В.В. Петкевич - Теоретическая механика, страница 6

би, бх, Аналогично, отношение — равно угловой скорости вращения отби, бх, резка ОР,. Поэтому коэффициент е„пропорционален скорости изменения прямого угла между отрезками ОР, и ОРэ (скорости скашивания прямого угла или скорости сдвига). $6. НЕИЗМЕНЯЕМАЯ СРЕДА.

ВЫВОД ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА 2 5. Неизменяемая среда. Вывод формулы Эйлера из формулы Коши — Гельмгольца то Отсюда Но при еп — — 0 дхе дхг ' дхг аудит! дхг 1дхг /' Поэтому д !й1г й1А1 д дхГ 1тдхь дхг ) дх; Аналогично Так как — = нд = О, то — 1 †') = О. А так как о- — †, то и й11 д !дог 1 дет дог дхт ' дхг 11дхт) дхг дхт ' — 11 — А)= О. Следовательно, д /ди1 дхг 'тдхг ) — 1 — '- — — и) = — ОД=О.

дх,,дхг дхт) дхт Напомним, что е, ев ев д д д дх, дхв дхв 1 ! оэ= — го1тг=— 2 2 Рт Ри ои е) Однородность поля го1 о имеет место и при более слабьи требованиях, ао в нашем курсе мы этого касаться не будем. 2 В. В, Петкевич Будем рассматривать конечный объем сплошной среды, предполагая, что расстояние между любыми двумя точками среды не изменяется. Это может быть и абсолютно твердое тело, и деформируемая среда, движущаяся как абсолютно твердое тело. Условия, позволяющие отличить среду, которая может деформироваться, от абсолютно неизменяемой среды, в рамках кинематики рассматриваться не могут. При отсутствии деформации все ни равны нулю.

Отсюдв не. медленно следует, что вектор вихря не зависит от координат е). В самом деле, так как 1 удое й111 ел = — ~ — '+ — ) =О, 2 ~дхГ дхт) 34 ГЛ. !. КИНЕМАТИКА Пусть индексы 1, !, й принимают значения 1, 2, 3, или получающиеся из них круговой перестановкой. Тогда ! /дсх <Ьу! В!= — [ — — — ) = ОА!. 2 !дх! дхх! Мы нашли, что, во первых, дом — О, илн — =О, дв! дх! дх! и, во-вторых, — А=О, или — О.

дО! двх дх~ дх, Подобным же способом можно показать, что и — *=О. Следовадв„ дх, тельно, вектор в не зависит от координат н может быть только функпией времени. Рив !.!3. Вернемся к формуле (1.49), полагая бп-о, д -0 и бе=е.бг дв Получим бв = [ве„) бг. (1.50) Используя независимость вектора в от координат, мы можем, интегрируя по г (при фиксированном времени), найти скорость в любой точке Я, находящейся на конечном расстоянии от точки О' (рис. 1.13). Итак, Г ! )бо=[ве))бг а с Отсюда о'о — о~о -[ве,1г.

Окончательно найдем, обозначая о~о через о, а о~о через тг! т! тг'+ [см'1. (1.51] Зб $ З. МГНОВЕННАЯ УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ Мы пришли к основной формуле кинематики неизменяемой системы — формуле Эйлера, которая выражает закон распределения скоростей точек абсолютно твердого тела. $ 6. Мгновенная угловая скорость. Переход к сопутствующим («собственным») координатам Пусть А, и А,— две произвольно выбранные точки абсолютно твердого гела (рис. 1.!4).

Вектор А,А« обозначим через р„= =е,зр„, а координаты выбранных точек — через хц и хм. Запишем условие постоянства расстояния между точками в геометрической форме: 3 ~ (хн — хп)' = (ртз)з. =1 (1.52) Покажем, что условию неизменяемости расстояний между точ. ками можно придать другую (кинематическую) форму. С этой Рис. 1.14. целью, дифференцируя по времени тождество (1.52), запишем»): (хзз — хп) (хм — х~з) О. Разделив на р„ и обозначив через а) направляющие косинусы вектора еми получим з я а;хи = ~ч ', аьт,з. з=! ') В механике абсолютно твердого тела будем пользоваться обычным обозначением производной, так как здесь полевое описание движения, -метод Эйлера, -ие применяется, о ° Следовательно, проекции скоростей концов неизменяемого отрезка на направление самого отрезка рагны друг другу: (я),езз) = (езе„). (1.53) ГЛ. Ь КИНЕМАТИКА Таким образом, мы пришли к кинематической форме условия неизменяемости расстояний между любыми двумя точками тела *).

