В.В. Петкевич - Теоретическая механика, страница 7

Составим таблицу косинусов углов, обра* зуемых осями х~ и $л Обозначим через ссц косинус угла между осью Ох~ и осью О'$у'. ссц — — соз (Охь О'$у) = соз (е~, эу). Таблица косинусов будет иметь вид (1.56) Так как системы координат ду и $у ортогональны, то ~ч„ ао х;а = буа, (! 57) где символ КРонекеРа бга Равен нУлю пРи 1'Фй, и единице пРи 1=/г. Число соотношений вида (!.57) равно шести. Следовательно, три из косинусов ац, не расположенные в одном стол5це, или в одной строке, могут быть приняты за независимые, остальные шесть найдем из (1.57). Кроме того, три координаты определяют положение точки О' — начала системы, жестко связанной с телом.

') Очевидно, что осв сь $е, йа представляют собой координатные линии сопутствующей сястемы координат Лагранжа, н мы пока сохраним соответст вующее обоаначенне. в к опявдвлвнив положвния лвсолютно твяэдого тала 39 Итак, всего шесть величин определяют положение системы $„$з, 5, а следовательно, и абсолютно твердого тела относительно неподвижной системы отсчета. В главе, посвященной механике абсолютно твердого тела, будут рассмотрены углы Эйлера †оче 1 добные обобщенные координаты, которыми чаще всего пользуются ля определения положения осей, жестко связанных с телом. Рис. 1.16. Заметим, что положение системы $„$„5 можно определить, задав положение трех точек тела, не лежащих на одной прямой.

В самом деле, три точки позволят определить, например, плоскость ($з0'$з), т. е. орты эз и эз. Тогда третий орт эз найдем с помощью векторного умножения эз и э,: э. = (эзэ,). Пусть точками, определяющими положение плоскости ($з0'$з), будут точки А, (з=1, 2, 3). Координаты этих точек хм удовлетворяют соотношениям вида (1.52): а а ,5', '(хм — х1д)а=раз,,5', (х1з — хгз)а=раз, ~~ (хзд — х!з)з рзь 1 1 /=! где рз,-постоянные. Следовательно, из девяти координат хг„ удовлетворяющих трем условиям неизменяемости, шесть координат независимы. Остальные три могут быть выражены через независимые с помощью условий неизменяемости расстояний между точками.

Результаты этих двух подсчетов дают, разумеется, одно и то же число независимых координат, которые нужно задать (или найти из уравнений движения), чтобы определить положение абсолютно твердого тела. Ясно, что задавать независимые координаты нужно так, чтобы не терялся их смысл и смысл соотношений, связывающих зависимые и независимые координаты. 4о Гл. 1. кинвмАтикА $8. Прямой вывод формулы Эйлера для распределения скоростей точек абсолютно твердого тела ~я а!!' иг Л=)т'+», по=о= — = — + —. а! й и! ' Очевидно, что — есть скорость точки 0'. Обозначим ее через и'. Ф Производная —, которую мы условимся обозначать через тп, выражает скорость точки 0 во вращательном движении тела, относительно движущейся системы у„у,„у, с началом в точке 0' (оси координат у, всегда параллельны осям х,).

Так как координаты $! постоянны, то удобно радиус-вектор» точки О представить в виде »= ~~ эД. 1 (1.58) Тогда з те= = 7 $1 э аг 'к! "в! а! ? (1.59) 1и! ИВ! где — О, — ( э, (!э!~=1). Скорость точки Я будет равна т! = т!'+ тв. (1. 60) Лалее, выразим векторы э! и их производные через направляющие косинусы подвижных осей координат: авр к! лап Э7= ~ Е1а10 — Г Е,—. (1.61) 1 Приведем вывод формулы Эйлера, предполагая, что тело абсолютно твердое, и что, следовательно, справедливы уравнения (1.52), связывающие координаты любых двух точек тела.

