В.В. Петкевич - Теоретическая механика, страница 10

(1.100) В формуле (1.100) сумма аад + ааа + Оа + [ьда 0»0 1] + [ь»з 0»01] представляет собой скорость точки О, относительно системы 1У. Обозначим ее через У,. Обозначим, кроме того, сумму ь»а+ее+ад, через !а. Тогда т1„„!о = — У= Уд+[!)г]. (1.10!) Результат может быть сформулирован так: если абсолютно твердое вело движется относительно подвижной сиспмяы опючета, которая сама движепия относительно другой подвижной сиыпемы, и т.

д. (очевидно, что промежуточных сиса!гм может быть сколько угодно), то распределение скоростей точек тела в таком «сложном», или «составном» деижгнии даепия формулой Эйлера Гл. !. кинвмАтикА ((.(О(). Векторы У, и йл не зависит от порядка слагаемых (зто легко проверить), следовательно, сложение производится по правилу параллелограмма. Последнее обстоятельство оправдывает то, что направленные отрезки гв; мы называли векторами. Формула (1.101) говорит о том, что движения абсолютно твердого тела образуют группу "). Из формулы (!.101) следует, что сложение поступательных движений дает снова поступательное, В самом деле.

Пусть оу, = гое=...=0. Тогда ел=0 и У= У,— скорости всех точек тела в каждый момент времени одинаковы. Если же е, =не=...=0, и начала всех систем совпадают, то У = [йлг), где Й =,У, 'е;. ~=! Следовательно, сложение вращений вокруг пересекающихся осей приводит к вращательному движению с мгновенной угловой скоростью й.

о Р=г Ри . 1лй. Особый интерес представляет собой пара вращений (рис. 1.25). Пусть тело вращается относительно системы (( с угловой скоростью ео, (оу, может быть мгновенной угловой скоростью, т. е. речь может идти о мгновенном распределении скоростей). Система (( вращается относительно неподвижной системы П ( с угловой скоростью оуе= — оу„(оси вращения параллельны, ио не совпадают). Обратимся к формуле (1.101). Очевидно, что Я=еу,+оуе=0.

Следовательно, скорость любой точки тела относительно неподвижной системы!(( будет равна скорости точки О,: п„„п= — У= У„где У, = [еое О,ОД. (1.102) ') Приведенный в телеге вывод формулы 11,!011 прелло пен Л, А. Сллвновым, $1». ВЕКТОРЫ Значит, результирующее движение поступательное. Нетрудно показать, что и наоборот, любое поступательное движение можно представить в виде пары вращений, вводя подходящие подвижные системы отсчета. Что подвижные системы могут быть выбраны различными способами, видно из формулы (1.102).

Важно, чтобы вектоРное пРоизведение 1«о»О»011, так называемый момент паРьс,— имело определенное значение. Подобно тому как мы в результате сложения скоростей получили формулу (1.101) †форму Эйлера, можно ускорение в результирующем движении вычислить по формуле Ривальса. Для этого нужно складывать ускорения по формуле Кориолнса.

Предлагаем читателю проделать такой вывод в виде полезного упражнения. В заключение заметим, что довольно распространенное выражение «точка участвует в двух (нескольких) движениях», или «тело участвует в двух (нескольких) движениях» без указания подвижных и неподвижной систем отсчета не имеет смысла. Проблема сложения скоростей или ускорений точки возникает только тогда, когда имеются по меньшей мере две системы отсчета — одна подвижная и одна неподвижная.

й 13. Векторы В кинематике при описании движения различных объектов мы уже встретились с понятием вектора и применяли некоторые операции векторной алгебры (сложение, скалярное и векторное умножение) и, частично, векторного анализа — вычисление градиента скалярной функции. Относительно этих операций мы предполагали, что они известны из курса математики. В следующих главах, в связи с изучением динамики, мы столкнемся с необходимостью расширить область применения понятия вектора «), но новые разновидности векторов нам не встретятся — все основные виды были уже в кинематике. Как мы видим, существуют некоторые кинематические (вообще физические) объекты, обладающие такими свойствами, что их удобно представлять направленными отрезками.