Заметим, что если одна из точек неподвижна (например, точка А,), то скорость другой точки будет ортогональна к вектору А,А,. С целью дать истолкование вектора ау, рассмотрим движение тела относительно системы координат у, — вращательное движение, обозначая скорости точек тела в этом движении через тв (см.

рис. 1.13). Из формулы Эйлера (1.51) найдем тв=(азу]. (1.54) Заметим, что если г =4о, то си=Π— скорости точек, лежащих на прямой, вдоль которой расположен в этот момент времени вектор оу, равны нулю. Напомним, кроме того, формулу Стокса: циркуляция скорости точек любой сплошной среды по контуру С равна пото- ку ротора скорости через поверх. сп ность, опирающуюся на контур С: ф(вбл) = $ $ (го1 п)„бо. (1.55) с о При вычислении интегралов в формуле (!.55) все точки контура и поверхности рассматриваются в один и тот же момент времени.

О Теперь, чтобы решить поставленную задачу — дать истолкование вектора оу, — выполним вспомогательное построение (рис. 1.15). Проведем через некоторую точку тела О" плоскость Я, перпендикулярную к вектору в. В плоскости построим окружность радиуса р с центром в точке О". Скорости всех точек, лежащих на окружности, будут располагаться в плоскости 3, и в силу (1.53) их величины будут равны между собой. В каждый момент времени мы можем величину скорости записать в виде р — как Л Ж ае для точки, движущейся по окружности, где — „, есть угловая скорость вращения радиусов О"А„О"А„...

К точкам, лежащим на окружности радиуса р, применим форгаулу Стокса: р'—" , ба = ~~ (го1 а)„бо, с ь> С помощью (КЗЗ) можно построить кинематику абсолютно гвераого тела и, в частиости, вывести формулу Эйлера. 37 З 6. МГНОВЕННАЯ УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ или 2пр — = пр (го1а)„. ,да Ж Отсюда дг 2 " Ы' — (го1 и)„ = з» = — . Таким образом, величина вектора «з в каждый момент времени равна угловой скорости вращения радиусов О"Аз в этот момент времени, т. е.

угловой скорости тела. Поэтому вектор е» называется вектором мгновенной угловой скорости тела, а прямая, вдоль которой он расположен, — осьзо мгновенного вращения. Отметим, что вектор «з может изменяться и по величине и по направлению, но в к а жд ы й момент времени распределение скоростей точек абсолютно твердого тела такое же, как во вращательном движении вокруг оси, проходящей через точку О', т.

е. аналогично изображенному на рис. 1.15. До сих пор все описание мы вела в переменных Эйлера. Если Отсутствует деформация, то вектор г» не зависит от координат Эйлера. Очевидно, что е» ие будет зависеть и от параметров Лагранжа: 3 — = 7 — — =О. дзз чз дзз дх7 д$ з'„З д«7 зз« /=! 7 7 7 д д д дхзз дх„, дхзз З З Р е, Е, Ез д д д дхз дхз дхз Рк Рк Рк кз кв го1 тз= Здесь г'„«„Х» — орты, направленные по осям, жестко связанным с телом, о,— проекции скорости на неподвижные оси, о, — проекции скорости на оси, жестко связанные с телом. Следовательно, векторное равенство (1.51) мы можем проектировать как на неподвижные оси, так и на подвижные.

Подвижные оси, жестко связанные с телом («собственные» оси), удобны тем, что координаты точек тела относительно таких осей на зависят от времени. Если, кроме того, для неизменяемой системы в качестве параметров Лагранжа мы возьмем начальные значения декартовых координат, то сопутствующие координаты будут ортогональными декартовыми координатами, оси сопутствующей координатной системы будут жестко связаны с телом («вморожены» в тело).

Переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа будет представлять собой обычное ортогональное преобразование координат. Нетрудно проверить, что при таком преобразовании сохранится вид формулы для вычисления вихря: ГЛ. Ь КИНЕМАТИКА ф 7. Число координат, определяющих положение абсолютно твердого тела Уметь определить положение тела в любой момент времени значит, уметь определить координаты каждой его точки относительно некоторой системы отсчета.

Так как координаты точек тела относительно собственных осей не зависят от времени, то задача сводится к определению положения координатных осей, жестко связанных с телом, относительно неподвижных осей. Здесь мы будем пользоваться декартовыми системами координат (рис. 1.16). Пусть х„х„ка — неподвижные оси, $„$а, $а — оси, жестко связанные с телом*).