Формулу Эйлера выведем для тела конечных размеров, минуя формулу Коши — Гельмгольца. Предположим, что тело движется относительно неподвижных осей х,, х„х, и жестко свяжем с телом оси $„$м $„начало которых помещено в произвольной точке тела 0' (см. рис. 1.16).

Воспользуемся таблицей косинусов углов между подвижными н неподвижными осями координат (1.56) и соотношением (1.57), Обозначая некоторую точку тела буквой Я, положим ОД=Я, 00'=)с', О'Я=». Тогда 41 4 з. пеямои вывод еормзслы эилвгх з з тзс= ~»~,' ~)~ едг — и. !=!с=! Найдем проекцию вектора тзс на ось $» (й=1, 2, 3); з з з з сГасс ис» (тгсэ») = ~~, ~~ (есэ») К~ — = г $~ ~ а,»ап. (1.62) (1.63) !=!с=! с=! с ! Полученные формулы выражают закон распределения скоростей точек тела во вращательном движении в виде линейных функций координат точек.

Поставим следующую задачу: представить закон распределения скоростей в более простой и наглядной форме, используя свойства функций ап(с). С этой целью продифференцируем по времени тождества (1.57) з сг — ~~ ас,ас»= О. с=! Полагая 7' =с», найдем 3 ~ ', ацац = О. с=! (1.64) При г'чьсс результат дифференцирования запишем в следующем виде: 3 з ,),' асса!» = — ~ ас,асс, (1.65) с ! с-! Для сумм (1.64) и (1.65) введем сокращенные обозначения: з 3 Я а!сап — = Оп ~' асс໠— = Ог» (1.66) с=! с=! Очевидно, что О»= — О,, О =О.

Величины О»с имеют размерность с-', т. е. размерность угловой скорости, при условии, что углы измеряются в радианной мере. Формулы (1.63) примут вид ас»= ~Ч~ ~О»Д (й=1, 2, 3). сф» Из равенств (1.65) следует, что среди шести величин О,» различными будут только три. Полагая последовательно й 1, 2, 3 и Таким образом, для вектора тзс мы сможем записать следующее выражение: 42 ГЛ. !. КИНЕМАТИКА выбирая в качестве основных коэффициентов Озе Озм Овм запи- шем *) (1.67) Заметим, что можно было бы за основные коэффициенты принять Ое, Ое, Ом, но тогда в правых частях формул (1.67) изменились бы знаки, Введем сокращенные обозначения, полагая ем Ом=ез, Ое=ее л! аз аз ян= ы! <зз ыз 1 $! Ь 1з где э) единичные векторы, направленные жестко связанным с телом.

а Если мы теперь положим е =,У, 'е;э; !=1 вать е как вектор (в $ 13 будет доказано, вектор), то получим по осям координат, и будем рассматричто е действительно тп = [ег]. (1.69) Формула, к которой мы пришли, решает поставленную задачу: она описывает распределение скоростей точек проще н нагляднее по сравнению с формулой (1.62).

Рассмотрим некоторые следствия из полученной формулы *а). Во-первых, мы замечаем, что (гтп) = О, т. е., что тп 1 г, а во-вторых, что если г =Ле, где Л вЂ” скалярный множитель, то тгг = [еЛе) = О. Зто означает, что равны нулю во вращательном движении скорости точек, лежащих на прямой, вдоль которой расположен ') Перестановка индексов круговая. '") Здесь мы повторяем ряд положений кинематики для тех читателей, которые пропустили Я 3 — 6 гл. ! и не знакомились с выводом формулы Эйлера на основе формулы Коши †Гельмголь. Ом= Тогда юз = езьз — езьз или и!! = Огзйз — Озгй„ и!~ = О~А! — Озфз, !пз = Озз йз — О!за! газ = езй! — ейз~ гпз = ехйз — еДх (1.68) 43 4 в. прямой ВНВОд ФОРмулы эйлаРА в рассматриваемый момент времени вектор от.