При выполнении некоторых условий такие направленные отрезки называются векпюрами. После того как накоплен некоторый запас конкретных сведений, полезно снова обратиться к основным понятиям теории векторов н, главное, к выяснению вопроса о тех условиях, при которых направленные отрезки можно называть векторами. Физические объекты, математическими образами которых являются векторы, могут зависеть от выбора системы отсчета. ') Придется ввести и одни из простых видов теизоров — теизор ииерции.

ГЛ. Ь КИНЕМАТИКА Мы будем говорить, что от выбора системы отсчета могут зависеть сами векторы — их величина и направление. Поясним это утверждение примерами из кинематики. Пусть точка движется относительно подвижной системы отсчета. Тогда, как это следует нз формул (1.88) и (1.93), векторы переносной скорости и переносного ускорения точки будут существенно зависеть от характера движения системы отсчета. Предположим еще, что точка совершает заданное движение относительно неподвижной системы отсчета. Вводя затем различные подвижные системы, мы увидим, что от выбора этих систем будут зависеть векторы относительной скорости н относительного ускорения.

В частности, если точка принадлежит абсолютно твердому телу, то ее скорость и ускорение относительно системы, жестко связанной с телом, будут равны нулю. Важно подчеркнуть, что коль скоро мы выбрали систему отсчета (тело отсчета), вектор не будет зависеть от того или иного выбора координат. От частного выбора координат (прямоугольных декартовых, или криволинейных) будут зависеть составляющие вектора, например, ортогональные проекции на декартовы оси, но не сам вектор.

В этом смысле вектор инвариаитен. Из этого правила есть некоторые исключения, о которых мы скажем дальше. Физические, в частности, кинематические объекты, изображаемые векторами, могут быть различной природы. С этим связано различие в свойствах самих векторов. Различаются векторы полярные и аксиальные (осевые) *).

Полярный вектор не изменяется при переходе от правой системы декартовых координат к левой системе; сохраняется не только его величина, но и ориентация в пространстве. В силу этого, если мы, переходя от координат х, у, г к координатам х', у', г', положим у'= — у, г'= — г, то проекции полярного вектора на новые координатные оси будут отличаться знаками от проекций на старые оси. Примером полярного вектора является вектор скорости точки — вектор и. Особенность аксиального вектора заключается в том, что его ориентация изменится на противоположную, если мы перейдем от правой системы координат к левой, следовательно, указанное выше преобразование координат не изменит знаков проекций этого вектора. В качестве примера аксиального вектора можно указать вектор угловой скорости тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, либо вектор мгновенной угловой скорости ев.

') Лкввальвые векторы часто называют епсевцовеаторамве. $13. ВЕКТОРЫ Допустим, что имеется совокупность и направленных отрезков Яа, изображающих физические объекты одной природы. Совместив начала рассматриваемых отрезков в одной точке, образуем их геометрическую сумму. Направленные отрезки Я будем называть векп1орами, если их сумма У, ')т„изображает физиче- а скую величину той же природы и не зависит от порядка с л а г а е м ы х. Заметим, что не всякие направленные отрезки обладают этим свойством. Например, направленный отрезок, изображающий поворот абсолютно твердого тела на конечный угол (рис. (,26).

Выполним последовательно трн положительных поворота на 90' прямоугольного параллелепипеда вокруг осей х, у, г (положения 1, 2, д и 4). Затем повернем тело на такие же углы вокруг осей х, г, р (положення 2, и', 4'). Как мы видим, конечные положения будут разные (можно следить за какой-либо отмеченной гранью). ГЛ.

Ь КИНЕМАТИКА Среди векторов различают сеободные, определяемые (в трех. мерном пространстве) тремя составляющими, скользящие («лара- двигаамызА), для определения которых нужно пять величин и, наконец, лриложенные векторы, определяемые шестью величинами. Скользящий вектор можно определить, задавая три составляющие вектора и, например, две координаты точки на какой-нибудь координатной плоскости, через которую проходит ось-носитель вектора. Вектор приложенный определяется тремя составляющими и тремя координатами точки приложения. Примером свободного вектора является скорость точек поступательно движущегося абсолютно твердого тела, все точки которого в каждый момент времени имеют одну и ту же скорость. Пример скользящего вектора — мгновенная угловая скорость абсолютно твердого тела.