Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике

Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике, страница 44

DJVU-файл Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике, страница 44 Теоретическая механика (2645): Книга - 3 семестрЮ.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике: Теоретическая механика - DJVU, страница 44 (2645) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 44 - страница

Потенциальная энергия эл,липсоида 17 = тдйз., Яз = — пя: 1г'(д, гг) = тд(6 — р ягод сояф). Положение равновесия эллипсоида определяется условиями д(У/дд = О, д(7/д4 = О. В положении устойчивого равновесия О,ч = я/2, ф, = О. Положим д = я/2+ Х1, ф = хг и учтем в кинетической энергии величины второго порядка малости по координатам и скоростям Х1, хг. В этом приближении компоненты угловой скорости в системах К' и К имеют вид О/~ = — Х1Х2 + эгг МЗ =- Х2 Згх1, ыг = хг+ Згхг, 1вг = хг яш Зг+ хг соя Зг, ыг = — хг соя гг + хг 31п уг,. вгз Х2Х1 + 12' Кинетическая энергия вращения К = — 1ьог„~, гг 2 К = — 11Х1+ — 12Зг + 1зхг 13Згхгхг+ (11 12) Згхгхг+ 2 1 2 1 2 + (11хг+ 1зхг) Зг е (хгхг+ Зг (хгхг хгх1)!. Получим теперь уравнения движения эллипсоида.

Представим уравнения связи гг1 32ыз + 33«12 =- О, 7~2 ззю1 + 31323 =. О, Ргз — згыг + згыг —— — О (5) Динамика твердого тела [Гл. 6 298 в явном виде. В линейном приближении в1 — — ах2, з~ = — зо, зз 1 ох„гче го = с 1 а, ч = 1 о — зо, зо = а — р. Компоненты вектора в в системе К связаны с матрицей поворотов Я1ь соотношением зь =- =- З';ага, З1 = — РХ2 СОВ ф+ ЯХ1 В1П аг, З2 = — Рхзв!Пег — ЦХ1 Сея ф, ЗЗ вЂ” ЗО. (б) Подставляя (4), (6) в (5), получим уравнения связи в виде С„11)1 =- О, 91 = (г-е1, %, 172; ~р, х1, х2), ег =- 1, 2, 3: ггз ЧХ1Х1 РХ22 2 = О. (7в) Ь = —, тВ.

+ — 1ьее — тлйз. 2 1 12 2 2 Согласно общему методу Лагранжа получим шесть уравнений, содержащих три неопределенных множителя, определяющих силы реакции Л11 = Л С~, [23): л 42 д7). д17„ (8а, б, в) д7, М,— — = — Л,з +Л. (9) др 11 дй дб = во (Л2 соя з1 — Л1 яш Р) — ЛзЧХ1, (10) дг дх1 дх, И д7 дб — — =- зо(Л2 в1пог+ Л1 совр) — Лзрхз. (11) яд*, д*, Здесь дА Мг = — —, Мг = 12ф+(11 — 12) Х1Х2 — 1зх2Х1+Е (Х1Х1 — Х2Х2). (12) дф В линейном приближении следует ограничиться учетом величин линейных по скоростям и координатам переменных х1 и хз.

В этом приближении из (7в) и (8в) находим Лз = тя. Введем новые перемен- ные М, =- — рхзЛ1 + дх1Л2. (13) е1 Згзз го (х1 в1п Зг х2 сов Зг) — О., 772 + 1рв1 + зо (х1 сов х + х2 в1п ег) = О, Лагранжиан эллнпсоида на плоскости Л1 = Лзсояд — Лгшп1р, Л2 = ЛзшпЗ2+Л1соя1р, в терминах которых уравнение (9) приобретает вид (7а) (7б) 6.3] Уравнения ХХагранжа 299 Из уравнений (7а, б), (8а, б) находим йг ег — =- р — огхз — охгег — во (йз + огхз)., т аг Лг 4 д фх1 рхзЗг во (хз фх1).

