Ландау Э. - Основы анализа, страница 12

Следовательно, согласно доказанному в 1), существует число Е1 такое, что каждое н<В1 лежит в новом первом классе, а каждое Н > Я1 — в новом втором. Положим Тогда из Н<Е, соотв. Н>Б, следует, что — Н > Би соотв, — Н < Б„ т. е. что — Н лежит в новом втором, соответственно новом первом классе, и, значит, Н вЂ” в старом первом, соответственно старом втором классе. Глава 5 НОМНЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА $1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Определение 67. Комллененое число есть нара веигесглвенных чисел Е„Ея (взятых в определенном порядке). Лы будем обозначать номаленсное число символом [Еы Е ]. При этом [йы Ея] и [Н„Ня] считаюглся одним и тем же числом [равными; пишем:=) тогда, когда Для комплексных чисел понятия тождества и равенства сливаются, так что следующие три теоремы тривиальны: Теорема 206. Теорема 207. Иэ следует 6=Х. Теорема 208. Иэ в=9 'э=в следует 68. н= [О, О].

69. е= [1, О]. Определение Определение Е, = Н„лг = )[я,' в противном же случае — неравными (различными; пишем: ф). Строчные готические буквы будут всюду обозначать комплексные числа. Таким образом, для каждых двух 6 и 1) имеет место один и только один из случаев Глава б 1ЗО Таким образом буквы и и с сохраняются для вполне определенных комплексных чисел. ф 2. СЛОЖЕНИЕ Определение 60. Пусть в [ 1~ 21~ 9 [нг~ на! Тогда 1+ р= [Е1-[-нг, яя+ Ня[ ° (+ читается: плюс.) т+р нпзывается суммой т и р или (комплексным) числолг, получающимся путем прибавления р и т. Теорема 209 (закон коммутативности сложения), ~+Р=Р+Т. Д о к а з а т е л ь с т в о.

[е,+н, е +н~[=[н,+Яо н +Я[, Теорема 210. т + и = т, Доказательство. [е„е 1+ [о, о1 = [я + о, я + о[ = [е„я 1. Теорема 211 (закон ассоциативности сложения). (в+Р) +[=а+(0+ 1). Доказательство. Пусть 1= 1Е„Е,1, Р= [Н„Ня[, 1= [7„Хя[; тогда, по теореме 186, (т + р) + 1= [е, + Н„е, + Н 1+ [7п, Е~ = =[(е,+н,)+7„(е„+н,) [-х,1= [е +(н, +к,), е +(н +е =[Е„Я,[+ [Н, +7чЫН, + Х,[ =я+(2+1). Комплексные наела Теорема 212, При заданных т, р уравнение ф+н~~ имеет точно одно решение и, а именно, если ~=[2! 2я[ !)=-[Н Ня[ то "= [н! и! ~я Нг[ Доказательство. Для каждого и= [т„т [ имеем: р+ =[н,+т,, н,+т,[, и требование состоит в том, чтобы Нг+ тг= Яг, Н + т =за.

Тем самым доказательство достзвляется теоремой 187. Определение 61, Число и из гпеоремы 212 обозначается я — р ( — читаетсж минус) и называется разностью т минус р или числом, получающимся путем вычитания р из т. Теорема 213. т.— р=н тогда и только тогда, когда Доказательство. и! — Н! = Б — На — — 0 тогда и только тогда, когда и! = Н„пз = Ня. Определение 62. — ~=н — ~. ( — слева читается: минус.) 1З2 Глива 5 Теорема 214.

Если 3= [Е„Е [, лво — 3 = [ — ń— ЕЯ[. До каза тел ь ство. — [Е„Еа[ = [0,0[ — [Е„Еа[= = [0 — Е, 0 — Е,[=[ — ń— Е,[. Теорема 216. — ( — в) = в. Доказательство. По теореме 177, ( в)= г ( 'а)=Ее. Теорема 216. а+( — в) = и. Д о к а з а т е л ь с г в о. По теореме 179, Е,+( — Е,)=0, Е,+( — Е,)-0. Теорема 217. — (а+ 9) = — т+( — 9). Доказательство. По теореме 180, полагая г=[Е„Е,[, 9=[но Н,[, имеем: — (~+Р)=[ — (Е,+Н,), — (Е,+Н,)) = =[ — -,+( — Н,).

-и,+( — На1[= = [ — = — Еа[+ [ — Н вЂ” ?Ч = — Ю + ( — Ю) Теорема 218. т — 9 =в [ ( — 9). Доказательство. [Е1 — Нм Еа — На) = [Ем Еа! + [ — Но — На[. Теорема 219. — 4 — Р) = т — 3. Доказательство. (в т)= (е+( — т))= Х+( ( Ю)) Е+ Р = Ю + ( — Х) = Ю вЂ” 1. Комплексные висла $3. УМНОЖЕНИЕ Определение 63. Пусгпв у=[2„Еа], р=]Н„Н,]. Тогда ~ Р = [д,н, — Е,Н„Е,Н, + Е,Н,], ( ° читается: раз; впрочем, точку большей частью ие пишут.) т ° ф называется произведением т на ф нли числом, получающимся пупсам умножения т на р. Теорема 220 (закои коммутативиости уииожеиия).

Ф=й. Доказательство. Р~ Яг] [Н„Н,] = [гь,Н, — -вНт,Нг+ БгН,] = [НгЕг Нг а Нгма + Нв г] ]Н На] [ ) Ев] Теорема 221. Р= и тогда и только тогда, ьогда, по крайней мере, одно из чисел т, р равно и. Доказательство. Пусть т=]Е„Е,], и= [Н„Н,]. 1) Из и следует и, = "а=0, р)=[0 Н,— 0 Н,, 0 Н,+О Нг]=[0, 0]=п. 2) Из ф=п, в силу теоремы 220 и 1), следует Йр = 1ц = пт = и.

3) Из я=н иам нужно вывести, что 1= я илн 'р= и, Глава 5 134 Мы можем поэтому предположить, что 'Ч Ф 1Н т. е. нн,+нн >о, и должны доказать, что тогда ~= н, т. е. — — о. 1 Я По предположению, 21Н,— Бан = О=Е,Н -1- Я Ны следовательно, О = ("1Н1 — -"Яна) Н1 + (Бена+ ="вне) На = = ((~,н,)н, — (Б,н,)н,)+((р„н,)н,+(Н,н)н,) = = (ме(Н1Н1) — -Я(НЯН1)) + (м,(НЯНЯ) + ма(Н1НЯ)) = = ((н,(н,н,) — ня(н,н,))+ н,(н,н,))+ е,(н,н,) = м,(Н,Н,) + ме(НЯНЯ) = ме(нене + НаНЯ) и, значит, е =о, ! К Н =О=2,Н,. Так как хотя бы одно из чисел Н, н Ня отлично от нуля, то заключаем, что н я =о. Теорема 222. Те=в. Док азате л ь ство.

12„ Н,Н11, О)=12, 1 Н, . О, Н„ . О+ К,. Ц = (Е, На). Теорема 223. т( — е) = Комллсксные числа Доказательство. (В„Е,11 1 О1=1В ( Ц В.О В.О1 В (.. Ц1 — 1 ' 'я1 Теорема 224, (-~) Р =1(- Р) = — (1Р) Доказательство. Ц Имеем: 1 — „— В,ины Н 1= = И вЂ” Е,)Н~ — ( — Ея) Ня> ( — Вс) Ня+ ( — дя) Нс) 1 — (Е,Н,)+ Бя̈́— (Б,Ня) — ВяН,1 = = [ — (-,Н, — ВяНя), — (Б,Ня+ БяН,11 =- = — (1В„Вя) 1Н,, Ня)), ( — е) ч = — (з11). 2) В силу ц, Т( — ч) = ( — Р)е= — (1)з) = — (зР).

Теорема 225. ( — 1)( — Р) = й. Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 224, ( — Х)( — р)- И( — ( — у1) =а. Теорема 22б (закон ассоциативности умножения). (з11) з = з (111). Д о к а з а т е л ь с т в о. В этом доказательстве мы для лучшей обозримости, в виде исключения, будем пользоваться сокращенной записью (Б+Н)+Е=Е+ Н+ Е, (БН) Е = ЯН7, так что также В+(Н+Е) =В+Н+Е, В (НЕ) = ВНЕ. Глава 5 Пусть ~= % 'а[> Р = — [Н„На[, [= [Х„Хя!. Тогда (тй)[= [Х,)[, — ~,Н„Х,Ня+ кзн,! [Х„Ха! = [(Х,Н,— Я,Н,) Х,— (м,н,+Х,Н,) Х„ (Б,Н, — м,Н,) Х, + (Б,Н, + Р,Н,) Х,! = [(ЯгН,Х, — маняХ1) — (м,наХа+ Хан,ха), ( вН17я — ЕаНаХа)+(ЯгНа71+ НаЕ1вХв)! = [(Х,нгХв+( — (" На7п)))+( — (Х,Н Х +Х Н,Х )), (вв1Нае1 + ЕяН Х ) +(мвН1Хз+ ( — (ЕаНаХя)))! = [" 1НвХг — (маНа7п + вНА+ аНв7аа) (м,НяХ, + даНвХ1+ Я,Н,7а) — маНаХв[.

Так как т (вл) = (1)а) т, то перестановкой букв (Н вместо Е, Х вместо Н, Е вместо Х) получаем отсюда т(щ) = [Н,Х,Х,— (Н 7 Е, +Н,ХД+ Н Х,о ), (Н 7ааХв+ НаХгЕ, + Н,Х,Еа) — Н ХвХя!. Принимая во внимание соотношения ЕНХ= Е(НХ) = (НХ) Б ='НХЕ, А+Н+Т =-А+(Н+Т) =(Н+Т)+ А=.Н+Т+ А, заключаем из сопоставления вычисленных выражений, что (Р)) В е Ьб) Теорема 227 (закон дистрибутивности). ~(Р+))=Е+Т). Кол>олексине числл Доказательство. %, =,! ([Но На[+ [7н, Е.!)=[Е„Еа! [Н,+7„Нз+7з)= -[Я,(Н, [-К,) — Яг(Н,+Ха), К,(нз+7а)+Ба(Н,+Кг)[= =[(-'сНс+ с7>)+( ('гНа)+( ("гоа)))> (Я,Нг+ и,Хз)+(ЕзН>+ Ез7>)! = === [(и, Н~ — гНе) + [' 7> — -" 7а) (-сНг+-а1!с) +(йское+ Еаб1)! =:[и,Н,— Я Н, и,н +и Н,[+ + [и,7,,— Яа7е, Е,7~+из'б,! =. с 2! [Нс>Нг! + [ с> г! [7н> 7>з!' Теорема 228.

т(р — !) =р — я. Доказательство. е(ч — !) =в(р+( — !))=ее+в( !) =а+( — Ф)) =в — а 'Теорема 229. Уравнение рк = ~> где т, р заданы и [) =Дп, имеет точно одно реисение п. 1)п, =т= рп к=911,— риз=9(п,— и,), следует откуда, по теореме 221„ п=п,— пз, пс = "з. Доказательство. 1) Существует, самое большее, одно решение. Действительно, из Глава 5 2) Если р=)Н„н,), то н =н,н, +н,н,>о, '( нз ' н1е служит решением, так как ри ()Б Н ) ~Нв Н ~)~ = Н,-"Н'-+Н,ф, — (Н, Н')+Н,'ф= Н1Н1+ НиНа — (Нвнв) + Нвнв1 Н = (),О! т=ет=т.

Определение 64. Число и из теоремы 229 одозначаетсн — (читается: т на Ч) и называется частным л т по )) или числом, получающимся пувпем деления 3 на )). $4. ВЫЧИТАНИЕ Теорема 230. (т — )))+ )) =т.. Доказательство. (~ — р)+))=р+(~ — р) =~. Теорема 231. (е+))) — )) = е Д о к а з а т е л ь с т в и.

р+~=3+)) Теорема 232, т — (т — ))) = )). Комллексньсе числа Доказательство. (3 — Р)+3=3 Теорема 233. (» — Р) — )=~ — (Ю+3). Доказательство. (3+))+ ((» — й — О =((И вЂ” Ю) — ))+ О+Ю) = =(И» — Р) — О+О+Ю=И вЂ” Ю)+3=3 Теорема 234. (3+ ч) — 3 = 3+ (ч — з). Доказательство. (»+ й — 3))+ ) = Х+ ((Ю вЂ” ))+ й Х+ М Теорема 235. (з — ч)+а=а — (ч — О Доказательство. ((И вЂ” Ю)+))+ (Р— )) = (» — Ю)+ (з+(Р— 3)) = = (И вЂ” Ю) + Ю = 3. Теорема 236. (3+Ь) — й+)) =И вЂ” Ю.

Д о к а з а т е л ь с т в о. (3 — Ю)+(Р+))=((~ Ю)+Р)+3=3+). Теорема 237. й — Ю)+Π— )=0+3) — Ь+ ) Доказательство. ((3 — Ю)+Π— «))+Ь+«) = =(х — ю)+ (Π— )+(«+р)) = =(3 — Р)+(((Ь вЂ” «)+«) + Р) = (Х Р)+ 9+ 3) = =(» — ч)+(ч+з) =((з — ч)+ч)+з=е+з. Глава 5 ио Теорема 238. (~ — ») — (3 — п) =(3+ ) — (»+1) Доказательство. В силу теоремы 231 и 236, имеем: «3+ ) — (»+1))+(1 — )- =«3+ )+1) — «»+1)+ )= =(Ю+ (и+1)) — (17+(1+ )) =3 — ». Теорема 239. 3 — »=г — и 1иогда и глолысо тогда, когда 3+п=»+Р Доказа тель ство: теоремы 213 и 238, ф 3. ДЕЛЕНИЕ Теорема 240, Если »фп, то — »=з. г Доказательство.

— »=»==3. г 17 Теорема 241. Если »фп, то г» » Доказательство. »3=ф. Теорема 242. Если 3Фп, »Фп, 142 Глава а" Теорема 246. Если 9 „-"- и, 1 л'= !1, то й в 05 9 Доказательство. —,(м=фю)~=а Теорема 247. Если р:~ь и, и -е и, сио т 3 тз !( !! «и Доказательство. (е -') - =+С+"')= ((-'"М= — — '(щ) = — '(щ) =(-'р) ~ =ц 9 Ю ~9 ) Теорема 248. Ес.ги 9 4=!1, ~~и, иф!1, то е ц с!! и Доказательство. В силу теорем 247 и 246, имеем: ти в (зи)Е в(иМ в 'и " (ез1 ! ч(1 1 1! Теорема 249. Если зФ!1, вао — = !!. К Комплексные числа Доказательство. тп=п.