Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике

Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике, страница 43

DJVU-файл Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике, страница 43 Теоретическая механика (2645): Книга - 3 семестрЮ.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике: Теоретическая механика - DJVU, страница 43 (2645) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 43 - страница

Учитывая решение задачи 6.3.28, получим кинетическую энергию системы К = — 1~ Р1+ — 1~ (1рз+ З21 соз о22)+ — 1оа (р1 шпрз) + + 2 ! (Рз+Р1 з1п з22)+ 2 !о (Рз+1Р1 созрз) . 121 2 2 2 1 (3) 2 Подставляя н = — дез, получим потенциальную энергию системы !! =- тзде11ез -— — тяз соз ~рз. Лагранжиан гироскопа Ь = К вЂ” !1. 121 Вычисляя производные М, = и,!др1 М.,' = д1,1дрз, Е = Р1д!1ду21 + ззздЬ1дйз+ Фзд!1д1рз — йо найдем первые интегралы Мз — — 1о (1Рз+ З21 соз Рг); 12) (2) Е = — 19~<р~1 + — 1~ ~ (<р~ + ~р~ соз <рз) + 1 ° 2 + — 1о (З21 з1пэ22) + 1 (1рз+ А з1п 'Рз) + 69 ' ' 2 1 121 2 2 2 г + ро М2 971 сОз Дз гпн 3 соз З22 ° (3) 2!о Если моменты инерции всех рамок положить равными нулю, то уравнения (1) — (3) соответствуют уравнениям движения симметричного волчка.

Исключая из (3) 1р1, получим уравнение о22 = Е(рз), правая часть которого содержит рациональную алгебраическую дробь. Наличие рамок приводит к новым эффектам. Из уравнений (1), (2) находим М Мз соз 222 (4) [1 т 1 соз З22 + (1о т 1 ) з1п З22; М, = [191+ 11 1 соз 1рз+ (! + 11 1) яп 1рз) 1Р1+ + 1о (1рз + З21 соз З22) сов 1Р2: (1) [Гл. 6 Динамика твердого тела 292 еоОО =- (О, О, Д, ьг~~~ = (В, 22 яйпд, й соя В). Рис. 6.3.30 Пусть !о — осевой момент инерции диска и рамки, 1, 1з — главные моменты инерции маятника.

Лагранжиан системы 1, =- — ~р~+ — (Вз + ~р~ яйпзд) + — ущ соязВ+ тп! соя В, 2 2 2 где ! — расстояние от оси тйй до центра масс маятника. Найдем первые интегралы: Л12 = (1о + 1 гйп В+ 1з соя д) А Е = — — о Зщ + — (Вз + Зг~ яйпзВ) + †р~ сояз — т ! соя д. (2) 2 2 2 о Исключая ~р из (1), (2), получим уравнение М2 Е = — дз+ и,, и, = — т8! сояд+ з (3) 2 " ' 2(1о+ ! яшзд+ 12 соязВ) Положение равновесия маятника найдем нз уравнения дие/дд = О. Поскольку в реальной установке 1з « 1о, то ди, р, Яз! .В Мз! соя2В !г!з! яш 2В (!о , '1 Яш В) (!о 61 Я2п В) .2 2+, .2 З.

д'и, д2В =- тя! сояд В окрестности положения равновесия В,„=- 0 решение уравнения (3) В(!) = А соя(а2!+ ег), ог~ = (™ — — 2). Угловая скорость прецессии гироскопа меньше скорости прецессии симметричного волчка с закрепленной точкой. 6.3.30. Маятник Пошехонова. Маятник может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, закрепленной на рамке, расположенной в вертикальной плоскости. Рамка установлена на диске, который может вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 6.3.30).

Найти частоту линейных колебаний маятника и угловую скорость вращения диска. е Решение. Система имеет две степени свободы. В соответствии с решением задачи 6.3.28 положим П = О, рз =. 22, 222 =- В. Згз = О. Угловые скорости внешней рамки и маятника Уравнения Лагранжа 293 Угловая скорость диска м (1а -> 1А2 соаг (а12 т е1)) представляет собой периодическую функцию, максимальное значение которой Мз,)1е значительно превосходит минимальное значение Мз/(18 + 1А ). При прохождении маятника через положение равновесия наблюдается скачок угловой скорости диска. 6.3.31. Гирокомпас.

