В.В. Петкевич - Теоретическая механика, страница 4

Причина кроется в том, что величина дуги зависит от траектории, по которой точка пришла в данное положение. Лифференцируя вектор т по в, запишем Н5 (1.21) где единичный вектор главной Рис. 1.7. нормали т ортогонален к т н направлен в сторону вогнутости траектории, а множитель й, называемый кривизнои, неотрицателен. Множитель й равен нулю, если траектория есть прямая. Плоскость, определяемая векторами т и т, называется соприкасающейся плоскостью. Если рассмотреть смещение первого порядка малости вдоль траектории, то уклонение пространственной траектории от соприкасающейся плоскости будет не ниже третьего порядка малости.

Единичный вектор бинормали () определяем с помощью векторного умножения т и кс () = (тт]. (1.22) Векторы т, т, р, образующие правую тройку ортогональных единичных векторов, определяют направления естественных (натуральных) осей в том месте траектории, где находится движущаяся точка. Плоскости: соприкасающаяся (е, т), нормальная (т, Р) и спрямляняцая (Р, т) образуют трехгранник Френа 125]. Рассмотрим окружность радиуса р (рис. 1.8).

Положим р=-е,р, А„А ( р<р, ГЛ. Ь КИНЕМАТИКА где е, — орт радиального направления, 1 — длина дуги окружности. Радиус-вектор р точки А на окружности будет функцией дуги 1. Рис 1.8. Рис. 1.9. Найдем формулы для производных от р по 1, аналогичные формулам (1.10) н (1.11): ф й и „вЂ”, = —,(ре,) =„— (е,)=е„, иср ии, ии йр ~ ии й й Ьрй 9йР е, Перенесем векторы ет и е„в точку А. Очевидно, они совпадут с единичными векторами касательной т и главной нормали т в точке А: (1.23) Теперь вернемся к естественным координатам точки М, движущейся по некоторой траектории. В соприкасающейся плоскости построим окружность радиуса р, имеющую касание второго порядка с траекторией в точке М (рис.

1.9). Радиус-вектор точки на окружности обозначим через Ю и будем считать его функцией длины дуги окружности 1, радиус-вектор точки на кривой обозначим по-прежнему через г, а длину дуги вдоль кривой через з. Точка С вЂ” центр окружности. Если в точке М кривая и окружность имеют касание второго порядка, то: 1) Ю!м=г!м~ 2) й ~ = ~ ~, 3) и —,~ = а —,и~ . (1.24) Равенства 1) и 2) означают, что у кривой и у окружности общая точка и общая касательная. Из равенства 3), замечая, что я ~р нЧ лир лос й й' й' йи' й — ° 0 з к встнстввнныв коогдинлты точки где Р=СМ, найдем ! — йт ~м. Р ~м Отсюда для кривизны й получаем формулу ! й =* —. Р' (1.25) Окружность, лежащая в соприкасающейся плоскости и имеющая с кривой в точке М касание второго порядка, называется круеом кривизны, а ее радиус-радиусом кривизны.

Можно доказать всюду, кроме особых точек, единственность круга кривизны. Нетрудно получить вычислительные формулы для кривизны в декартовых координатах. Будем исходить из формулы: () '1тт) = — [„—, —,~, (1.22) или ! / а Ех ЕР Ег ев <ь ав д'х сну Уг Йй ЫУ ЫУ Взяв абсолютную величину левой и правой частей, получим й = (у'г" — г'у")'+ (г'х" — х'г")'+ (х'у" — у'х")', (1.26) где х' = — „и т. д. Если независимой переменной является время, е5 то кривизна будет определяться формулой здесь точкой обозначена производная по времени.

Кривизна траектории есть мера уклонения траектории от прямой. Мерой уклонения траектории от плоской кривой является так называемое кручение, В нашем курсе кручение мы рассматривать не будем. Найдем проекции скорости и ускорения точки иа естественные оси. Вектор скорости точки, равный „вЂ”, можно представить в виде (1.28) й() = —, (еа1. ! Следовательно, И =ы 7 (уг — гу)' + (гх — хй)' + (ху — уй)', (1.27) ГЛ.

Ь КИНЕМАТИКА Проекция скорости на касательную и траектории будет равна й йй (тзт)=Р— ~ — может иметь различные знаки). Далее, й~й Ли и ао ат а = — = — (тп) = т — + — Р. Ж й й й Используя формулы (1.21) и (1.25), получим — = — — = — Р. ат ат аз и й йй Следовательно, а = ай +т — +()О. (1.29) йо са Р Проекции ускорения на естественные оси равны: проекция на касательную ао а,=— й' проекция на главную нормаль оз От =— Р' Рис. П!О. где Р— радиус кривизны в рассматриваемой точке. Проекция 'ускорения на направление бинормали всегда равна нулю — ускорение лежит в соприкасающейся плоскости (рис.