т е1г (14) Из (14), (13) следует уравнение М, = О, М, = М,о. Полагая в (10), (11) аг = ац аг = М,о]Хг, получим линеаризованную систему, которую удобно представить в переменных лХА хг =- зы ъХС хз = хз. вз — нзз+ йззз+ аг,зл = О, з зз — Кщ — ззззг + ыззз = О. (15) (16) Здесь введены обозначения (з+гоаг ); ыз = С (з+гоаг ) А =- твоа+Хм С = тго + Хз, Й = ъ'АС ' йл =- ]Хз — Хз + С вЂ” тзор] йз — ]Хз — Хз + С вЂ” тгогХ].

ъ'АС Характеристическое уравнение системы (15), (16) Р (1 й ) + Р (Пз Пз) + Р (агз + ага + Пзгез) + аглагз = О. Согласно критерию Раусса — Гурвица амплитуды колебаний экспоненциально возрастают (в пределах применимости линейного приближения). Из (12) следует, что при начальных условиях аг(0) = О, .хз(0) =- О., хз(0) = О., хз(0) = — хю > О, хз(0) = хзо > 0 эллипсоид начинает вращаться с угловой скоростью Зг(1) ( О, а при начальных условиях еа(0) = О, хз(0) = О, хз(0) = О, хз(0) = хю > О., хз(0) = хю > 0 эллипсоид начинает вращаться с угловой скоростью ~р(г) > О. Рассмотрим случай движения шара с симметрично распределенной относительно двух перпендикулярных осей плотностью массы., полагая Хз -— — 1з =- 1з =- 1, с = а, р =- О.

Тогда й= —, А=та +Х, ыз=О, ага=О. хз ъ'А 1 —,ле й+ глгг1 - И .лг =гге ~ .д — — нз Сле ' '+гсе Сзе', (17) После подстановки в (14), (15) йы йз ехр( — БАЛХ) находим, что характеристическое уравнение Лз (1 — а~) — аг~ =. 0 приводит к двум действительным корням Лз з = +Л, Л = агХъ'Т вЂ” йз. Общее решение представим в виде суперпозиции собственных векторов, соответствующих собственным значениям Лы Лз. [Гл. 6 Динамика твердого тела 300 где Сы Сз — константы. Очевидно реализуется обмен энергией двух мод колебаний шара. Из (12), (17) следует, что среднее значение скорости прецессии 1- йа (ф) =- аг + (хат~) =- аг + ~С, + Сз + 2кС1Сз].

6.4. Движение космического аппарата в ньютоновом поле тяготения 6.4.1. Найти потенциальную энергию взаимодействия тонкого стержня с Землей. Решение. Положение стержня длины 1 определяется радиусом- вектором центра масс Н и углами Эйлера. Потенциальная энергия стержня в неоднородном поле тяжести где п =- 1,11.

Вычисляя интеграл, получим Мт 2[К вЂ”; п1г2[-~ 1+ 2йп 2[К вЂ” п1/2[ — 1 т 2йп Единичный вектор, задающий направление стержня, и гйпеов[пд е ° — совр ебпд еи + совд е, . Вводя сферические координаты вектора К = Л(в1п а сов,З, гйпо гйп 6, саво), запишем скалярное произведение Кп = саво совд + гйпо в1п 0 сов(р —,9).

Если Л )) 1, то из (Ц следует ~У(й., и) = — С +, [Л~ — З(йп)~1+..., (2) где 1 = т12/12. Найдем приближенное выражение (1) при движении стержня на расстояниях [К вЂ” а[ (( а, где а — радиус Земли. Полагая в (2) К = а + г, получим 6.4.2. Найти потенциальную энергию взаимодействия твердого тела с Землей, если его размеры малы по сравнению с расстоянием между центром Земли и центром масс тела. Решение.