Гирокомпас представляет собой гироскоп с осью ротора, закрепленной на рамке, которая может вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 6.3.31). Гирокомпас установлен на широте Л, ось ротора направлена на север. Величина угловой скорости вращения Земли — Й. Исследовать линейные колебания оси гирокомпаса в окрестности положения устойчивого равновесия. Решение. Единичный вектор е1 направлен на север по касательной к меридиану. Вектор угловой скорости вра1цения Земли Й лежит в плоскости, перпендикулярной вектору ег.

Система имеет е ег две степени свободы. В соответствии с решением 1 задачи 6.3.28 положим Й1 —— - Й сов Л, Йг = О, Йз —— = Й 81пЛ, д1 = уг, 'рг = у); агз = О. Угловые ез скорости рамки и ротора Рис. 6.3.31 агг = Й1 8'пФ а18 = Ф+ Йз <1) . ГО а1 = Й1 сов аг, <1) а1, =- ф+ Й1 совр, 12) агг = — Й1 81п Зг соа ~ + (ф + Йз) 81п вц 12) а~з = (Зг + Йз) соз е + Й] 81п 1р 81п 1)1. )г) 1 =- — 16) ~(22+ Йз) + (Й1 сов зг)~) +— 2 2 + 1(( ° +Й )2+(Й 18~) (Й1 81пуг)2+ 81пу) ~+ 1а(1) +Й, соь р) . Первые интегралы .дй .д1 Е = У) —, + 1() —. — Ь, ду) д)), Мз = д1, д9 ' Мз — — 18 (1р + Й1 соз ег) ., Пусть 11~ = 18~8 — — 16), 122 —— - 18~ главные моменты инерции рамки, 111 — 1а, 122 — 112 .— 1 главные моменты инерции ротора. Лагранжиан системы [Гл.

6 Динамика твердого тела 294 Е = 2 (100+ 1) р'+ 2 1о4'— — — [(1о ~ + 1) я1п~яг+ (1о + 100) соя~у~ йз + С, (2) с = -- (1 ' + 1) й,'. 2 Исключая Ы из (2), получим уравнение Š— — — Ф'+ 1) р'+ 11(р) (3) а 11(р) = с+ и' — и,'й, 21о — — [1~ ~ соя гг + (1о ~ + 1) я1п ~р ~ й,. дб Найдем положение равновесия оси гирокомпаса из уравнения — = О, др = Изйз я'пяг ( 1 + 1о +1)й1 я'пФ сояР. д[1 00 з Обычно РеализУетсЯ Условие Из» 1о йм 1йм ТогДа в окРестности 00 устойчивого положения равновесия ~р = 0 решение уравнения (3) ог(1) =.

А соя(ого+ о)., ог~ = Ось гироскопа колеблется перпендикулярно плоскости меридиана. 6.3.32. Гироскопическая стабилизация. На рис. 6.3.32 изображен вагон однорельсовой дороги. Устойчивость вагона обеспечивается гироскопом с осью ротора, закрепленной на рамке, которая может врашаться вокруг оси, жестко связанной с корпусом вагона.

Массы вагона и ротора гп, тз, расстояния от рельса до центра масс вагона и оси рамки — г, гз, расстояние от оси рамки до центра масс ротора — я. Найти решение уравнений линейных колебаний системы в окрестности устойчивого положения равновесия. Решение. Система имеет три степени свободы. В соответствии с решением задачи 6.3.28 свяжем неподвижный базис, задаваемый векторами пь.. и базис, образованный векторами езн преобразованием поворота вагона на угол ф вокруг орта ез, направленному по рельсу: е, = — яшина+созда,, ез = па, ез = сояфпз+яшдпм Угловая скорость й = йьези й = (О, Д, О).

Положим яг~ = О., заз = д., 00 ~рз .=- гь Поскольку ггг =- О, то еь —— — егн й =- ы~й угповая скорость вагона. В нашем случае ез ~ = ез~ ~ =. — яш д ез ~ + соя д ез ~. Урааненил Лагранжа 295 Угловые скорости рамки и ротора Пусть 1гг = 1 — момент инерции вагона, Хгг = Хзз 1 ', 1гг (з) (г) (г) (г) (г) (г) Хс — главные моменты инерции подвижной рамки, 1зз — — 1с 1 = 1 = ХОΠ— главные моменты инерции ротора. Кинетическая энергия системы К = — 1)3г + — 1(г) [дг -(- ((3 я)п 0) г~ + — 1(г) ((3 соя 0) г + + — 1(з) [0 + ()з сов 0) ] + — 1( ) (ф — (3 я(п 0) .

Найдем теперь потенциальную энергию системы. Вектор пз направлен вертикально вверх, и =. — ипз. Радиусы-векторы центра масс вагона и ротора соответственно равны !ез и !гез + зез . Потенциальная (з) (з) (з) энергия системы ХХ =- (т(+ тз(г) дпзез + тззяпзез (з) (з) = (т(+ тзСг) д соя(3+ твэл соя(3 соя 0. Лагранжиан системы Х, = К вЂ” ГХ. Поскольку 1(г), 1( « 1(з), (г) 1, то можно пренебречь кинетической энергией рамки. Очевидно, (з) сохраняется проекция момента Мз =- Хе ф — )3 я)пд). Уравнения (з) Лагранжа имеют вид — (1~+ 1(~)~ соя  — Мз я)пд) = сй = (т(+ тз!г) д я(п)3+ тзз(( я(п(3 соя 0, (1) — (1( )О) = — 1( )(3 сояВ я(пд — МзД совВ+ тззя соя Д в(пВ. (2) М ы( ) = д, ы~( ) = (3 сов 0, ы( ) = — )г в(од, ы[ — — д сову)+)г сояд яту).

ыг — — )3 сояд сояф — д язпу). агз( ) — — ф —,3 я(пд. Линеариэуя систему (1), (2) в окрестности положения равновесия )3 = О, В, =- О, получим Хгз(3 — Мзд = те 1 дД, 1( )В = — МзД+ тззяд. (3) (4) [Гл. 6 Динамика твердого тела 296 Здесь 1зз = 1+ 1~з~, то1 = т1+ тз(1з + в), то = т + тз. Из решения характеристического уравнения следует, что положение равновесия устойчиво при условиях 31з > 1ззтзза+111то16; Я > О.

Следовательно., центр масс ротора должен находится выше оси подвижной рамки. Р У Рис. 6.3.33 Рис. 6,3.32 6.3 .33. Эллипсоид на горизонтальной шероховатой плоскости. Эллипсоид вращения с полуосями а и с > а движется без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Введем неподвижную систему координат К(к, у, г) и систему координат К'(к', у', г'), связанную с эллипсоидом. В системе К ось г направлена по вертикали вниз. Положение системы К' относительно К определяется углами Эйлера зо., О., ии На рис. 6.3.33 изображены оси системы К' при значениях углов ~р = О, д ф О, ф = О. 1(ентр масс эллипсоида находится в точке к,' = О, у~( = — р, г,' = О.

Компоненты тензора инерции в системе К' имеют вид 1п = 1ы 1зз = 1з, 1зз = 1з, 1зз = О., 1зз = О, 1гз = — я. Эллипсоид с подобным распределением массы представляет собой одну из реализаций кельтского камня (се11я) [173[. Найти решение уравнений движения в окрестности положения равновесия. Решение. Пусгь г — радиус-вектор точки касания эллипса Р и плоскости, г = кгез~ + У'ез + г'е~з, г = ОР. В системе К' УРавнение поверхности в гауссовых координатах и, и имеет вид к' = а я[п и соя и, у' =. а я[пи я[пи, г' =- с соя и. Единичные векторы, касательные к поверхности а а с Ео — — — сояи сояие, + — сояи юпиез+ — я1пиез, (а сояи)з+ (с я[пи)з., Ез = ( — я[пи., сози, 0).

6.3] Уравнения Лагранзгса 297 Единичный вектор внешней нормали и = (Е1Е2), и.= — ягпи сояоег+ — ягпи 31пп ег+ — сояиел. (1) с с, а В точке Р единичный вектор внешней нормали к поверхности п = = — ез: ез = ягод 31пг( е', +ягпд сояфег+соядез. (2) Из (1), (2) находим гауссовы координаты точки касания: е = Зя/2 — ф, ягпп =- (а/6) ягпд., сояи =-. — (с/6) сояд., 6 =- аг ягп~в+сг созга, Ы = ас/6.

Координаты точки касания г г г а а с х =- — — яш0 ягпф у = — — ягп0 соя ф 3 = — — сояд. 6 6 6 Пусть В .—.. (Л1, Вг, Ргз) радиус-вектор центра масс. Условие движения без проскальзывания приводит к нсголономным связям: скорость центра масс Й и угловая скорость ы связаны соотношением О =- К + (ыя), где я = г — г, -- радиус-вектор, направленный из центра масс в точку касания Р, г,, = — ре'.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее