Ландау Э. - Основы анализа, страница 11

Теорема 190. Из Я>Н, Х)Т или Х>Н, Х>Т ВеоСесюеепчые числа следует Е+Е Н+Т. Доказательство. При знаках равенства в предположении — уже установлено теоремой 188, в противном случае — теоремой 189. Теорема 191. Из Е ~~Н, Е ~~~ Т Е+ Е>11+ Т. следует ф 4. УМНОЖЕНИЕ Определение бб. — ((ЕИН1) при Е О, Н(0 или Е(0, Н>0; 1Е~(Н~ при Е(О, Н(О; 0 при Е=О или Н=О. Е ° Н= 1 ° читается: раз; впрочем, точку большей частью не пишут.) Е ° Н называется произведением Е на Н или числом, получающимся пугаем умножения Е на Н.

Заметим, что Е ° Н при Е) О, Н) 0 известно нам уже из определения 36, что, кстати, н было использовано в определении 55. Теорема 192. ЕН = 0 тогда и только тогда, когда, по крайней мере, одно из чисел Е, Н есть нуль. Доказательств о: определение 55. Доказательство. При двух знаках равенства в предположении — очевидно; в противном случае— уже установлено теоремой 190, 12О Глава 4 Теорема 193. !ЕН!=!м~~Н! Доказательство: определение 55. Теорема 194 (закон коммутативности умножения). ЕН = НЕ.

Доказательство. При 2~0, Н)0 это — теорема 142, в остальных же случаях — следует из определения 55, так как правые части этого определения (по теореме 142), равно как и разбиение на случаи, симметричны относительно м н Н. Теорема 195. Доказательство. Прн Б)0 это следует из теоремы 151; при Б = 0 — из определения 55; при Е ч. О, по определению 55, имеем Теорема 196. Если Е~О, Н-,нО, то БН=~Е((Н!, соонгв. ЯН= — (~Е~~Н !), слеоньря ло тому, будут ли числа К, Н оба оньридательны (или оба неотрицательны), либо, соответственно, одно из них отрицательно. До к зз атель ство: определение 55.

Теорема 197ь ( — м) Н = Е( — Н) = — (БН). Доказательство. 1) Если одно из чисел Б, Н— нуль, то все три выражения рваны нулю. 2) Если Ефо, Нфо, Вещественные числа 121 то, по теореме 193, все три выражения имеют одинаковое абсолютное значение (Я~)Н), и по теореме 196 все три ) О, соответственно ( О, смотря по тому, содержится ли среди чисел Я, Н точно одно, соответственно, ни одного или два отрицательных. Теорема 199.

( — Е) ( — Н) = ЕН. Доказательство. По теореме 197, ( — Е) ( — Н) = Е( — ( — Н)) = БН. Теорема 199 (закон ассоциативности умножения). (ЕН) Х = "-"(НХ). Доказательство. 1) Если одно из чисел Б, Н, Х вЂ” нуль, то в обеих частях чтверждаемого равенства стоит О, 2) Если Е-ф:О, Нфб, ХфО. то, по теореме 193, обе части имеют одинаковое абсолют- ное значение (~ЕПН!ЦХ!=~я~(!Н~!ХР и, по теореме 196, обе части ) О, соответственно (О, если среди чисел Я, Н, Х нет ни одного или имеется точно два отрицательных или, соответственно, среди зтих чисел содержится точно одно или точно три отрицательных.

Теорема 200. 1(т1 — ь) = 1ч1 — Е:. Доказательство. 1) При 122 Глава 4 и, следовательно, по теореме 144, Е(т1 — Е)+ Ег = Еть Е (и — Е) = Ев1 — Ег. 2) При имеем Ет1 = Ег, Е(е — Е) =Е.О=О=Е,--Ей. 3) При е(Е, в силу 1), имеем ! (", — е) = ЕŠ— Ет1, ЕЙ вЂ” Е) = Е( — (Š— т1)) = — (Е(." — т1)) = — (ЕС вЂ” Ет1)= ='~ — К Теорема 201 (закон дистрибутивностн). Б(Н+ Х) =ОН+БЕ. Локазательство. 1) Пусть м)0.

По теореме 184, Н- 1,— 1„К=Е,— Е„ тогда> по теореме 185, Н+Х=( ~,+Е,) — (~з+Г ), следовательно, по теоремам 200 и 144, =(Н+Я)=Я(1 +Е) — м(у1 +Е)= (Бт1, + мЕ,) — Ща+ "Ев)~ и, знаыит, по теоремам 185 и 200, ~ (Н+ 7~) ( тп ыа)+ ( 1 ва) = ' (тп — та)+ "'(-1 "а)= -Н+ 123 Вещественные числа 2) Пусть Я=О. Тогда Я (Н + Х) = 0 = ЯН+ ЕХ. 3) Пусть Я (О. Тогда, в силу 1), ( — Е)(Н+Х) =( — Е) Н+( — Я) 7, следовательно, — (Е(Н+Х)) =( — Я) Н-»-( — Е) Х, Е (Н + Х) = — (( — Е) Н+ ( — Е) Х) = = — (( — Я) Н)+( — (( — Я) Х)) = ЕН+ ЕХ.

