ф 55. Оптимальные критерии для проверки гипотез о параметрах нормального и биномиального распределений Пусть (1) есть независимая выборка из вормального распределения с параметрами (а, о). Пусть о Известно, а относительно а имеются две гипотезы: гипотеза Нюг а = аю гипотеза Н,: а=а, > аю. Построим оптимальный критерий Неймана — Пирсона, В этом случае ц — г ~~~~~ (цг-а )ц р()= ' -', !=о 1, (2ч)ц оц — — ехр(пх(а, — аю) 2ею (а( — аю~) ~' (11) где х — выборочное среднее. Из (11) следует, что об:,асть значений х, для которых р1(х)/рю(х)) С, определяется неравенством х > С, при некотором Сь Как из1сстпо, среднее х распределено нормально с парамег.

е рами (а, — ~. Определим теперь ошибки первого и г/' второго рода: а=Р(х>С1 1Ню)== 1 "ц'2" с а с,-а, — яц 9 = Р (х (~ С1 ) Н1) = = ч/2л ц* е=' г(и=1-Ф ( г— '"4и), (12) ц1 е з г(и = Ф( — '' 1~го) . о (13) или МЛ" — М р ) с, (а — МФ =з О, что и требовалось доказать. 3 а м е ч а и и е. Теорема справедлива и для дискретных распределений рю(х) и р1(х). В доказательстве в этом случае надо везде интегралы заменять суммами. ГЛ.

И. СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ Обозначим и„ то значение, для которого 1 — Ф(ат) = у. (14) и„ носит название хаантихо нормального распределения. Тогда из (12) н (13) и ат = — и~ „ вытекает Ъ~л =и ~ "о'и = и» о а С =а+и — =а — и = — о о ту- — ~ а (15) (о1 — оо) Равенство (15) дает тот объем выборки, который при оптимальном критерии обеспечивает ошибки первого и второго рода а н 5 (если правая часть (15) — нецелая, то за а надо брать ближайшее большее целое число), Рассмотрим теперь следующие две гипотезы; Но: а=О, о=по Н,о а = О, о = и, > оо. В этом случае отношение правдоподобия о приводит к критическому множеству 2 х';)С,.

о ! Поскольку случайная величина и 1 ! имеет прн гипотезе (О,о) 11о-распределение с л степенями свободы с функцией распределения К„(х) = ~ й„(оо)аи, х «) О, о о 66. ОПТИМАЛЬНЫЕ КРНТГРИИ п плотностью л х ха е ', х)О, й„(х) = в'г (-,") то ошибки псрвого и второго рода опрсдсля(отса из ра. Вснств Построим оптимальный критерий в схеме Бернулли. Пусть О < ро < р! < 1.

Рассмотрим следующие двс гипотезы: Н: р,(х)=С„'р„"(1 — р„)л ", х=О, 1...., и, Н,: р! (х) = С„"р"! (1 — ро)" ", х = О, 1, ..., и, Оптимальный критерий для проверки гипотезы Но против конкурирующей гипотезы Н! строится, исходя из неравенства Р (х) 1" Р (! — Ро) 1' (' — Ра)"- Ро(х) (.

Ро (! Ра)1 (! Ра) которос равносильно неравенству х С, прн некотором С!. Для вычисления ошибок первого и второго рода воспользуемся тем, что число полохкительных успехов х асимптотически нормально с параметрами ( л аа!р !а — ра ). и о=Р(х)С 1Но)=Р~ " "'" „=- ' 'Р' 1Но~, Ъ'лРо (! — Ро) Ч(лро (! — Ро) Р=Р(х <с,(н!)=Р1, ' ' ' < ' Р' 1но~. (.~' Р (! — Ра) а(лР (! — Р) Отсюда, используя каантнль и, определенную (14), по )туманы прн заданных и и 1) границу с,-,р,а..а/~д7:р,а р,— раас,н — ра ГЛ.

1Е СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ 204 и необходимый объем выборки ( ант н+" тго )у (Ре — Р~) $56. Критерии для проверки сложных гипотез ае Рис, 14. Функиия мощности %' (а) кри а терна я ) не+ иа =. ч/а На примерах выборок из нормального распределения разберем те задачи, которые возникают при проверке сложных гипотез. Пример 3. Пусть независимая выборка (1) взята из нормального распределения с параметрами (а, о), причем о известно. и(а) Рассмотрим простую 1 проверяемую гипотезу Но.