1.10). $3. Основы кинематики сплошной деформируемой среды. Переменные Эйлера и переменные Лагранжа Объединение в одной главе кинематики деформируемой среды и абсолютно твердого тела продиктовано существенными причинами. Во-первых, абсолютно твердое тело есть идеализированная модель физически твердого тела и, следовательно, должно рассматриваться как сплошная среда.

Во-вторых, при таком подходе выясняется близкое родство основных формул, дающих законы распределения скоростей точек среды: формулы Коши— Гельмгольца для деформируемой среды и формулы Эйлера для абсолютно твердого тела. Прежде всего установим понятие характерной длины (характерного размера). Характерной длиной будем называть длину, на протяжении которой существенно меняется состояние движения среды, или состояние самой среды '). В каждом конкретном случае характерная длина выбирается произвольно (разумеется, ') Меняются параметры, характеризующие состояние среды, «з, кинвматикл сплошнои двеоэмигивмоп соилы 23 в разумных пределах).

Например, в задачах о движении жидности в трубе в качестве характерной длины берется диаметр трубы, при изучении обтекания крыла самолета возцухоь«характерной длиной является, чаще всего, так называемая хорда крыла и т. п. Важно, выбрав характерный размер, в дальнейшем его не менять. Основным, простейшим объектом в механике сплошной деформируемой среды является элемент объема *). Качественно элемент обьема можно характеризовать следующим образом: отношение наибольшего размера элемента объема к характерной длине много меньше единицы; с другой стороны, его размеры весьма велики сравнительно с расстояниями между молекулами. Таким образом, элемент объема есть малая частица среды, сплошь заполненная веществом.

Малость размеров элемента объема по сравнению с характерной длиной позволяет в пределах этого объема пользоваться главными линейными частями разложения различных функций по степеням приращения координат. В механике сплошной среды есть два подхода к описанию движения среды. Один из подходов связан с именем Лагранжа и заключается в том, что описывается движение каждого элемента объема — каждой частицы среды. Пусть х„ х„ х, †декартовы координаты некоторой средней точки элемента объема.

Пусть, кроме того, числа $м $„$» — параметры Лагранжа, отмечающие рассматриваемый элемент объема. Тогда х; =);(1, $„$„$»). (1.30) Заметим, что в качестве параметров Лагранжа часто берут начальные координаты частицы (мы для краткости часто будем говорить «координаты частицы» вместо «координаты некоторой средней точки частицы»). Следовательно, вместо (1. 30) можно написать х~ = 6 («.

хм х«е х»е) (1.31) где хте=х ((е). Радиус-вектор частицы люжет быть представлен в виде г= Я кзх,=г(1, $„$„$»), (!.32) где в; — орты, направленные по осям координат. Рассматривая некоторую точку среды (точка Р, на рис. 1.11) и проводя через эту точку линии, состоящие всегда из одних и тех же частиц среды («жидкие» линии), вдоль каждой из которых меняется лишь один параметр Лагранжа, получим так '1 С точки ареиая математика»то есть ииффереициал объема. ГЛ.

1. КИНЕМАТИКА называемую сааупгегпеуюп4ую систему криволинейных координат *). Частные производные от радиуса-вектора по параметрам Лагранжа представляют собой векторы, касательные к координатным линиям: з дг %1 дкг — -э л ег —. д4 г г (1.33) Векторы э, — базисные векторы, — вообще не являются единич- ными векторами.

Рис. 1.11. Если в качестве параметров $о взяты начальные координаты х„ш то в момент времени 1з базисные векторы были ортогональны между собой и длина каждого из них была равна единице. В дальнейшем, в результате деформации среды, углы между векторами э„и их длины могут меняться [261. Обычно, когда пользуются переменными Лагранжа, то для вычисления скорости и ускорения пользуются символом частной производной от координат по времени, подчеркивая зтим то обстоятельство, что производная вычисляется для рассматриваемой частицы среды при фиксированных значениях параметров 511 (д1 )йь 1„Ы ' (дэ )Ы, Ы, Ы ' (1.34) Производные 11.34) носят название субстанциальнык, или лгатериальнак. В нашем курсе, во избежание недоразумений*'), ') Мы здесь не будем обсуждать вопрос о том, долго ли просуществуют зги линии †ког они будут размыты.

"*) Дальше, рассматривая метод Эйлера, мы увидим, что частные производные по времени будут иметь другой смысл, В З. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОИ ДЕФОРМИРУЕМОН СРЕДЫ 25 мы не будем пользоваться такими обозначениями, а будем при- менять выразительное обозначение Стокса 1181, положив где символ — означает, что дифференцируется величина, связан- 0 ьк ная с частицей среды. Таким образом, Второй подход к исследованию движения сплошной деформируемой среды связан с именем Эйлера. Метод Эйлера заключается в том, что рассматриваются точки пространства — множество «наблюдательных пункто⻠— и в этих точках изучаются величины, характеризующие состояние движения среды и состояние самой среды: скорость, плотность, давление, температура и т.