Ландау Э. - Основы анализа, страница 13

Теорема 260. Если еФп то -~-=с а Доказательство. у=т. Теорема 261. Если 1) фп, то ~ =е в тогда и только гиогда, когда Доказательство. 1) Если з='и то, по теореме 250, с -= = — =е. 11 2) Если а =-=е, в то, по теореме 222, т.=ре=р. Теорема 262. Если 'чЧ=П 11 ~П, тогда и >колько тогда, когда Р~ = ч3. Глава а Доказательство. При ~=и утверждение очевидно. Если же е ф и, то, по теореме 248, так что утверждение следует из теоремы 25П Теорема 263. Если лвО Докавательство, «Я+ф=» — '„+Ю-'„- =б+4 Теорема 264. Если р~а, п~=п, >ио а 1 3 Р1+И 11 ф! Докавательство. В силу теорем 246 и 263, имеем: в + 3 Р1+ Вв Р1+тв 9 и 'вп Чв вп Теорема 266.

Если рфп, то $ 3 Т 3 9 9 11 145 Комплексные числа Доказательство. Теорема 266. Если 9Фп, пз'=в то г з ги — «з р и Рз Доказательство. В силу теорем 246 и 255, имеем: ги ~ц гп — 1м З и ри 9и Зи $ Е. СОПРЯЖЕННЫЕ ЧИСЛА Определение 66.

Число Х= !-'г — лз! назыеаетсп комплексно сопрпженным с числом б= ! Ез! Теорема 267. Доказательство. Теорема 268. т=и тогда и только гпогда, когда т= и. До каз зтель ство. Равенства Е,=О, — Е О 10 з ггг, з. и дну. Глава о Но (((и+ 1) — у) + и) + у = «и + 1) — у) + (у + п) = =(«+1) — у)+у)+ =п+( +1), следовательно, по определению 70, м м (а+0-(в+1) 7 ((п)= Х Ип) Ф 7 И(и+(и+1)) — 1)= И Ц В=в а=( = ~~, 1(и)+ ~ 1(п), Теорема 28б.

Пусть у~х и )(п) определено при у <и 4х. Тогда лье Д; ((и) = ~,' ((и — о). Л о к а в а т е л ь с т в о. Согласно определению 70, левая часть утверждаемого равенства (а+()-е 7 И(п+у) — 1), а правая (принимая во внимание, что у (и — о~~х при у "~- о (и (х+о) ((м-)в)+ ))-(яьв) 7 ((«и+(у+.)) — 1) —.); но здесь «х+о)+1) — (у+т)) =(1+(х+о))+(( — о)+( — у)) = = (1 + ((х + э) + ( — о))) + ( — у) = .= (1 + х) — у = (х + 1) — у 167 Колеплекекые числа ((п + (у + )) — 1) — = (п + (у + )) †(1 + ) = =(( +у)+.)+( —.+( — 1»= =(((п+у)+о)+ ( — ))+ ( — 1) = ((и-)-у)+( +( — ») — 1=(п+у) — 1. Теорема 286.

Пус)пь у(х, 1(п) определено при у ( и ( х и а(п) отображает числа и, для которых у ( п ( х, на числа т, для коп)орых у . т~.х. Тогда ~1(з(п))= ик~1(п). В я пчм Д о к а з а т е л ь с т в о. е (п) =е((п+у) — 1) — (у — 1) отображает положительные и ((х+ 1) — у на поло- жительные т ((х+1) — у. Поэтому, в силу тео- ремы 283, к )к+и-а 7 Из(»- 7 (( ((п+у) — 1»= в=у к=) и +1) — е 1л+ 1) — и 7 Г(з)(п)+(у — 1)) )7 (( +(у — 1)) в=1 я=1 )е+ 1) — Е Л ;(,' И( +у) — ) =',~ ки ). Обычно вместо Х Ип) пользуются также небрежной записью 1(у)+Г(у+ 1)+... +()х) Глаза б !43 Определение 68. [ [лы 2! [ р лчм1 + мзоз.

(! [ читается: абсолютное значение.) Теорема 264. ) 0 лри ~4:и, [~! =0 при 2= и. Доказательство: определения 68, 66 и 61. Теорема 266. ! [Е„Ч [> ! ", [, [[ры ='! [) [='!. Д о к а з а т е л ь с т в о. ! Р1 ='2! [ ! [-"„-"2[ ~ = 1 1+ 2 2 М И 2 2 2 [Л2[ ! 2[' Но из ББ )~ НН, Я )~ О, Н ) 0 следует так как в противном случае мы имели бы 0<Е<Н, Б- < НН. Тем самым теорема 265 доказана.

Теорема 266. Из [Е, О! [Б, О! = [Н, О[ [Н, 0[, Р з. О, Н ) 0 следует Доказательство. Так как [Е 0[ [Х О! = [ХŠ— 0'0 Х 0-[- 0'7! = [72 О! Комплексные числа 149 то, в силу предположении, 1ББ, о1 = [НН, о1, ББ = НН. Если Б>о, НН=ББ>о, то имеем н>о, и, следовательно, по теореме 161, Б=н Если Б= О, то получаем нн=ББ=о, н=о=Б. Теорема 267. [[т1, о! 1[в[, о) =ц.

Показательство. Пусть ь= [Б - "!. Имеем: [1,~), О! [)~1, О! = [!31 1У1, О! = [Б,Б, -1-БаБа, 01 = = 1Б Бс — "- [ — Ба) =" ( — Б)+БвБ11= = [Бо а! 1Бп и! =йй Теорема 268. [р)! = !л[!Ц!. Локаз атель ство. В силутеорем 267и261, имеем: 1!те!, о! [!уз[, о! =[ту) ~~ =[р) [тр) =[те) [ощ) = =[[!с[, о1 1Ц1„о1) [[!1)1, о1 [161, о1) = = [! )~!, о! [[!) (, о1) [! 1~[, о! [11)1, о!) = [1~1!р! — 0.0,!И! 0 + 0 11)!! [!И[1р! — О О, 1л!.о + о !р!1 = = [~~! [Р~, о! [!7! Д, о[, Гзааа 5 150 и, следовательно, в силу теоремы 266, ~В~=~Т~ ~Р~. Теорема 269.

Если и, нто Ло каза тел ьств о. 1ю!)о, следовательно, по теореме 268, Теорема 270, Из т+р.=е следуеис 16~+~Ю~>1. До каза тел ьство. Пусть в=12,, Яв1„»= 1Н, Нв1 По теореме 266, имеем: ! Т! > 1 ="1 ~ >:") ~11~ > ~Н,~ >Н, и, следовательно, !61+!6!>о,+Н, =1. Теорема 271. ! 6+ 61 < !б+! И.

Колгллаксиме числя Доказательство. 1) Если т !-«= и, то левая часть утверждения равна 0 и, значит, С правой. 2) Если т+«Дп то, в силу равенства «В 1-11 + — =- — -=г г+« г+9 1+Ч по теореме 270, имеем: и, значит, по теорем 269, ! ! !11 -.1 '$+ 9! ' 1г+«~ !т!+!«!=!ь+«!( — - — + — '"!-) .р/х+«!. Теорема 272. ! — и!=-!и!.

Доказательство. ( — = ) ( — Ег)+ ( — ='вд ( — =и) = ЕгЕг+:вЕв. Теорема 273. !Т вЂ” «!>!!И! — !«!!. Дока ватель ство. Так как Т- «+ (~ — «), то, по теореме 27г, !х! <!«!+!~ — «!, я — «!> !~!-!«! 152 Глава Б Поменяв местами х и р, получаем также 1ю — и1 >151-171 и, значит, в силу теоремы 272, 13 — ю1=! — 1р — 61=! 9 — ~1>~151 — 1 31= = — 'г1е1 — ! Ю Но из Е>Н, Я> — Н, поскольку 1Н! есть либо Н, либо — Н, следует, что Е>!Н!. Поэтому ! з- р1> 11~! — 1511 в 8.

СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ Теорема 274. Если х(у, гло числа ль~х нельзя взаимно однозначно отобразить на числа п (у. Под отображением я впредь в этом параграфе буду всегда понимать взаимно однозначное отображение, Доказательство. Пусть % — множество тех х, для которых утверждение теоремы верно прн веех у > х. 1) Если 1 (у~ то га = 1 нельзя отобразить на множество чисел и (у.

Действительно, если та=1 соответствует числу и =1, то для и =у не остается никакого ги, если же я = 1 соответствует некоторому л ь 1, то для п = 1 не остается никакого т. Таким образом, 1 принадлежит множеству И. П) Пусть х принадлежит % и х+1 (у.

Кв ииленсиме числа 153 Предположим, что имеется отображение чисел т ( х+ 1 на числа и-(у, и рассмотрим два возможных тогла случая. а) Числу т =х + 1 соответствует и =у. Тогда числа т ч х отображаются на числа и <у в 1. Но это невозможно, так как х < у — 1. !!) Числу т=х+1 отвечает некоторое и иа(у. Пусть т =те соответствует числу и=у, так что тв(х+1.

Тогда мы можем ввести следующее вилоизменениое отображение чисел т ( х + 1 на числа и (у: ! при тфта, гифх+1 сохраняется старое отображение, ! числу т =- тз соответствует и = из, 1 числу т = х + 1 соответствует и у. Но невозможность отображения такого типа уже была доказана в и). Таким образом, х+-1 также принадлежит множеству %, и утверждение теоремы доказано. Так как доказательства нижеследующих теорем 275 — 278 и 280 — 286 вместе с соответствующими определениями дословно совпалали бы для сумм и произвелений, то, во избежание ллинных повторений, мы вводим нейтральный символ +, означающий либо всюду +, либо всюлу °, и, пользуясь им, проводим рассуждения сразу и для сумм и для произведений. Соответственно этому и вводимый ниже временно символ ~~ заменяет два символа (~ для + и П для ).

Всюду в дальнейшем пол „определено" я понимаю „определено как комплексное число". Теорема 278. Пусть х финсировано и [(и) определено для всех и <х. Тогда сун!еиивует точно одно 8. (и) (подробнее записывается Яж,! (и), 154 Глее.> 5 сокращенно записывается й(а)), определенное дла всех и (х и обладающее следующими своде>ивами: 11 (п) = «(и) и всех а ) х.

1) д (1) = 1(1) = «(1); таким образом, 1 принадлежит множеству %. П) Пусть п принадлежит %. Тогда либо п ( х, а(п) = « (п), следовательно, 11 (а + 1) = а (а) 11> 1(п+ 1) = «(п) + 1(а + 1) = = «(п -~ 1), и, значит, >>+1 принадлежит %; либо л )х, п+! )х, следовательно, и, значит, и + 1 снова принадлежит %. Поэтому % есть множество всех положительных целых чисел; таким образом, п(и) = «(л) для каждого л (х, что и требовалось доказать. 2) Покажем теперь, что для каждого х такого, что 1(п) определено при п(х, существует требуемое Яе (п).

рм (1) =1(1), а [п + 1) = д„(а) + 1(п + 1) при а ( х. Ло к азат ел ьст во. 1) Покажем сначала, что существует, самое большее, одно такое с (и). Пусть й(л) и «(и) обладают требуемыми свойствами н % — множество, состоящее из тех п (х, для кото- рых Комплексные числа Пусть % — множество тех х, для которых это сира. велливо, т. е. лля которых, раз только 1(и) определено при и <х, существует, и притом, в силу 1), только одно требуемое а (п). 1) При х = 1, если 1(1) определено выражением требуемого типа, булет б (1) = 1(1) (второе требование, вследствие невозможности неравенства и < 1, отпадает). Таким образом, 1 принадлежит множеству Ы. И) Пусть х принадлежит %.