Теорема 202. Е (Н вЂ” Х) = ЕН вЂ” Я 7- Доказательство, По теореме 201, Е(Н вЂ” Х) =Е(Н+ ( — Х)) = ЕН+Я(-- Х) =ЯН+ ( — (ЕХ)) = ЕН вЂ” ЕХ. Теорема 203. Если Е)Н, то из Х) О, соосив. Х= О, соосив. 7(0 следует ЕХ) НХ, соотв. ЕХ=НХ, соотв. ЕХ(Н7,. Доказательство. Имеем Š— Н) О, и, следовательно, (Е Н) Х) О, соотв.

(Š— Н) 7 = 0 соотв. (Š— Н)Х(0, Глава 4 смотря по тому, будет ли 7>) О, соотв. Х= О, соотв. Х ( О. Так как, по теореме 202, (Š— Н) 7 = 7. !Š— Н) = ХŠ— ХН = ЕХ вЂ” НХ, то в этих случаях, по теореме 182, «7> ) Н7>> соотв. ЕХ = НХ> соотв. Е7> ( НХ. Теорема 204. 'Уравнение НТ=Е, где Е, Н вЂ” заданные числа и НФО, имеет точно одно решение Т. Доказательство. !) Сушествует, самое большее, одно решение. Действительно, из НТ, =Е=НТ следует 0 = НТ, — НТа = Н(Т, — Т ), и, значит, по теореме 192, О=Т,— Тм Т,=Т. Н) 1) Пусть Н О.

Тогда 1 Т= — Е Н служит решением, так как НТ=Н(! Е)=(Н вЂ” Н1)Е=1.Е=Е. Глава 4 различных числа Я, и Яя, — в силу -~+-з 1+1 Яя = 11+1) Яя обладали утверждаемым свойством, то (]+])Я =Я +Я (Я +Я (Я + ьч 1+1 -9~ должно было бы принадлежать как первому, так и вто. рому классу. В) При доказательстве существования требуемого числа мы будем различать четыре случая. 1) В первом классе содержится положительное число. Рассмотрим сечение, порождаемое следующим абразом: положительное рациональное число входит в нижний класс, если оно принадлежит первому классу, не являясь там наибольшим рациональным числом; в противном же случае 1т.

е. если оно является наибольшим рациональным числом первого класса или принадлежит второму классу), данное положительное рациональное число относится к верхнему классу. Это — действительно сечение. В самом деле: 1) Так как первый класс содержит положительное число, то он содержит и каждое меньшее положительное рациональное число 1такие существуют по теореме 158) и, в частности, такое, которое в первом классе не является наибольшим. Таким образом, нижний класс ие пуст. Так как второй класс содержит некоторое число, то он содержит и каждое большее положительное рациоиальиое число (такие существуют по теореме 158).

Таким образом, и верхний класс ие пуст. 2) Каждое число нижнего класса меньше каждого числа верхнего класса; действительно, каждое число первого класса меньше каждого числа второго класса, а возможиое наибольшее положительное рациональное число первого класса, во всяком случае, больше каждого числа нижнего класса. Ве игественные числа 3) В нижнем классе нет наибольшего положительного рационального числа. Действительно, либо уже первый класс не содержит такого числа; либо первый класс солержит такое число, но тогда оно отнесено нами в верхний класс, а среди положительных рациональных чисел, меньших заданного, в силу теоремы 91, не существует наибольшего. Опрелеляемое нашим сечением положительное число мы обозначаем Я и утверждаем, что оно удовлетворяет поставленным условиям.

а) Пусть Н<В. Выберем, по теореме 159 гс 1 = Н, т~ = Б при Н > 0 Б и с 1= —, ч)=Е при Н(О), число Л такое, чтобы Н(2<В. Тогда 2 есть нижнее число относительно В и, следовательно, принздлежит первому классу; поэтому и Н принадлежит первому классу. Ь) Пусть Н > Я. Выберем, по теореме 159, число 2 такое, чтобы Е(Я( Н. Тогда Е есть верхнее число относительно В, притом 1'по теореме 159) не наименьшее, и, следовательно, принадлежит второму классу; поэтому и Н принадлежит второму классу. П) Каждое положительное число лежит во втором классе; 0 лежит в первом классе.

Тогда каждое отрицательное число лежит з первом классе, и требуемыми свойствами обладает В =О. ЬП) 0 лежит во втором классе; каждое отрицательное число лежит в первом классе. Глава 4 128 Тогда каждое положительное число лежит во втором классе, и требуемыми свойствами обладает снова Б = О. 1Ъ) Во втором классе содержится отрицательное число. Рассмотрим тогда следующее новое разбиение: Н лежит в новом первом классе, если — Н лежало в старом втором классе; Н лежит в новом втором классе, если — Н лежало в старом первом классе. Это разбиение, очевидно, удовлетворает обоим условиам теоремы 205. Действительно: 1) оба класса не пусты; 2) из н,<н„ по теореме 183, следует — Нз < — Н,. Кроме того, новое разбиение подпадает под случай 1), так как в новом первом классе содержится положительное число.