а = ао и одностороннюю сложную конкурирующую гипотезу и Н,: а ) ао. Действуя О а так же, как в $55 прн различении двух простых гипотез, находим, что критерий х ) С1 = = ао + пап~1/а будет иметь уровень значимости а и будет наиболее мощным для любой простой гипотезы а, ) ао. Функция мощности этого критерия В'(а) будет иметь график, изображенный на рис.

14, и ошибка второго рода 5(а)= 1 — ()т(а) прн а ( ао в пределе равна 1 — сс. Поэтому по критсрию х)С1 мы можем лишь с малой ошибкой а отвергнуть гипотезу Но. В случае х ( С1 мы не имеем больших осно. ваний утверждать только на основе выборки (1), что а = ао, а не а ) ас, так как при п, близких к ао, вероятность события х ( С, близка к единице. Поэтому при х ( С, мы говорим, что выборка (1) не противоречит гипотезе Но, и если эта гипотеза имеет какое. либо обоснование, независимое от выборки (1), то вы» йорка в этом случае ее подтверждает.

Пример 4. Пусть гипотеза Но остается прежней, а конкурирующая гипотеза будет двусторонней Н;: ачьпо. В этом случае для значений а=а~ ~по и 1 М. КРИТЕРИИ ДЛЯ ПРОВГРКИ СЛОЖНЫХ ГИПОТЕЗ Мз а = а1 «ао теорема Неймана — Пирсона дает разные оптимальные критерии х( С, и х) Си т, е. не существует такого критерия с уровнем значимости ск, который максимизировал бы функцию мощности )Р'(а) во Рис. 15, Функция могциости Ят (а) диустороннето критерия аннет )х — а) >=.

~л всех точках ачьао. В этом случае применяют двусторонний критерий, по которому гипотеза тто отвергается, когда а, ~те Функция мощности такого критерия равна а а т с "~ "а,'2 а 1 Ю(а)=1 — = ~ е ' с(х. ,еа .) — ч'- а о Уровень значимости этого критерия равен а, а график имеет вид, изображенный на рис, !5. Пример 5.

Пусть имеются две независимые выборки: выборка х„х„..., х„из нормального распределения (О, о,) и выборка у„у„..., у„из нормального распределения (О, от). Рассмотрим основную гипотезу Н;. О,=о„и конкурирующую гипотезу Н;. О,~о,. ГЛ. 14. СТЕТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ Статистика ! ! а, ! (16) $57. Непараметрическне критерии В математической статистике часто требуется проверить гипотезу, что независимая выборка х„х,,..., х„ (17) взята нз генеральной совокупности с функцией распределения Р(х). Относительно конкурирующей гипотезь1, кроме независимости х; в (17), других предполоисепий ие делается.

В этом случае применяются так называемые иепараметрические статистические критерии, которые строятся на основе какой-либо статистики д(х„... ..., х„, Р), зависящей от Р, причем распределение этой статистики при спранедливостн основной п1потезы известно '!очно илн аснмптотическн нри н-~ со. Обычно СтатнетИКа ПОЛОжинтЕЛЬН, И При ЕИОбОй КОНКурнруЮщЕй гипотезе ее значение возрастает. Выбирается такое и„, чтобы л ) д„при основной гипотезе выполнялось с вероятностью ошибки первого рода и.

Основная гипотеза ИРИН!И!аетСЯ, ЕСЛИ д < д,, И ОтВЕРГаЕтСЯ, ЕСЛИ Е ~ да. Одним пз наиболее известных таких критериев является у'-критерий Пирсона.. В!!берем точки га= — оо <г, <гг « .. г,, < < г,= оо. По известной функции Р(х) вычисляем веро- имеет прн гипотезе Н, Р-распределение Фишера. Кри- терий можно построить на основе статистики (16).Пус ь Рт — такая квантиль Р-статистики (16), что Р(Р- Рт(НА)=у, БУДем пРинимать гипотезУ Па тогДа и только тогД1, когда Р1-«н<»Р <»Рака Этот критерий имеет уровень значимости !х.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее