В.В. Петкевич - Теоретическая механика, страница 9

Положение фигуры 5 в плоскости (х„О, х,) Рис. 1 20. определяется тремя парамет- рами. В качестве таких параметров можно взять, например, две координаты точки О' и угол поворота осей $„ О', $,, жестко связанных с телом (на рис. 1.21 это угол 6). Скорость точки Р, лежащей в плоскости ($м $,), будет равна е = е'+ [вг[ (г = О'Р). Для того чтобы получить проекции втой скорости на оси х„ запишем формулу Эйлера в виде е=е+ о о в. (1.79) Отсюда о,=пд+вхь (1.80) 01 = п1( — вхм В силу ортогональности векторов в и е' должна существовать в каждый момент времени такая точка тела, скорость которой э ю.

члстныа виды движвния лвсолютно твардого талл 51 в этот момент времени равна нулю *). Обозначим эту точку через Оа, а ее координаты в неподвижной системе — через хг, х$. Тогда О = аг — соха, О = па+ гвх~. (1.81) Вычитая почленно (1.81) из (1.80), найдем ог = го (ха — ха), оа го (Д вЂ” хг).

(1.82) Из (1.81) следует, что при условии геныч существует единственная точка на конечном расстоянии, скорость которой равна нулю. А из формул (1.82) мы видим, что если в эту точку поместить начало координат в тот момент времени, когда ее скорость равна нулю, то распределение скоростей точек тела будет такое же, х чг Уа 2 как во вращательном движении вокруг неподвижной оси. Точка ор 0* называется центром мено- й венного вращения, или мгнавен- д' У, ным центрам скоростей.

Очевидно, что координаты точки 0* (хг= — — ', ха= — ') будут зависеть от времени, т. е. ,Х'г в разные моменты времени разные точки тела будут совладать с центром мгновенного вращения. Передача этого свойства от точки к точке происходит со скоростью, называемой скоростью смены мгновенных ценпграв. Геометрическое место точек плоскости (х„ О, х,), с которыми совпадает точка 0*, называется неподвижной центроидой (или неподвижной полодией).

Координаты точки 0* в системе $„0', $„ жестко связанной с телом, определяются формулами, аналогичными формулам (1.81): (1.83) здесь а~, н аь — проекции скорости точки 0' на оси $г и $а. Проекции вектора ге иа оси х„ и $а совпадают. С помощью формул (1.83) можно найти геометрическое место точек тела а*), с которыми по очереди совпадает точка 0'. Эта кривая называется подвижной центраидай. Центр мгновенного вращения может быть найден простым геометрическим способом, если известно направление скоростей ") Точнее, гочка принадлежащая нлоскосга (сг, О, $а).

") Лучше говоргпа агеометрнческое место точек системы 1м О', 1аа. ГЛ. !. КИНЕМАТИКА двух точек тела. Поясним этот прием на примере. Пусть абсолютно твердый стержень АВ длины 1 скользит своими концами по прямым Ох и Оу (рис. 1.22). Скорости точек А и В равны еА н ев соответственно. Проекции скоростей точек А и В на направление стержня должны быть У равны друг другу.

Точка О* будет лежать на пересечении перпендику! ляров к векторам пА и па, восстав- ленных в точках А и В, так как, 8 С если допустить, что скорость точ- ки О* отлична от нуля, то окажется, ! что она должна быть перпендику- О л и ~ лярна к двум непараллельным пря- мым. Рис. Ь22. Неподвижной центроидой в этом случае будет окружность радиуса 1 с центром в начале координат, а подвижной — окружность, диаметр которой равен 1, с центром в точке С (АС = СВ). Используя формулу Рнвальса, можно найти распределение ускорений точек тела. Подобно тому как мы нашли центр мгновенного вращения тела, можно найти центр ускорений, т, е.

такую точку тела, ускорение которой равно нулю в некоторый момент времени. Интересно, кроме того, вычислить ускорение центра мгновенного вращения 171. и 11. Подвижные системы отсчета а кинематике точки Рассмотрим движение точки М относительно подвижной системы отсчета, с которой свяжем декартовы координаты См $м $з (рис. 1.231. Р . ! 2З. Положение точки относительно подвижной системы опреде- ляется ее относительными координатами $, нли относительным з и. подвижныв снствмы отсчвта радиусом-вектором г, который можно представить в виде з г= ХЦ., 5 ! где 1,-орты, направленные по подвижным осям.

Положение точки М относительно неподвижных осей х; мы сможем определить, если в каждый момент времени будут известны ее относительные координаты и, кроме того, известно положение осей $, относительно неподвижных осей, т. е. движение системы $, должно быть задано. Обозначая, по-прежнему, ОМ через Я, а 00' через )т', запишем Я=Я'+г' (1.84) (здесь положение подвижных осей определяется вектором 1т' и ортами г,).

Найдем скорость точки М относительно неподвижных осей, определяя ее положение указанным способом. Дифференпируя обе части равенства (1.84) по времени, получим а я кг — = — +— л! !я !!! ' Очевидно, что — =и есть искомая скорость точки М относи- !Я Й тельно неподвижной системы, а — =т! — скорость начала под- И' !!! !!г вижной системы. Последнее слагаемое, т, е. — „, мы рассмотрим подробнее. Относительные координаты точки и орты т', в общем случае зависят от времени, следовательно, з з Преобразуем первую сумму, принимая во внимание, что по форзг, муле Эйлера — '=[Ы,1 (е есть мгновенная угловая скорость вращения подвижных осей): з з ~, $,—;= ~ $,[а!г,1=[в! 1.

з Вторую сумму р г,— „' обозначим через — „и назовем относит! . Й ! ! тел! ной производной. Таким образом, для производной от г ГЛ. !. КИНЕМАТИКА по времени получим следующее выражение: — 1ег)+ —. бр Хг бг бр ' (1.85) Скорость точки М относительно неподвижной системы отсчета будет равна тз = тз'+1ег]+ —. (1.86) Если относительные координаты точки $, постоянны (если нет относительного движения), то — =О. бг ~й е=! Первые два члена в правой части формулы (1.86) представляют собой ту часть скорости, которая навязывается точке движением системы.

Эта часть скорости называется переносной скоростью и обозначается через тз„,р'. ет„„= е'+ [ег). (1.88) Переносную скорость будем определять как скорость того места е) в подвижной системе отсчета, в котором точка М находится в рассматриваемый момент времени. Вычисляется переносная скорость по формуле Эйлера. Итак, скорость точки М относительно неподвижной системы отсчета может быть представлена в виде триер + т»отн (1.89) Найдем ускорение точки относительно неподвижной системы отсчета в том случае, когда положение точки определяется ее относительными координатами $,(1). Лифференцируем обе части (1.89) по времени: непер беотн а= — = он ет ог + —. Вычислим производную по времени от т»„,р.

,„' = — +~ — Г~+~е — „,~, ° ) В определении переносной скорости слово «место» употребляется для того. чтобы избежать повторении слова »точка». Поэтому относительная производная называется относительной скоростью н обозначается через и„„: з тз„„= Яе,$,. ГЛ. Е КИНЕМАТИКА переносной скорости, вторая половина — при дифференцировании относительной скорости.

Последнее обстоятельство помогает при решении задач находить направление а„,р'. нужно лишь обратить внимание на то, в какую сторону поворачивается вектор относительной скорости под влиянием переносного вращения. Окончательно найдем (1.95) а=а„„+а„„+а„„, где а„,р определяется формулой (1.93), а„,р — формулой (1.94) и а„„вЂ” формулой-(1.91). Формула (1.95) носит название 4юрмулы Кориолиса. Итак, если положение точки М определяется ее координатами относительно подвижной системы отсчета, то абсолютное ускорение точки можно вычислить с помощью формулы Кориолиса. $12. Сложение движений абсолютно твердого тела Покажем, что если положение абсолютно твердого тела определяется относительно подвижной системы отсчета, то распределение скоростей точек тела относительно неподвижной системы отсчета дается так же формулой Эйлера. Прн этом могут существовать еще движущиеся одна относительно другой промежуточные системы отсчета.

Ркс 1.24. На рис. 1.24 изображены две подвижные системы отсчета— системы П и 1!1, начала которых движутся со скоростями е, и т1„мгновенные угловые скорости этих систем равны 1з, н 1», соответственно. Система У$' неподвижна. Система 1 с началом в точке тела О„на рисунке не изображена, е 1а.

слОЖенив дВижениЙ АБсОлютнО тВИРдОГО телА 67 Пусть т1„„1! есть скорость точки Р, принадлежащей телу, относительносистемы П: ааотн ! ! а!1+ [Ь»1Г]т (1.96) где г= О,Р, ед — скорость начала системы отсчета, движущейся поступательно относительно системы П, ь»1 — мгновенная угловая скорость тела относительно этой системы. Для того чтобы найти скорость точки Р относительно системы П1, вычислим по формуле Эйлера переносную скорость, «навязанную» точкам тела движением системы П: адпе»1! ада+ [ь»а 0»Р] Но, так как О,Р=О,О,+г, то тапер!! =т!а+[ы»0»01]+[е»аг]. (1.97) Складывая геометрически (1.96) и (!.97), найдем скорость точки Р относительно системы П1: !доте 1! ! = Т!1+ ее+ [ь»а 0,0,] + [(ь»1 + ьда) г]. (1.98) В последнем слагаемом формул (1.97) и (1.98) вектор ь»а надо считать перенесенным в точку О,.

1дналогично найдем переносную скорость, «навязанную» точке Р движением системы 1П: »»пер! и = Т!а+ [в»а 0»Р] = Т!з + [сьа 0101]+ [адзг]. (1.99) При вычислении [ь»зг] следует вектор ьдз перенести в точку О,. Найдем скорость точки Р относительно неподвижной системы отсчета 1У: т!отн !тт = Оотн 1И + «!пер ! ! ! т!1+ т!а+ т!а+ + [ь»а 0»01]+ [ь»з 0»01]+ [(ь»д+ ьд, + ь»а) г].