Скорости этих точек равны скорости начала подвижной системы координат, т. е. вектору е'. Далее, так как а ст — » агась!»=О, ! 1 то и 14- О. Следовательно, вектоР га не зависит от кооРдинат $,. дю 4)чевидйо, что «ь не зависит н от координат х„ так как а ~— =,5„ив д — ' = 0 (» = 1, 2, 3). г=! Будем называть ю вектором мгновенной угловой скорости, а прямую, на которой располагается этот вектор в рассматриваемый момент времени, проходящую через точку О', осью мгновенного вращения, или, короче, мгновенной осью. В общем случае эта ось перемещается относительно системы координат $„ $„ 5, жестко Связанной с телом.

Это следует из того, что уравнение мгновенной оси в этой системе будет иметь вид Ьье о>! Фз где Ц, с,"", Ц вЂ” координаты любой точки, лежащей на оси мгновенного вращения, а коэффициенты в! могут зависеть от времени а). Совокупность прямых, проходящих через точку О' и описываемых уравнением (1.70), называется подвижным аксоидом. Таким образом, формулу (1.60), выражающую закон распределения скоростей точек абсолютно твердого тела в любом движении, мы можем теперь записать в следующем виде: т! = и!'+ 1гв»1.

(1.71) Это и есть формула Эйлера в краткой векторной записи. Важно обратить внимание на то, что точка О' выбрана произвольно. При ином выборе точки О' — начала подвижной системы координат у„у„у„оси которой всегда параллельны неподвижным осям, — изменяется скорость чг', изменяется также и относительный радиус-вектор г, но вектор ю в силу независимости его проекций от координат окажется перенесенным без изменения его величины н направления в новое начало. Разумеется, вектор и! ь) Ось мгновенного вращения можно рассматривать как геометрическое место таких точек тела, скорости которых относительно системы координат ри Ыа р, равны нулю в рассматриваемый момент времени.

ГЛ. Ь КИНЕМАТИКА измениться не может — распределение скоростей точек тела нв может зависеть от способа описания. Принимая в качестве подвижной системы координат систему г„ г„гв, с началом в точке О" (см. рис. 1.16) и повторяя все рассуждения, найдем е = е" + '1в О"Щ), (1.72)е где е" есть скорость нового начала подвижной системы координат относительно системы ки г„гв, О'7( — относительный радиус- вектор в новой системе. Точка О" есть одна из точек тела, поэтому применяя формулу (1.71), мы получим е" = е'+ (в О'О "1. (1.73у Отметим важное следствие из формулы (1.73): проекция скорости начала подвижной системы отсчета на направление вектора в не зависит от выбора точки О'. Доказательство очень простое: из (1.73) следует, что (е'в) = (е"в).

А так как величина и направление вектора в также не зависят от выбора точки О', то (е'г„) = (е"е„), где е = —. Следовательно 1вГ Р пр„е = пр„е" = ... (1.74у Если мы разложим скорость начала подвижной системы на две составляющих е1 и е~, из которых первая направлена вдоль мгновенной оси, а вторая перпендикулярна к ней, то очевидно, что е~~ не будет зависеть от выбора точки О'. Составляющая же е' будет изменяться при переходе к новому началу О", и подходящим выбором начала О* подвижной системы координат мы сможем обратить эту составляющую в нуль. Тогда распределение скоростей точек тела в каждый момент времени будет соответствовать мгновенному винтовому движению: скорость каждой точки тела будет геометрически складываться из скорости скольжения вдоль оси, проходящей через точку О* (теперь это — мгновенная винтовая ось), и скорости вращательного движения вокруг этой оси ").

При выводе формулы Эйлера из формулы Коши — Гельмгольца (см. у 4 настоящей главы) мы пришли к выражениям (1.47) для проекций вектора в. Покажем, что, дифференцируя обе части ') Предлагается построением найти точку Ое и мгновенную винтовую ось, исходя ив того, что оГ ой, о' О. 45 В 9.