Положение тела определяется радиусом-вектором центра масс К и углами Эйлера оа относительно референционной системы отсчета. Потенциальная энергия взаимодействия тела с Землей У(К, оа) =- — СМ [К т х[ 6.4] Движение космического аппарата в ньютоновом поле тяготения 301 Если размеры тела а « В, то подынтегральное выражение можно разложить в ряд Тейлора: 1 1 д 1 1 д 1 ~К-!-х~ й ' д11, В 2 ' ~ дрмдйз Л 1 хгдг 1 1'З(хК)~ х дз + 2 1 11з дз)- Учитывая, что свертка тензора инерции 1„= 1ы + 100 + 1зз =. 2 ~ д~х Р(х) хз, 1 1зх р(х) хгхь =- — 1сь + — 1 Аы 2 получим где Л', = е'„В, е', базисные векторы системы отсчета, связанной с телом.

Таким образом, сила, действующая на твердое тело, зависит от его размеров и ориентации. Только для однородного шара (1 в = — 1б в, 1„=- 31) второе слагаемое равно нулю. 6А.З. Центр масс осесимметричного спутника движется по кеплеровой траектории. Найти лагранжиан, описывающий движение спутника относительно центра масс. Решевие. Обозначим К вЂ” радиус-вектор центра масс спутника, ез„— углы Эйлера. Лагранжиан спутника в инерциальной системе 10> отсчета 1 10) (Н Н (01 .(О)) Н 2 + 1 (О) (Оз (1(Н 10)) (ц Поскольку размеры спутника Ь « Л, то потенциальная энергия определяется приближенным выражением, найденным в задаче 6.4.2.

Лагранжиан (1) порождает систему, состоящую из шести связанных уравнений. Три из них имеют вид Лля реальных космических аппаратов отношение второго к первому члену (Ь/Рт)з « 1. Следовательно, собственное движение спутника (неизменных размеров) относительно центра масс незначительно влияет на характер траектории. Поэтому рассмотрим задачу в приближении заданного движения центра масс К .—.

В(г), где 1ь(г) закон движения [Гл. 6 Динамика твердого тела 302 по кеплеровой траектории. Опуская в (1) члены, зависящие явно от времени, получим лагранжиан движения спутника относительно центра масс 2 11~ Далее удобно перейти в систему отсчета, вращающуюся с угловой скоростью й вектора К(1): е = Л ь(1) пь. Здесь пь -- базисные орты инеРциальной системы отсчета: е = [йе ], й, = Пег = ег ьЛ,Лть. В новых координатах Ь( „.,Л„,1)=~1г ( +й);( +й) — и'( „,1), (З) (4) 2 я ГдЕ П'; = Е',1Ь, Е', = Яг (1) Ет, Яга(1) МатрИца ПОВОрОтОВ На ЭйЛЕрОВЫ углы, е', = Я; е + Яг е = [(ог + й)е') .. Учитывая соотношение а„дЬ/да„= аг„дЬ/дог„, получим обобщенную энергию относительного движения Не(о„, 1) = — — 1гьйгйь+ — ' ', 1гьНг Нь„К К„., (5) 1 3СМ 2 На где Нп, = Я; Л гм Нг = В.пь Первый член в (5), пропорциональный квадрату угловой скорости й~, аналогичен центробежной энергии.

Если центр масс движется по окружности, то дЬ(д1 = О. Обобщенная энергия сохраняется. Направим ось а референциальной системы отсчета с началом в центре масс спутника параллельно вектору й, а ось я-- к центру Земли. Тогда К(1) = — й(1) е, й = йе,. Векторы е, и е представляют линейные комбинации базисных векторов ем подвижной системы, связанной со спутником: е = (соЯРсоа Вг — Яп Р совд в[пф)еа — (совр Яп~Р+ + яп р совд сов уг) еа + ялмар япВ екч е =япВ впфе +вид сояфе„+соэде,. Подставляя в (3), (4) векторы аг и К, получим Ь(а„, Ь„, 1) =- — [В +(|р+й) вп~д~ + + —,' ~(р+й) .В+~,' — и'( „, 1), (6) Н'(оа: 1) = а ~1 — (1 — 1з) яп'0 вп'р~. 2й~ 6.4] Движение космического аппарата в ньютоновом поле тяготения ЗОЗ 6.4.4. Центр масс осесимметричного спутника движется по круговой орбите.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее